funciones variables, Apuntes de Matemática Financiera

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EJERCICIOS RESUELTOS:

Funciones de varias variables

Matemáticas

Elena Álvarez Sáiz

Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación

Universidad de Cantabria

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

Ejercicios: Func. varias variables

Fundamentos Matemáticos I

1

Dada las superficies

(1)

2 2

z = x + y (2)

2 2

4 9

x z

y = −

Se pide:

(a) Representar las trazas

(b) Obtener las curvas de nivel

(c) Realizar un bosquejo de su gráfica

Se trata de un paraboloide

Al cortar por planos x=cte: Parábolas

2

z = cte +y

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Ejercicios: Func. varias variables

Fundamentos Matemáticos I

Al cortar por planos z=cte (curvas de nivel): Circunferencias

2 2

Cte = x + y Cte> 0

Profesora: Elena Álvarez Sáiz S

Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Func. varias variables

(2) Se trata de un hiperboloide

Curvas x=cte: Parábolas

2

9

z

y = Cte−

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Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Func. varias variables

El dominio es el conjunto de los puntos

2

Domf = x y , ∈
/ x. − y x + y ≥ 0, x ≠y

es decir, los puntos del plano comprendidos entre las rectas x=y, x=-y salvo los de la recta

x=y, gráficamente

3

Se considera la función

, 2 3

xy

x

f x y e sen x y

y

= + + + π. Calcular

f

x

∂

∂

,

f

y

∂

∂

,

2

2

f

x

∂

∂

,

2

f

x y

∂

∂ ∂

,

0, x

f ,

2, 1 y

f − ,

0, xx

f ,

2, 1 xy

f −.

Solución:

1

2 cos 2 3

xy

f

ye x y

x y

π π

∂

= + + +

∂

2

3 cos 2 3

xy

f x

xe x y

y y

π π

∂

= − + +

∂

2

2 2

2

2 2 3

xy

f

y e sen x y

x

π π

∂

= − +

∂

2

2

2

1

6 2 3

xy xy

f

e xye sen x y

x y y

π π

∂

= + − − +

∂ ∂

0,1 1 1 2 cos 3 2 2 x

f = + + π π = − π

4

Dada la función

4 4

3 3 ( , )

0

xy x y

x y

f x y x y

x y

  −  ≠ −  

= 



 = − 



a) Hallar

0, 0 x

f y

0, 0 y

f

b) Calcule

, x

f x y y

, y

f x y

c) Es

0, 0 0, 0 xy yx

f = f?

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Ejercicios: Func. varias variables

Fundamentos Matemáticos I

Solución:

0

(0 , 0) (0, 0)

) (0, 0) lim x

h

f h f

a f

h →

• −

=

4 4

3 3

4 0 0

(0 )0 (0 ) 0

0

(0 ) 0 0

lim lim 0

h h

h h

h

h h

→ →

• − +

−

= = =

0

4 4

3 3

0

4 0

(0, 0 ) (0, 0)

(0, 0) lim

0(0 ) 0 (0 )

0

0 (0 )

lim

0

lim 0

y h

h

h

f h f

f

h

h h

h

h

h

→

→

→

• −

=

• − +

−

=

= =

b) Supongamos ahora que

x y, con x ≠ −y , entonces

4 3 3 3 4 4 2

3 3 2

( 4 )( ) ( )(3 )

( )

x

y x y x y xy x y x

f

x y

− + − −

=

3 4 3 3 4 4 2

3 3 2

(4 )( ) ( )(3 )

( )

y

xy x x y xy x y y

f

x y

− + − −

=

En los puntos

a, −a se tendrá:

0

( , ) ( , )

( , ) lim x

h

f a h a f a a

f a a

h →

• − − −

− =

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Ejercicios: Func. varias variables

Fundamentos Matemáticos I

Si 0

P

S

∂

<

∂

significaría que al aumentar la superficie del piso el precio disminuiría.

Esto no parece lógico.

Funciones diferenciables. Diferencial de una función de dos variables

6

Sea

2 2

f x y ( , ) = x + y pruebe que es diferenciable en (0,0)

Solución:

Forma 1.- Utilizando la definición

a)

h 0

(0 , 0) (0, 0)

(0, 0) lim

f f h f

x h →

∂ + −

=

∂

2 2

h 0 h 0

(0 ) 0

lim lim 0

h h

h h → →

• −

= = =

b) (0, 0) 0

f

y

∂

=

∂

(análogo al apartado a) ya que la función es simétrica)

2 2

) f (0, 0) ( , ) (0, 0) (0, 0). (0, 0) ( , )

f f

c x y f x y x y x y

x y

ε

∂ ∂

• ∆ ∆ = + ∆ + ∆ + ∆ ∆ ∆ + ∆

∂ ∂

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Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Func. varias variables

Entonces

2 2

2 2

2 2

2 2

( , ) 0 0 0 ( , )

( , )

f x y x y x y x y

x y

x y x y

x y

ε

ε

∆ ∆ = + ∆ + ∆ + ∆ ∆ ∆ + ∆ ⇒

∆ + ∆

∆ ∆ = = ∆ + ∆

∆ + ∆

Veamos si

( , ) ( 0,0)

lim ( , ) 0

x y

ε x y

∆ ∆ →

∆ ∆ =

Utilizando coordenadas polares:

( ) ( , ) 0,0 0

0,

lim ( , ) lim 0

x y

x y

ρ

ϕ π

ε ρ

∆ ∆ → →

  ∈  

∆ ∆ = =

Luego la función es diferenciable.

