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1. Conceptos preliminares: Funciones de una variable compleja
Una funci´on de una variable compleja ser´a una asignaci´on de un subconjunto de los complejos A ⊂ C, llamado dominio, hacia los complejos, de tal forma que a cada elemento z ∈ A, se le asigna un ´unico complejo w ∈ C. Estas funciones ser´an identificadas de la siguiente manera f : A ⊂ C−→C. M´as a´un, dado que f (z) ∈ C, la funci´on f debe tener una representaci´on f = u + iv, donde u y v son funciones de variable compleja con valores reales. A su vez, z = x + iy, luego u y v dependen de (x, y).
f
A
z
f (A)
w = f (z)
En este caso nos interesa saber c´omo, una funci´on dada, transforma a una regi´on dada o todo plano complejo. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1 (Homotecias). Sea t ∈ R y defina H(z) = tz. Note que el dominio de esta funci´on es C.
- Si t = 0, entonces H(z) = 0, para todo z ∈ C. Esta se conoce como la funci´on nula.
- Si t = 1, entonces H(z) = z, para todo z ∈ C. Es decir, deja a todo el plano o cualquier regi´on igual que al inicio. Esta es llamada la funci´on identidad, usualmente se denotar´a por I.
I
A
z
I(A) = A
w = f (z)
- Si t > 1 , entonces |H(z)| = t|z| > |z|. Esto significa que la funci´on alarga el vector −→ 0 z. A con- tinuaci´on, se muestra el conjunto A = {z ∈ C : |z| ≤ 1 } y su imagen bajo la funci´on H, i.e., H(A) = {z ∈ C : |z| ≤ t}.
H
A 1
z
H(A) (^) t
w = H(z)
- Si 0 < t < 1 , entonces |H(z)| = t|z| < |z|. Esto significa que la funci´on contrae el vector −→ 0 z. En la figura de abajo se muestra el conjunto A = {z ∈ C : |z| ≤ 1 } y su imagen bajo la funci´on H, o sea, H(A) = {z ∈ C : |z| ≤ t}.
T
A
z
T (A)
w = T (z)
z 0
Las traslaciones son funciones inyectivas y T (C) = C.
Ejemplo 3 (Rotaciones). Sea α ∈ R y defina R(z) = eiαz, para z ∈ C. Luego, existe un ´unico θ ∈ (−π, π] tal que α = θ (m´od 2π), adem´as R(z) = eiθz. Note que |R(z)| = |z| y arg R(z) = arg z + θ, para todo z ∈ C. Esto implica que la aplicaci´on R rota el vector −→ 0 z un ´angulo θ, para cada z.
R
z 1
z 2
A
z
θ
R(A)
R(z 1 ) (^) R(z 2 )
z 1
z 2
θ w = R(z)
Este tipo de funci´on tambi´en es inyectiva y R(C) = C.
Ejemplo 4. Considere h(z) = ¯z, con z ∈ C. Esta aplicaci´on refleja con respecto al eje real, dejando fijo los elementos del mismo eje real.
z 1
z (^3) z 2
z 4
h
h(z 1 ) h(z 3 )^ h(z^2 )
h(z 4 )
Ejemplo 5. Sea J(z) = ¯z−^1 , con z ∈ Cr{ 0 }. Esta funci´on manda adentro del conjunto D = {z ∈ C : |z| < 1 } lo que est´a fuera del mismo y viceversa, pero lo que est´a en el borde, lo deja en el borde. En efecto, |J(z)| = |¯z−^1 | = |z|−^1. M´as preciso, si A = {z ∈ C : |z| > 1 } y B = {z ∈ C : |z| = 1}, entonces J(A) = D, J(D) = A y J(B) = B.
z 2
z 3
z 1
J h(z^2 ) h(z 3 )
h(z 1 )
Ejemplo 6. Sea L(z) =^1 1 +^ −^ zz. Note que Dom{L} = {z ∈ C : z 6 = − 1 }. Adem´as,
L(z) =^1 − |z|
2 |1 + z|^2 −^
2 yi |1 + z|^2 con^ z^ =^ x^ +^ iy.
