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Tema 4.
Funciones de n variables
Introducción
- Desde un punto de vista intuitivo, un espacio métrico es,
simplemente, un conjunto en donde podemos hablar de la
“distancia” entre sus elementos. Se hace necesario pues definir
lo que se entiende por distancia entre dos elementos.
- Dados dos elementos cualesquiera x, y, existe un número real
positivo que podemos designar d(x,y) y al cual llamamos
distancia de x a y.
d : ℜ n^ × ℜ n → ℜ ( ) ( ) ( )^2 1
|| ||
n x, y → d x, y = x - y = + (^) ∑i = xi −yi
Propiedades de la norma:
- d(x, y) ≥ 0
- d(x, y) = d(y, x)
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Esferas abiertas, cerradas y superficie
esférica
- Sea (E, d) un espacio métrico cualquiera. Definiremos
ciertos subconjuntos importantes de E.
- Tomemos un punto a ∈ E y un número real r > 0. Se
llama esfera abierta de centro a y radio r al conjunto N(a;r)={x∈E | d(x,a) < r}
- Esfera abierta reducida de centro a y radio r es el
conjunto N^1 (a;r)={x∈E | 0< d(x,a) < r}
- Esfera cerrada de centro a y radio r es el conjunto
Ñ(a;r)={x∈E | d(x,a) ≤ r}
Obsérvese que tanto la esfera cerrada como la abierta no puede ser un conjunto vacío ya que al menos el centro pertenece a él. Una esfera abierta reducida puede, por otra parte, resultar un conjunto vacío. En el espacio métrico la recta real, una esfera abierta de centro a y radio r > 0, es el conjunto de números reales (puntos) x, tales que
|x −a| < r, es decir el intervalo abierto (a −r, a+r); la esfera cerrada
del mismo centro y el mismo radio resulta el intervalo cerrado [a −r,
a+r].
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Entornos y puntos de acumulación Sea (E, d) un espacio métrico cualquiera y a∈E. Se llama entorno de un punto a a todo conjunto abierto que lo contenga. Así, en particular una esfera abierta de centro a y radio r es un entorno de a. Obsérvese que todo entorno de a contiene una esfera abierta de centro a, ya que a pertenece al entorno y es, por tanto, punto interior de éste.
Punto de acumulación: como su nombre lo indica, es un punto alrededor del cual se acumulan, se concentran, los puntos del conjunto, de tal forma que, por “pequeño” que sea el entorno, siempre los hallaremos en él.
Sea A un conjunto en el espacio métrico (E,d) y x∈E. Se dice que x es un punto de acumulación del conjunto A si todo entorno de x contiene puntos puntos de A distintos de x. Es decir, para todo entorno S de x se cumple:
( S^ −^ { x}^ )∩A≠ ∅
Puntos de acumulación y puntos aislados
Puede suceder que el conjunto A no admita ningún punto de acumulación, así como admitir muchos. Nótese que en la definición no se exige que x∈A, pero puede suceder. Si x ∈A, pero no es un punto de acumulación de A, recibe el nombre de punto aislado de A. Esto quiere decir que existe algún entorno de x que no contiene puntos de A, aparte de él mismo. Si A es un conjunto en (E, d) y x ∈E es tal que para todo número real r > 0: A ∩ N^1 (x;r) ≠ ∅, entonces x es punto de acumulación de A. Al conjunto de todos los puntos de acumulación de un conjunto A lo llamamos conjunto derivado y se designa por A’. El concepto de punto de acumulación implica estar extremadamente cerca al conjunto, sin pertenecer necesariamente a él.
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Conjuntos cerrados
- Sea (E; d) un espacio métrico cualquiera y A un subconjunto de E. si A’ ⊂A, es decir si A contiene todos sus puntos de acumulación, decimos que A es un conjunto cerrado.