Forma 2.-

Como en todos los puntos del plano existen las derivadas parciales y además son

continuas la función es diferenciable en todo

2

x y , ∈
. En particular en el (0, 0).

7

Considere la función f(x,y) dada por:

2 2

, ( , ) (0, 0)

( , )

0, ( , ) (0, 0)

xy

x y

f x y x y

x y

 

 ≠  

= 





 

a) Halle

0, 0

f

x

∂

∂

y

0, 0

f

y

∂

∂

b) ¿Es f(x,y) diferenciable en (0,0)?

c) ¿Qué puede concluir de (a) y (b) respecto a la diferenciabilidad de la función?

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Ejercicios: Func. varias variables

pero calculando los límites radiales:

( )

( )

3 3 ( , ) (0,0) 0 2 2 2 2 2 2

..

lim lim

x y x

y m x

x y x m x

x y x m x

∆ ∆ → ∆ →

∆ = ∆

∆ ∆ ∆ ⋅ ∆

= =

∆ + ∆ ∆ + ⋅ ∆

3 0 2 2

lim

1

x

m

x m

∆ →

=

∆ +

nos damos cuenta que no existe este límite. Por lo tanto, la función dada, no es

diferenciable en el (0,0)

c) Podemos concluir que el hecho de que las derivadas parciales existan en el (0,0) no

asegura diferenciabilidad en el punto

8

Sea la función

2

4 2

,( , ) (0, 0)

( , )

0, ( , ) (0, 0)

x y

x y

f x y x y

x y

 

 ≠  

= 









1. Halle ( , ) y ( , )

f f

x y x y

x y

∂ ∂

∂ ∂

1. ¿En qué direcciones v existe (0, 0) v

Df?

1. ¿Es f(x,y) diferenciable en (0,0)?

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Ejercicios: Func. varias variables

Fundamentos Matemáticos I

Solución:

a) Si

3 5

2

4 2

2 2

, 0, 0 ,

f xy x y

x y x y

x

x y

∂ −

≠ ⇒ =

∂

Si (x,y) = (0,0), entonces

2

4 2

5 0 0 0

(0 ).

0

(0 , 0) (0, 0) (0 ) 0 0

(0, 0) lim lim lim 0

h h h

h

f f h f h

x h h h

→ → →

−

∂ + − + +

= = = =

∂

Así:

3 5

2

4 2

2 2

si x,y 0, 0

,

0 Si x,y 0, 0

xy x y

f

x y x y

x

  − 

 ≠

∂  

= 

 ∂ 



 

Análogamente

6 2 2

2 4 2

si x,y 0, 0

,

0 Si x,y 0, 0

x x y

f

x y x y

y

  −  ≠ 

∂  

= 

 ∂ 



  

( PRUÉBELO ¡!!!)

b) Sea v =( , )a b



tal que ||v||=

0

2

4 4 2 2

0 0 0

3 2 2 3 2 2

4 4 2 2 3 4 2 2 4 2 2 0 0 0

((0, 0) ) (0, 0)

(0, 0) lim

( ) 0 ( , )

lim lim lim

( )

lim lim lim

t

t t t

t t t

f f tv f

v t

at bt

f tv f at bt a t b t

t t t

t a b a bt a b a

b t a t b t t a t b a t b

→

→ → →

→ → →

∂ + −

= =

∂

−

= = =

= = = =





siempre que b sea distinto de cero.

En el caso de que b sea cero el vector v será (1, 0) y por lo tanto

0

4

0 0 0

((0, 0) 1, 0 ) (0, 0)

(0, 0) lim

0

( , 0) 0 0

lim lim lim 0

t

t t t

f t f f

v t

f t t

t t t

→

→ → →

• − ∂

= =

∂

= = = =

Podemos concluir que la función posee derivadas direccionales en (0,0) en cualquier

dirección.

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Ejercicios: Func. varias variables

Fundamentos Matemáticos I

Solución:

(a) Calculamos inicialmente las derivadas parciales en el origen:

0 0

, 0 0, 0 0 0

0, 0 lim lim 0

x x

f x f f

x x x ∆ → ∆ →

∆ − ∂ −

= = =

∂ ∆ ∆

por simetría de la función

0, 0 0

f

y

∂

=

∂

.