Luego
- Si |z| = 1, entonces L(z) es un imaginario puro, es decir, est´a en el eje imaginario.
- Si |z| < 1 , entonces Re{L(z)} > 0 , es decir, L(z) est´a en el semiplano derecho.
- Si y = 0, entonces L(z) es un real puro, es decir, est´a en el eje real.
Ejemplo 8. Sea f (z) = z^2 , con z ∈ C. Supongamos que z = x + iy, entonces f (z) = (x^2 − y^2 ) + 2xyi.
- Si θ = Arg{z}, entonces Arg{f (z)} = 2θ (m´od 2π) y f (0) = 0. As´ı, la imagen del eje imaginario es el rayo (−∞, 0]. Adem´as, f mapea {z ∈ C : Re{z} > 0 } el semiplano derecho en todo el plano C. M´as a´un, la imagen de un cuadrante son dos cuadrantes.
- Los ´unicos puntos que f deja fijo son 0 y 1.
- Si z ∈ R, entonces f (z) ∈ R. Adem´as, |f (z)| = |z|^2.
- Si x = x 0 , y f (x 0 + iy) = u + iv, entonces u = x^20 − y^2 y v = 2x 0 y. As´ı, u = x^20 − 4 vx^220. Esto implica que f env´ıa rectas verticales en par´abolas que abren hacia la izquierda con v´ertices en (x^20 , 0).
- Si y = y 0 , y f (x + iy 0 ) = u + iv, entonces u = x^2 − y^20 y v = 2xy 0. As´ı, u = 4 vy^220 − y^20. Esto implica que f env´ıa rectas horizontales en par´abolas que abren hacia la derecha con v´ertices en (−y 02 , 0).
f
A continuaci´on, despu´es de ver algunas aplicaciones, se presentan otras formas de obtener otras funciones, a partir de algunas dadas.
Definici´on 1 (Suma, Resta y Multiplicaci´on). Sean f : A ⊆ C−→C y g : B ⊆ C−→C dos funciones, c ∈ C. Definimos las operaciones de funciones como sigue: Si z ∈ A ∩ B,
- (f + g)(z) := f (z) + g(z) (La suma de funciones)
- (f − g)(z) := f (z) − g(z) (La resta de funciones)
- (cf )(z) := cf (z) (El producto escalar de funciones)
- (f g)(z) := f (z)g(z) (El producto de funciones)
- (f /g)(z) := f (z)/g(z), si g(z) 6 = 0 (El cociente de funciones)
Observaci´on 1. De la definici´on anterior se tiene que el dominio de las funciones resultantes de la suma, la resta, el producto de funciones es la intersecci´on de los dominios. Es decir, si Dom{f } = A y Dom{g} = B, entonces Dom{f + g} = Dom{f − g} = Dom{f g} = A ∩ B.
Adem´as, Dom{f /g} = {z ∈ A ∩ B : g(z) 6 = 0} y Dom{cf } = A.
Si f (z) = z z^ + 1− 1 , g(z) = z z^ −+ 1^2 , entonces
Dom{f } = Cr{ 1 } y Dom{g} = Cr{− 1 }.
Adem´as,
- (f + g)(z) =^2 z
(^2) − z + 3 z^2 − 1 ,
- (f − g)(z) =^5 zz 2 −− 11 ,
- (f g)(z) = z
(^2) − z − 2 z^2 − 1 ,
( (^) f g
(z) = z
(^2) + 2z + 1 z^2 − 3 z + 2. M´as a´un,
Dom{f + g} = Dom{f − g} = Dom{f g} = Cr{± 1 } y Dom
{ (^) f g
= Cr{− 1 , 1 , 2 }.