- Si A no admite puntos de acumulación, es decir A’= φ, A es cerrado, ya que siempre A’ ⊂A. En particular, el conjunto vacío φ es un conjunto cerrado. El conjunto E es también cerrado. - Nótese que tanto φ como E son conjuntos abiertos y cerrados a la vez. Resulta oportuno llamar la atención sobre el hecho de que el conjunto cerrado no se ha definido como aquel que no es abierto, ni viceversa. Esto admite la posibilidad de que un conjunto sea abierto y cerrado, que sea una de las dos cosas o, como es el caso más frecuente, ni una ni otra.
Conjuntos cerrados
Puede suceder que A’=A, es decir, que A sea cerrado y que todos sus puntos sean de acumulación. Un conjunto con esta propiedad se dice que es perfecto. Poseen propiedades interesantes, pero son poco frecuentes. Un ejemplo clásico de un conjunto perfecto es un intervalo cerrado (de más de un punto) en la recta real, así como también todo el conjunto ℜ.
o sea a la unión de A con todos sus puntos de acumulación, se le llama clausura de A y sus elementos reciben el nombre de puntos de adherencia de A.
Dado el conjunto A en un espacio métrico (E,d), al conjunto (^) A = A ∪A'
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Conjuntos convexos
{ (^ )^ [^ ]}
x x 1 2 = x ∈ A | x = λx 1 + 1 − λ x 2 , λ∈ 0,
Dados x 1 , x 2 , definimos conjunto de extremos x 1 x 2 :
Decimos que el conjunto A es convexo si y solo si, dados dos puntos x 1 y x 2 pertenecientes al conjunto A, el conjunto de extremos x 1 x 2 también pertenece a A.
A es convexo ⇔ ∀x 1 ,x 2 ∈ A ⇒ x x 1 2 ∈A x 2
x 1
x 2
convexo x^1 No convexo
Frontera
Sea A un conjunto cualquiera en un espacio métrico (E, d). Llamamos frontera de A al conjunto:
( )
β A A E A
= (^) −
∩
Antes de aventurar interpretaciones intuitiva sobre este concepto, veamos algunas de las propiedades de la frontera: β(A) es un conjunto cerrado
β(A) = β(E −A)
A cerrado ⇔ β(A)⊂A A abierto ⇔ A ∩ β(A) = ∅
A = A∪ β ( A)
Frontera= conjunto de puntos que pertenecen al cierre de A y a su complementario.
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A modo de resumen
- Un conjunto se llama abierto si todos sus puntos
son interiores.
- Si A contiene a todos sus puntos fronteras se dice
que A es cerrado.
- Un conjunto es cerrado si y sólo si su
complementario es abierto.
- Un conjunto se llama acotado si se puede
encontrar una esfera que lo contenga.
Algunos ejemplos gráficos
A={(x,y): x≥1, y≥0}
1
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Representación gráfica de funciones Represente la función f(x,y) = 2x + y - El dominio de la función es todo ℜ^2. Para representar la función ponemos z en lugar de f (x, y), para ver si se trata de una ecuación conocida, con lo que tenemos: z = 2x+y – 4 de donde 2x+y – z = 4 que es la ecuación de un plano en el espacio.
El dominio de la función viene determinado por 9–x^2 – y^2 ≥ 0 de donde x^2 +y^2 ≤ 9 que es el círculo con centro el origen de coordenadas y radio 3 (incluido su contorno). Para representar la función sustituimos f(x, y) por z, con lo que resulta: z = 9 –x^2 – y^2 de donde z^2 = 9 –x^2 – y^2 o bien x^2 +y^2 +z^2 = 9 que es la ecuación de la esfera de centro el origen de coordenadas y radio 3. Y al limitarnos a valores de z positivos, se reduce a la semiesfera superior.
Represente la función f^ ( ,x y^ )^ =^9 −^ x^2 −y^2
Operaciones con funciones de varias variables.