Utilizamos la definición para ver si es

diferenciable. La función será diferenciable

si

( ) ( )

, 0,0 2 2

, 0, 0 0, 0 0, 0

lim 0

x y

f f

f x y f x y

x y

x y

∆ ∆ →

∂ ∂

∆ ∆ − − ⋅ ∆ − ⋅ ∆

∂ ∂

=

∆ + ∆

Se tiene que

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, 0,0 2 2

2 2 2 2 , 0,0 , 0,

, 0, 0 0, 0 0, 0

lim

,

lim lim

x y

x y x y

f f

f x y f x y

x y

x y

x y f x y

x y x y

∆ ∆ →

∆ ∆ → ∆ ∆ →

∂ ∂

∆ ∆ − − ⋅ ∆ − ⋅ ∆

∂ ∂

=

∆ + ∆

∆ ⋅ ∆ ∆ ∆

= =

∆ + ∆ ∆ + ∆

Este último límite no tiende a cero

(basta calcular los límites radiales o pasar

a coordenadas polares).

Por lo tanto la función no es diferenciable en el origen.

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Ejercicios: Func. varias variables

Relación entre la diferencial y la derivada direccional. Gradiente.

10

El conjunto de los puntos (x, y) con 0 ≤ x≤ 5 , 0 ≤ y≤ 5 es un cuadrado colocado en el primer

cuadrante del plano XY. Supongamos que se caliente ese cuadrado de tal manera que

2 2

T x y , = x + y es la temperatura en el punto P(x, y). ¿En qué sentido se establecerá el flujo de

calor en el punto

2, 5

o

P?

Indicación: El flujo de calor en la región está dado por una función vectorial

C x y,

porque su valor en cada punto depende de las coordenadas de éste. Sabemos por física

que

C x y, será perpendicular a las curvas isotermas

T x y, = c donde c es

constante. El gradiente y todos sus múltiplos verifican esta condición. En esta

situación nos dice la física que C = −K ∇T donde K es una constante positiva

(llamada conductividad térmica). Nótese que la razón del signo negativo es que el

calor fluye desde puntos de mayor temperatura a puntos de menor temperatura.

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Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Func. varias variables

∇f 0, 0 = 3 2

1 2 2

0, 0 ,

0, 0 2 2

u f

f

 

   = ∇ =       ∇  

Calculando el gradiente en el origen:

∇f ( 0, 0)= ai +b j

 

se tiene que cumplir que:

2 2

a + b = 3 2

2 2

, ,

2 2 3 2 3 2

a b

u a b

         =  =  ⇒ =             

Por lo tanto, resolviendo el sistema formado por estas dos ecuaciones:

a = b= 3

Determinar, si es posible, un vector unitario u



de modo que la derivada direccional de la

función

1

, ,

xy

f x y z

z

−

= en el punto (1, 1, 1) y en la dirección de u



sea 2.

Puntuación: 10 puntos

En el punto (1, 1, 1) la función f es diferenciable por tener derivadas parciales primeras

continuas, luego la derivada direccional es:

1,1,1 1,1,1 , 2 u

D f = ∇f u =



2

1

1,1,1 1 1,1,1 1 1,1,1 0

f y f x f xy

x z y z z z

f f f

x y z

∂ ∂ ∂ −

= − = − = −

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

= − = − =

∂ ∂ ∂

1,1,1 1, 1, 0 , , , 2 u

D f = − − a b c =

Se trata de resolver el sistema:

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Ejercicios: Func. varias variables

Fundamentos Matemáticos I

2 2 2 2 2 2

2 2

1 1 2 2 2 2 1 0

b a a b

a b c c a a a NO

   = − −  − − =     ⇒  

 

• • = = − − − = − + <     

Que no tiene solución. Luego no es posible encontrar el vector pedido.

12

De una función

z = f x y, diferenciable en todo

2

se sabe que el plano tangente a

f x y, en el punto

(1, 2) es: 2 x + 3 y + 4 z= 1. ¿Se puede calcular con estos datos la derivada direccional de f en la

dirección que une el punto (1, 2) con el punto (3,4)? Justificar la respuesta.

La dirección en la que nos piden calcular la derivada direccional es:

1 1

3 1, 4 2 2, 2 ,

2 2

v

v u

v

 

  = − − = ⇒ = =       

Como el plano tangente en el punto (1, 2) es

1 3 1

2 3 4 1

2 4 4

x + y + z = ⇔ x + y + z= (I)

que corresponde a la ecuación

1, 2 1 1, 2 2 1, 2

f f

x y z f

x y

∂ ∂

− + − = −

∂ ∂

(II)

se tiene que cumplir que

1 3

1, 2 1, 2

2 4

f f

x y

∂ − ∂ −

= =

∂ ∂

sin más que igualar los coeficientes en las dos expresiones (I) y (II)

Luego la derivada direccional pedida es:

1 3 1 1 5 5 2

, 1, 2 1, 2 , 1, 2 , , , ,

2 4 8 2 2 4 2

u

f f

D f u

x y

      ∂ ∂ − − −       =  = −   = =              ∂ ∂     

13

Sea

2

f :A ⊂
→
definida por