Definici´on 2 (Composici´on). Sean f : A ⊆ C−→C y g : B ⊆ C−→C dos funciones. La composici´on de f con g, denotada por f ◦g, se define como (f ◦g)(z) = f (g(z)), para los elementos z ∈ B tales que g(z) ∈ A.
g f
Observaci´on 2. La definici´on anterior indica que el dominio de la funci´on compuesta f ◦ g ser´a
Dom{f ◦ g} = {z ∈ B : g(z) ∈ A},
Otro ejemplo interesante es la funci´on cuadr´atica f (z) = z^2 , que mapea a C en C, no de manera univalente. Pero si hacemos la restricci´on de f al conjunto A = {x + iy ∈ C : x > 0 y y ∈ R}, esta resulta ser inyectiva y con rango dado por B = f (A) = Cr{ 0 }. As´ı, su funci´on inversa f −^1 : B ⊆ C−→A estar´a dada por f −^1 (w) = √w, la ra´ız cuadrada principal. M´as a´un, si θ ∈ (− π 2 , π 2 ], y A− θ y A+ θ son los dos semiplanos determinados por la recta y = (tan θ)x, la funci´on f restringida a A− θ o A+ θ es inyectiva y f (A− θ ) = f (A+ θ ) = Cr{w ∈ C : Arg{w} = 2θ}. Por lo tanto, en cada uno de esos conjuntos se define la inversa de la funci´on f , llamada una rama de la ra´ız cuadrada.
z^2
√z
Cr{x + i(tan θ)x : x ∈ R}
θ 2 θ
Cr{w ∈ C : Arg{w} = 2θ}
2. Topolog´ıa del plano
Para estudiar el l´ımite y la continuidad de funciones de variable compleja es necesario una topolog´ıa en C. En esta secci´on nos encargaremos de ello.
Definici´on 4. Sea z 0 ∈ C y r > 0. Definimos los siguientes conjuntos:
- Un disco abierto centrado en z 0 y radio r
D(z 0 , r) := {z ∈ C : |z − z 0 | < r}. (1)
- Un disco cerrado centrado en z 0 y radio r
D(z 0 , r) := {z ∈ C : |z − z 0 | ≤ r}. (2)
- Un c´ırculo centrado en z 0 y radio r
S(z 0 , r) := {z ∈ C : |z − z 0 | = r}. (3)
z 0
r
Figura 1: D(z 0 , r).
z 0
r
Figura 2: D(z 0 , r).
z (^0) r
Figura 3: S(z 0 , r).
Observaci´on 3. Note que D(z 0 , r) = D(z 0 , r)∪S(z 0 , r). Adem´as, denotaremos por D∗(z 0 , r) := D(z 0 , r)r{z 0 } y le llamaremos el disco agujerado. En todo el curso tambi´en ser´a com´un la notaci´on D = D(0, 1) y le lla- maremos el disco unitario.
La intenci´on de la secci´on es dotar el conjunto de los complejos con una topolog´ıa, de acuerdo a la Definici´on 6. Para ellos, definimos los siguientes tipos de puntos y conjuntos.
Definici´on 5. Sea A ⊆ C un subconjunto no vac´ıo y z 0 ∈ C un punto. Diremos que:
- El conjunto A es abierto en C, si para cada z ∈ A, existe r > 0 tal que D(z, r) ⊆ A.
- El conjunto A es cerrado en C, si su complemento CrA es abierto en C.
- El punto z 0 es un punto interior de A, si existe r > 0 tal que D(z 0 , r) ⊆ A.
- El interior de A es el conjunto formado por todos los puntos interiores de A y es denotado por Int(A).
- Una vecindad de z 0 es un conjunto U tal que z 0 ∈ Int(U ).
- El punto z 0 es un punto de acumulaci´on o punto l´ımite de A, si para cada r > 0 se cumple que D∗(z 0 , r) ∩ A 6 = ∅.
- El derivado de A es el conjunto formado por todos los puntos de acumulaci´on de A y es denotado por A′.
- El punto z 0 es un punto de adherencia de A, si para cada r > 0 se cumple que D(z 0 , r) ∩ A 6 = ∅.