Las funciones de varias variables se pueden combinar de la misma forma que las funciones de una sola variable. Por tanto se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir, etc.
f(x, y) ± g(x, y) , f(x, y) · g(x, y) , f(x, y) /g(x, y) , · · ·
Así, las operaciones entre funciones de varias variables se definen de manera análoga a como se definen en el caso de una sola variable:
(f + g)(x, y) = f(x, y) + g(x, y)
(f ·g)(x, y) = f(x, y) g(x, y)
(f/g) (x, y) = f(x, y) / g(x, y) siempre que (^) g x y( , ) ≠ 0
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Operaciones con funciones de varias variables. No obstante, hay que hacer notar que operar con funciones significa operar con las imágenes de un mismo punto.
( ) ( ) (^ )^ (^ )^ (^ ) (^ )
, (^2) , , , ,
f x y x (^) x y f x y g x y f g x y g x y x y
= (^) + = + = + = +
En consecuencia, para que la operación con las imágenes se pueda considerar como una operación de funciones, las dos funciones tienen que estar definidas sobre ese mismo punto. Por tanto, para operar, todas las funciones tienen que ser del mismo número de variables (aunque en la fórmula no tienen por que aparecer todas). Ejemplo: se pueden sumar las funciones:
Sin embargo, no se puede expresar como suma de funciones la siguiente suma:
f(x,y) (x,y) (^) g(x,y) f(x,y) + g(x,y)
( ) ( ) ,^2 (^ )^ (^ ,^ )^ (^ ) ( )?
f x x g x y x y x^ y^ f^ x^ g^ x y^ f^ g
= = + +^ =^ +^ =^ +
Dominio de una función de n variables
Considerando los dominios, se tiene,
( ) ( ) ( ) ( )
: : :
n n f (^) f g n g
f D f g D D g D f g f g
⊆ ℜ → ℜ + ⊆ ℜ → ℜ ⊆ ℜ → ℜ (^) + x = x + x
∩
Es decir, el dominio de la función suma es la intersección de los dominios de las funciones sumandos. Igual ocurre con la diferencia y el producto. Sin embargo, en el cociente hay que hacer una restricción adicional y eliminar aquellos puntos que anulan el denominador, ya que no está permitido dividir por cero. Así,
D (^) f g = D (^) f ∩Dg − (^) { x ∈ Dg / g ( x)= (^0) }
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Límite y continuidad
Recordemos que cuando estudiamos el límite de una función en una variable, establecimos que ese límite existía, siempre que los límites laterales existieran y fueran iguales. Es decir:
lim ( ) x a
f x →
= ℓ
lim ( ) x a −^ f^ x →
lim ( ) = ℓ x a +^ f^ x →
= ℓ
Siempre que:
Debemos notar que en este caso, hay solo dos caminos por lo cuales nos podemos acercar a x=a. Nos podemos acercar desde la derecha o desde la izquierda. Veamos que sucede en las funciones en dos o más variables.
Límite
Definamos primero la notación. Nosotros estaremos interesados en conocer el límite de una función f(x,y) a medida que x se aproxima a a e y se aproxima a b. Esto puede ser escrito de varias formas. Las dos notaciones más estándar son:
lim ( , ) x a y b
f x y → → (^ ,^ )^ (^ , )
lim ( , ) x y a b
f x y →
De la misma manera que con límites de funciones de una variable, a fin de que el límite exista, la función debe acercarse al mismo valor, independientemente de la dirección por la que nos movemos hacia el punto (a,b). El problema que nos enfrentamos es que hay literalmente un número infinito de caminos por los cuales nos podemos acercar a (a,b).
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Entorno de un punto en el plano De manera análoga a como se definen los entornos en la recta real mediante intervalos, se definen los entornos en el plano mediante discos. Así, un δ- entorno alrededor de (x 0 , y 0 ) va a ser un disco centrado en (x 0 , y 0 ) con radio δ. Es decir, se define el δ-entorno alrededor de (x 0 , y 0 ) como el conjunto de puntos (x, y) del plano que distan de (x 0 , y 0 ) menos que δ.