T3. Si A 1 , A 2 , A 3 ,... , An ∈ T , entonces ⋂^ n k=
Ak ∈ T , esto es, la intersecci´on de un n´umero finito de ele- mentos de T est´a en T.
Luego, un espacio topol´ogico es un par (X, T ), donde X es un conjunto y T es una topolog´ıa en X.
Una consecuencia de esta definici´on es la siguiente proposici´on.
Proposici´on 1. Sea T := {O ⊂ C : O es abierto en C}.
Entonces T es una topolog´ıa en C, que es llamada la topolog´ıa est´andar y as´ı (C, T ) es un espacio topol´ogico.
Demostraci´on. Tarea.
Cualquier subconjunto A de C es tambi´en un espacio topol´ogico, con la topolog´ıa inducida en A, la cual est´a dada por TA = {O ∩ A : O ∈ T }. (5)
Los elementos de esta topolog´ıa los llamaremos abiertos relativos a A, o simplemente abiertos en A. M´as a´un, (C, | · |) es un espacio m´etrico, donde la funci´on m´odulo es la m´etrica. En general, un espacio m´etrico es un conjunto con una m´etrica, i.e, una funci´on que sirve para medir distancia entre puntos del conjunto. Adem´as, se puede verificar que todo espacio m´etrico es espacio topol´ogico. En C, y un espacio m´etrico en general, los discos abiertos son considerados los abiertos bases, ya que todo abierto de C se deja escribir como la uni´on arbitraria de discos abiertos. En particular, si CQ := {p + iq : p, q ∈ Q}, entonces
{D(z, p) : z ∈ CQ y p ∈ Q} (6)
es una base para la topolog´ıa en C Luego, lo anterior nos permite decir que z 1 y z 2 est´an cerca siempre y cuando |z 1 − z 2 | sea peque˜no. Principalmente, esto es ´util a la hora de definir el l´ımite de sucesiones. Recuerde que una sucesi´on es una funci´on x : N−→C, que usualmente se identifica por {zn}, donde zn := x(n).
Definici´on 7. Sea {zn} una sucesi´on de n´umeros complejos. Diremos que {zn} es convergente si existe w ∈ C con la condici´on que para cada > 0 , existe N 0 ∈ N tal que |zn − w| < si n ≥ N 0. En tal caso decimos escribimos zn−→w. En caso contrario decimos que la sucesi´on es divergente.
Si recordamos la convergencia de sucesiones de n´umeros reales, la definici´on anterior es equivalente a decir que la sucesi´on αn = |zn − w| converge a cero. Adem´as, zn−→w si y solo si Re{zn}−→Re{w} y Im{zn}−→Im{w}. Otra caracterizaci´on de las series convergentes es a trav´es del criterio de Cauchy para sucesiones de n´umero, el cual es, de cierto modo, m´as conveniente en el sentido de que no se necesita conocer el valor del l´ımite de la sucesi´on.
Definici´on 8. Sea {zn} una sucesi´on de n´umeros complejos. Diremos que {zn} es una sucesi´on de Cauchy o simplemente de Cauchy si para cada > 0 , existe N 0 ∈ N tal que |zn − zm| < si n, m ≥ N 0.
Puede verse que toda sucesi´on convergente es una sucesi´on de Cauchy. En nuestro contexto, de n´umeros complejos, el rec´ıproco de esta afirmaci´on tambi´en es cierto. En espacios m´etricos en general no toda sucesi´on de Cauchy es convergente. En los espacios m´etricos en los cuales se cumple esta propiedad se les llaman espacios completos. As´ı, la siguiente proposici´on implica que (C, | · |) es completo.
Proposici´on 2. Si {zn} es una sucesi´on de Cauchy, entonces es convergente.
Demostraci´on. Tarea.
Definici´on 9. Sea f : A ⊆ C−→C una funci´on y z 0 ∈ A′. Diremos que L ∈ C es el l´ımite de f cuando z se aproxima a z 0 , si se cumple que para cada > 0 , existe δ > 0 tal que |f (z) − L| < , siempre que 0 < |z − z 0 | < δ. Esto se denotar´a por
z^ l´→ımz 0 f^ (z) =^ L.
En este caso decimos que el l´ımite existe y es L.
Algunas caracter´ısticas y propiedades relevantes del l´ımite de funciones se siguen cumpliendo en este caso, por ejemplo,
- Si el l´ımite de una funci´on existe, entonces es ´unico.
- (^) zl´→ımz 0 f (z) = L si y solo si l´ z→ımz 0 |f (z) − L| = 0.
- (^) zl´→ımz 0 f (z) = L si y solo si para cada sucesi´on {zn} en A que converge a z 0 , se cumple que f (zn)−→L.
Ejemplo 10. Sea z 0 , z 1 ∈ C y considere f (z) = z 1 y g(z) = z, para cada z ∈ C. Entonces (^) zl´→ımz 0 f (z) = z 1 y (^) zl´→ımz 0 g(z) = z 0. En efecto, para el primer caso, |f (z) − z 1 | = 0 para todo z ∈ C. Para el segundo caso, si > 0 es dado, considere δ = y se tiene que
0 < |z − z 0 | < δ implica |g(z) − z 0 | = |z − z 0 | < .
Adem´as, el l´ımite de las funciones racionales existen cuando el punto z 0 pertenezca al dominio de la funci´on. M´as preciso, si g(z) = dnz
n (^) + dn− 1 zn− (^1) + · · · + d 2 z (^2) + d 1 z + d 0 cmzm^ + cm− 1 zm−^1 + · · · + c 2 z^2 + c 1 z + c 0 , entonces
zl´→ımz 0 g(z) =^ g(z^0 ),^ si^ z^0 ∈^ Dom{g}.^ (8)
Definici´on 10. Sea f : A ⊆ C−→C una funci´on y z 0 ∈ A. Diremos que f es continua en z 0 , si se cumple que para cada > 0 , existe δ > 0 tal que |f (z) − f (z 0 )| < , siempre que 0 < |z − z 0 | < δ. Esto es, f es continua en z 0 , si
z^ l´→ımz 0 f^ (z) =^ f^ (z^0 ).
Adem´as, diremos que f es continua en A, si es continua en cada punto de A.
Una consecuencia inmediata es que toda funci´on polin´omica es continua en C y toda funci´on racional es continua en su dominio. Por ejemplo, la funci´on f (z) = z z^23 +2+1 es continua en Cr
√ 3 2 ,^1 −
√ 3 2
Por otro lado, la continuidad en un punto se caracteriza a partir de sucesiones como sigue:
Proposici´on 3. Sea f : A ⊆ C−→C una funci´on y z 0 ∈ A. Luego, f es continua en z 0 si y solo si f (zn)−→f (z 0 ) para cada sucesi´on {zn} en A que cumple zn−→z 0.
Ejemplo 12. Considere f (z) = Arg{z} la funci´on argumento principal. Siguiendo la idea del Ejemplo 11 se puede verificar que si z 0 ∈ (−∞, 0), entonces
z^ l´→ımz 0 f^ (z)^ no existe, pero^ f^ (z^0 ) =^ π.
Luego, f no puede ser continua en (−∞, 0]. M´as a´un, se puede verificar que f es continua en Cr(−∞, 0]. Pa- ra ello, recuerde la Ecuaci´on (??), que el conjunto Cr(−∞, 0] es abierto y que la funci´on real h(t) = arc sen(t) es continua en [− 1 , 1].
Arg{z}
Dom{Arg{z}} = Cr(−∞, 0]
−π π
Ran{Arg{z}} = {x + iy ∈ C : x ∈ R y y ∈ (−π, π]}
A continuaci´on, una proposici´on que define la continuidad en t´erminos topol´ogicos. M´as adelante, algunas implicaciones de las funciones continuas.
Proposici´on 4. Sea f : A ⊆ C−→C una funci´on. Los siguientes enunciados son equivalentes
- f es continua en A
- f −^1 (O) ⊆ A es abierto en A, para cada O ⊆ C abierto en C.