{^ ( )^ (^ )^ (^ ) }
2 2 2 x y, ∈ℜ : x − x 0 + y − y 0 < δ
{^ ( )^ (^ )^ (^ ) }
2 2 2 2
x y, ∈ℜ : x − x 0 + y − y 0 < δ
que también se puede expresar sin la raíz cuadrada de la siguiente forma:
δ (x 0 ,y 0 )
x
y
Límite Al calcular el límite de una función en un punto nos interesamos por los valores que toma la función en los alrededores del punto. Este valor puede coincidir o no con el valor que realmente toma la función en el punto en cuestión. Es decir, el límite de una función en un punto P es l si los valores que toma la función en los alrededores de P están tan cerca de l como queramos (el valor que la función tome en P no interesa a la hora de calcular el límite) Para poder hablar de límite de una función en un punto, la función tiene que estar definida en los alrededores del punto. Formalmente la definición de límite es la siguiente: Sea f una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en (x 0 , y 0 ), excepto quizás en el punto (x 0 , y 0 ). Entonces,
si y sólo si para cada ε > 0 existe un correspondiente δ > 0 tal que
( , ) ( 0 , 0 )
lim ( , ) x y x y
f x y →
= ℓ
( ) ( ) ( )
2 2 f x y, − ℓ < ε, siempre que 0< x − x 0 + y − y 0 <δ
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Cálculo de límites Determine si los siguientes límites existen o no. En caso de que existan, obtenga su valor. 2 ( , , ) (2,1, 1)
lim 3 cos( )
x y z x z y x π x πz → −
Esta función es continua en el punto en cuestión, por tanto sólo debemos reemplazar los valores: ( ) ( ) 2 2 ( , , ) (2,1, 1) lim 3 cos( ) 3 2 1 1 2 cos(2 ) 14 x y z x z y x π x πz π π → −
( , ) (5,1)
lim x y
x y → (^) x + y
En este caso, la función no será continua a lo largo de la recta y=–x, ya que en esos puntos el denominador se anula. Sin embargo, el punto sobre el cual queremos hallar el límite no se encuentra en esa recta y por tanto:
( , ) (5,1)
5 lim x y 6
x y → x y
=
Cálculo de límites 2 2
( x y, lim) (0,0)^4
x y → (^) x + y
En este caso, la función no es continua en el punto en cuestión, por tanto no podemos simplemente reemplazarlo en la función. Sin embargo la función puede tener límite o no. Si podemos encontrar dos direcciones (o caminos) diferentes de acercamiento al punto (0,0) que nos den diferentes valores para el límite, podremos afirmar que el límite no existe en dicho punto.
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Cálculo de límites
Aunque la definición de límite de funciones de dos variables va en total paralelismo con la definición de límite de funciones de una sola variable, existe una diferencia fundamental a la hora de determinar la existencia de un límite. En una variable, la existencia del límite, es equivalente a la coincidencia de los límites laterales. Es decir, para determinar si una función de una variable tiene límite en un punto determinado, solamente necesitamos comprobar qué ocurre al aproximarnos por dos direcciones –por la izquierda y por la derecha–. Si la función tiene el mismo límite por la izquierda y por la derecha podemos concluir que el límite existe. Sin embargo, en dos variables esto no es así.
En dos variables, en principio, no tiene sentido hablar de límites laterales ¿qué significan derecha e izquierda en el plano?, por eso hablamos de límites direccionales, ya que, en dos variables existen infinitos caminos para acercarnos al punto, es más, podemos acercarnos siguiendo un camino recto o un camino curvo.
Cálculo de límites En consecuencia, para ver que una función no tiene límite en un punto se siguen varios caminos de aproximación al punto y si la función tiene un límite distinto por cada camino, entonces el límite “doble” no existe.
El problema será determinar si existe un camino que conduce a otra parte. En la práctica los caminos que se suelen seguir son rectas y parábolas. (El camino por rectas se sigue cuando las potencias del denominador son del mismo grado, y el camino por parábolas cuando son de distinto grado, intentando igualar los grados). No debe olvidarse que la recta ha de pasar por el punto en cuestión, es decir su ecuación ha de ser y −y 0 = m(x−x 0 ).