- f −^1 (C) ⊆ A es cerrado en A, para cada C ⊆ C cerrado en C.
Demostraci´on. Tarea.
Proposici´on 5. Supongamos que f y g son continuas en A y α ∈ C. Entonces las funciones αf , Re{f }, Im{f }, f¯ , |f |, f + g, f − g y f g son continuas en A. Adem´as, f /g es continua en {z ∈ A : g(z) 6 = 0}.
Demostraci´on. Tarea.
La siguiente es una generalizaci´on del resultado anterior, que sirve para estudiar la continuidad de la composici´on de funciones a partir de cada una de las funciones que se componen
Proposici´on 6. Supongamos que f : A ⊆ C−→C y g : f (A) ⊆ C−→C son continuas en A y f (A), respectivamente. Entonces la funci´on g ◦ f es continua en A.
Demostraci´on. Tarea.
Una consecuencia de la proposici´on anterior indica que si f es continua en A, entonces Arg{f } es continua en {z ∈ A : f (z) ∈ Cr(−∞, 0]}. Es decir, si f = u + iv, entonces Arg{f } es continua en ArB, donde B = {z ∈ A : u ≤ 0 y v = 0}
Ejemplo 13. Supongamos que f es continua en A y z 0 ∈ A. Verifique que si f (z 0 ) 6 = 0, entonces existe una vecindad U ⊆ A de z 0 tal que f (z) 6 = 0; para todo z ∈ U.
Demostraci´on. Sea g(z) = |f (z)| ≥ 0, para todo z ∈ A. Supongamos que z 0 ∈ A con f (z 0 ) 6 = 0, entonces g(z 0 ) > 0. Tomando = g(z 20 )> 0, existe δ > 0 tal que
|g(z) − g(z 0 )| < , para todo z ∈ B(z, δ) ∩ A.
As´ı, asumiendo U = B(z, δ) ∩ A ⊆ A y z ∈ U , entonces
g(z) = |g(z)| ≥ |g(z 0 )| − |g(z) − g(z 0 )| > 2 − = > 0.
En efecto, supongamos que |z − z 0 | ≤ r y |w − z 0 | ≤ r. Si t ∈ [0, 1], entonces
|(tw + (1 − t)z) − z 0 | = |t(w − z 0 ) + (1 − t)(z − z 0 )| ≤ t|w − z 0 | + (1 − t)|z − z 0 | ≤ tr + (1 − t)r = r.
As´ı, tw + (1 − t)z ∈ D(z 0 , r) para todo t ∈ [0, 1]. Por otro lado, z = z 0 + r y w = z 0 − r est´an en S(z 0 , r), pero z 0 = 12 w + (1 − 12 )z no est´a en S(z 0 , r).
Definici´on 13. Sea A ⊆ C un conjunto no vac´ıo y z, w ∈ A.
- Un camino en A que une a z con w es una funci´on γ : [0, 1]−→A continua en [0, 1] tal que γ(0) = z y γ(1) = 1. En este caso se dice que el camino γ une los puntos z y w.
- Si γ : [0, 1]−→A es un camino en A que une a z con w, el conjunto γ([0, 1]) es llamado la trayectoria de γ, que la denotaremos por |γ|.
- El conjunto A se dice conexo por caminos si para cada par de puntos z, w ∈ A, existe un camino que los une. Si z, w ∈ C, entonces [z, w] es la trayectoria de un camino, m´as preciso un camino recto, que une a z con w, ya que γ(t) = tw + (1 − t)z, con t ∈ [0, 1]. As´ı, todo conjunto convexo es conexo por camino. Sin embargo, no todo conjunto conexo por caminos es convexo, como veremos m´as adelante, que los c´ırculos son conexos por caminos, pero no convexos.
Observaci´on 4. En la definici´on de camino se consider´o el intervalo [0, 1] como dominio de la funci´on continua γ, pero este puede ser reemplazado por cualquier otro intervalo [a, b], ya que la composici´on de funciones continuas es continua y la funci´on ˆγ : [0, 1]−→[a, b], dada por ˆγ(s) = sb + (1 − s)a, es continua y biyectiva en [0, 1], que permite cambiar el dominio sin alterar la trayectoria. Sean z 1 , z 2 , z 3 ∈ A. Si γ 1 es un camino que une los puntos z 1 y z 2 y γ 2 es un camino que une los puntos z 2 y z 3 , entonces se puede definir γ 3 un camino que une los puntos z 1 y z 3 , como sigue
γ 3 (t) =
γ 1 (t) si t ∈ [0, 1], γ 2 (t − 1) si t ∈ [1, 2].
M´as adelante llamaremos a este camino, la suma de γ 1 con γ 2.
Ejemplo 14. La trayectoria de cualquier camino que une dos puntos es conexo por caminos.
Soluci´on. Sea γ 0 : [0, 1]−→C un camino y A = |γ 0 | su trayectoria. Si z, w ∈ A, existen t 1 , t 2 ∈ [0, 1]tales que z = γ 0 (t 1 ) y w = γ 0 (t 2 ). Defina γ : [0, 1]−→A, dada por γ(s) = γ 0 (st 2 + (1 − s)t 1 ) para s ∈ [0, 1]. As´ı, γ es un camino en A que une a z con w.
Proposici´on 7. Si f : A ⊆ C−→C es una funci´on continua y A es conexo, entonces f (A) es conexo.
Demostraci´on. Si U, V es una separaci´on de f (A), entonces f −^1 (U ), f −^1 (V ) es una separaci´on de A.
La primera consecuencia de este resultado es que la trayectoria de cualquier camino que une dos puntos es conexo. De hecho, si γ : [0, 1]−→C es un camino que une dos puntos, entonces |γ| = γ([0, 1]) es conexo, ya que γ es continua y [0, 1] ⊂ R es conexo. Este ejemplo encamina el siguiente resultado m´as general.
Proposici´on 8. Si A es conexo por camino, entonces A es conexo.
Demostraci´on. Supongamos que U, V es una separaci´on de A. Sean z ∈ U y w ∈ V y considere γ : [0, 1]−→A un camino en A que une a z con w. Entonces U ∩|γ|, V ∩|γ| es una separaci´on de |γ|, lo cual no es posible.
Finalmente, podemos decir que los discos abiertos y cerrados son conexo. Los c´ırculos son conexos y conexos por caminos, pero no convexos, ya que, por ejemplo S(0, 1) = γ([0, 1]) con γ(t) = cos (2πt) + i sen (2πt).
Ejemplo 15. Supongamos que A es conexo y U, V una separaci´on de B. Si A ⊂ B entonces A ∩ U = Ø o A ∩ V = Ø.
Soluci´on. Si A ∩ U 6 = Ø y A ∩ V 6 = Ø, entonces A ∩ U, A ∩ V es una separaci´on de A, lo cual contradice la hip´otesis.
Ejemplo 16. Si A y B son conexos y A ∩ B 6 = Ø, entonces A ∪ B es conexo.
Soluci´on. Sea U, V una separaci´on de A ∪ B y z 0 ∈ A ∩ B. Si z 0 ∈ U , entonces A ∩ V = Ø y B ∩ V = Ø. Esto implica que A, B ⊆ U , es decir, A ∪ B = U y V = Ø, lo cual contradice el hecho de que U, V una separaci´on de A ∪ B. Si z 0 ∈ V , razonando de manera an´aloga, se obtiene una contradicci´on.
Los ejemplos anteriores muestran la idea m´as clara de que la conexidad implica de una sola pieza. M´as a´un, si A ⊆ C es no vac´ıo, entonces A se puede descomponer en piezas disyuntas, esto es existe una familia de conjuntos conexos {Cα}α∈∆ tal que Cα 1 ∩ Cα 2 = Ø si α 1 6 = α 2 y
A =
α∈∆
Cα. (10)