Hay que advertir que este método sólo es refutativo, es decir, nos permite negar la existencia del límite pero no afirmarla. Así, si encontramos dos límites direccionales diferentes, entonces podemos afirmar que el límite no existe. Pero si todos los límites direccionales que tomamos nos dan el mismo límite, no por eso podemos afirmar la existencia del límite. Lo más que podemos decir es que, de existir el límite doble, su valor será el de los direccionales, pero nadie asegura que siguiendo otra dirección, diferente a las tomadas hasta ese momento, obtengamos un resultado diferente.
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Cálculo de límites. Ejemplo 2.
Demostrar que el siguiente límite no existe.
SOLUCIÓN: Nos acercamos al origen a través de la recta y = mx
para todo camino recto de la forma y = mx el límite vale 0, sin embargo, no podemos afirmar que el límite valga cero, ya que en otras direcciones puede tener otro valor. En efecto, si nos acercamos al origen por el camino curvo x = y^2 , resulta:
Luego el límite no existe ya que al movernos por una parábola obtenemos distinto valor que al movernos por una recta.
2 ( x y, lim) (0,0)^2
y → (^) x +y
( )
2 2 2 2 2 2 ( x y, lim ) (0,0)^2 ( x y, lim ) (0,0)^2 limx 0 2 2 limx 0 1 2 0 y mx
y y m x m x → (^) x y (^) =→ (^) x y → (^) x m x → x m x = = = =
2 2
2 2 2 ( , ) (0,0) 2 ( , ) (0,0) 2 ( , ) (0,0)^2 0
lim lim lim 1 x y x yx (^) y x yx y 2 y
y y y → (^) x y (^) =→ x y (^) =→ y y →
= = =
Coordenadas polares y gráficas polares
Hasta aquí hemos representado las curvas planas como colecciones de puntos (x,y) en el sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas), representado x e y las distancias dirigidas de los ejes de coordenadas al punto (x,y). Las correspondientes ecuaciones para estas curvas se han visto en forma rectangular o en forma paramétrica. Ahora introduciremos sistema llamado sistema de coordenadas polares.
Para constituir el sistema de coordenadas polares en el plano, fijamos un punto O, que llamamos polo (o también origen), y desde O consideramos un rayo inicial al cual llamamos eje polar, tal como indicamos en esta figura:
θ = ángulo orientado
ρ^ = distancia dirigida
Eje polar
O
(ρ, θ)
P
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Conversión de coordenadas
Las coordenadas polares (ρ, θ) están relacionadas con las coordenadas rectangulares (x,y) por las fórmulas:
x= ρ cosθ y = ρ sinθ
tan
x y
θ =
ρ 2 = x 2 +y^2
De modo que en lugar de calcular el límite en las coordenadas rectangulares, lo podemos realizar en coordenadas polares. Así:
( , ) (0,0) ( , ) (0, )
lim ( , ) lim ( cos , sin )
x y
f x y f
ρ θ θ
ρ θ ρ θ → →
Si el límite da un valor finito y no depende de θ, podemos afirmar
que el límite existe.
Derivada direccional La derivada direccional es simplemente lo que sugiere su nombre. Es la derivada de una función en una dirección particular. En la siguiente figura se ilustra la situación en dos variables. Aquí v≡(v 1 ,v 2 ) es un vector unitario del plano xy y x 0 ≡(x 0 ,y 0 ) es un punto en el plano xy. Cuando (x,y) se mueve en dirección v, z=f(x,y) varía. La derivada direccional en esta dirección es definida como:
( 0 1 0 2 ) ( 0 0 ) 0
, , lim t
f x t v y t v f x y → t
Lo que nos dice la derivada direccional es la velocidad de cambio de z en la dirección del vector v. Si observamos la figura, estaríamos obteniendo la pendiente de la recta tangente indicada. Un ejemplo de esto es el de una persona escalando una montaña. El alpinista puede elegir entre diferentes direcciones, algunas con subidas más pronunciadas que otras.
