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Facultad de Ingeniería Económica, Estadística y CC.SS.
Escuela Profesional de Ingeniería Estadística
Cálculo diferencial – Clase 2.
Profesor Carlos Vargas [email protected]
Temas a tratar: Definición formal de límite de una función en un punto. Límites laterales y el límite.
Límites y operaciones algebraicas.
1. Definición formal de límite de una función en un punto
Antes de empezar con la formalización del concepto de límite damos algunas notaciones
Una “ vecindad ” de un punto a R es cualquier intervalo abierto que contenga a este punto. Por ejemplo
3, 6 , 2,8 y 4 , 4 con 0 son vecindades del punto 4. Nótese que si c d, es una
vecindad del punto a entonces tomando
0 min a c d, a
tenemos que a , a c d,.
Lo cual significa que siempre que sea necesario podemos tomarla vecindad de un punto a R como una
“ vecindad simétrica ”, es decir, del tipo a ,a con 0.
Notaciones
a) V a vecindad del punto a.
b) V a vecindad simétrica del punto a.
Una “vecindad reducida” del punto a es una vecindad de dicho punto del cual hemos retirado del
punto a.
c) V a V a a
(vecindad reducida del punto a).
d) V a V a a
(vecindad reducida simétrica del punto a).
La idea intuitiva presentada en la clase anterior es suficiente para propósitos didácticos, esta sección tiene
por finalidad dar una definición precisa de este concepto. La formalización la haremos progresivamente:
1) Decir que f x puede hacerse arbitrariamente próximo a L significa que la distancia de f x
a L , medida por f x L, puede hacerse menor que cualquier número positivo por pequeño que
este sea y dado arbitrariamente. Si utilizamos la letra griega para denotar a un número positivo
arbitrario, entonces decir que f x puede hacerse arbitrariamente próximo a L significa que:
para cualquier 0 arbitrario tenemos que es posible hacer f x L es decir,
0 : f x L .
- Por otro lado, decir que x es suficientemente próximo al punto a pero no igual a a significa
que su distancia a dicho punto, medida por x a,es mayor a cero pero lo adecuada para que
f x L , es decir, existe un 0 tal que:
0 x a f x L
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En resumen, dado 0 (que fija la proximidad arbitraria de f x o L ) debe ser posible elegir
0 (que fija la proximidad requerida de x al punto a ) tal que para cada x con x acuya
distancia al punto a es menor que , tengamos que la distancia de f x a L es menor que .
- La última cuestión a precisar es la posición del punto a con respecto al dominio de la función f.
En la idea intuitiva se dice que “ x tiende hacia a ” y esto significa que x está en el dominio de
f y a es un punto al que podemos aproximarnos por puntos del dominio de f ,esto significa que
a no puede ser un punto aislado del dominio.
Por ejemplo, si consideramos la función f : 0,1 R, f x x, entonces no tiene sentido
estudiar
2
lim x
f x
ya que el punto a 2 no puede ser alcanzado por puntos del dominio de f .Sin
embargo, si tiene sentido estudiar el límite de f cuando x tiende a
1
2
. ya que podemos
aproximaros a este punto por puntos del dominio de f. Para terminar de entender porque esto es
problemático consideremos el siguiente ejemplo
Ejemplo
Sea f : 0,1 R f, x x. Usando la definición anterior probaremos que
2
lim x
f x
existe, y
2
lim 10 x
f x
y
2
lim 10 x
f x
Solución
Antes de iniciar la discusión de este ejemplo, recordemos que la afirmación “si p, entonces q” es
declarada como falsa sólo cuando p es verdadera y q es falsa, en cualquier otro caso es declarada
como verdadera. Retornando al problema probaremos:
2
lim 10 x
f x
Sea 0 , elegimos
. Ahora determinemos si la afirmación “ si… entonces ” es verdadera.
En este caso
p x Dom f x es falso ya que no hay ningún x Dom f
que la satisfaga.
Por lo tanto, la implicación
x Dom f x f x
Es, desde un punto de vista lógico, una afirmación verdadera y por lo tanto, concluimos que:
2
lim 10 x
f x
2
lim 10 x
f x
Sea 0 arbitrario, escogiendo
, entonces la siguiente implicación es verdadera:
x Dom f x f x
Nuevamente, por principios lógicos, concluimos que
2
lim 10 x
f x
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para cualquiera que fuese L. Luego tendríamos lim
x a
L f x
En base a la definición es fácil probar que cuando a es punto de acumulación del dominio de f existe, a lo
más un número L satisfaciendo la definición anterior.
En efecto, supongamos que L 1 y L 2 , L 1 L 2 satisfacen la definición anterior. Dado 0 existen 1 (^) 0
y (^) 2 0 tales que
0 x a 1 f x L 1
0 x a 2 f x L 2
Tomando min 1 , 2
0 x a f x L 1 f x L 2
Tomando x 0 que satisfaga 0 x a tenemos
L 1 L 2 L 1 f x 0 f x 0 L 2 L 1 f x 0 f x 0 L
Luego, para todo 0 , debe cumplirse L 1 L 2 2 Si tomamos
1 2
2
L L
tendríamos que
L 1 L 2 L 1 L 2
Esta contradicción prueba la afirmación.
Un primer resultado que queremos probar y que refuerza más nuestra intuición es el siguiente:
Teorema
lim , donde lim 0
x a x a
f x L f x L r x r x
Prueba
Por definición
lim 0 0 : : 0
x a
f x L x Dom f x a f x L
Sea r x f x L.Entonces,
lim 0 0 : 0 0
0 0 : 0 0 lim 0
x a r x
x a
f x L x a f x L
x a r x r x
Luego,
lim donde lim 0
x a x a
f x L f x L r x r x
Este resultado refuerza nuestra intuición de que lim
x a
f x L
significa que cerca de a f es casi L
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2. Límites laterales y el límite
a) Diremos que el “limite lateral derecho de f en el punto a es igual a L ” y lo denotaremos por
x a
lim f x L
cuando (1) se mantiene valida cuando x a
lim 0 0 : ,
x a
f x L x Dom f a x a f x L
b) Diremos que el “limite lateral izquierdo de (^) f en el punto a es igual a (^) L ” y lo denotaremos por
x a
lim f x L
cuando (1) se mantiene valida cuando x a
lim 0 0 : ,
x a
f x L x Dom f a x a f x L
Argumentos geométricos e intuitivos no hace pensar en que el siguiente resultado es válido, y en realidad
de hecho lo es, y será probado posteriormente aquí lo presentamos para enfatizar la importancia del
concepto de limite lateral y su relación con el límite , nos referimos a:
Teorema
Sea f una función definida en una vecindad reducida del punto a. Entonces,
x a (^) x a x a
lim f x L lim f x L lim f x L (^) ^
Ejemplo (Un límite que no existe)
Estudie si la función f : R Rdefinida por
x x f x (^) x
x
Tiene límite en a 0
Solución
La función f no tiene límite en a 0 ya que si rescribimos f como
, x
f x , x
, x
^
^
Notamos que:
0 0 0 0
lim lim lim lim 1 1 x x x x
x (^) x f x x x ^ ^ ^
y
0 0 0 0
lim lim lim lim 1 1 x x x x
x (^) x f x x x ^ ^ ^
Luego, no existe
0
lim x
f x
.
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Ejemplo
a) 1 1
lim lim. x x
x x
b) 3 3
lim lim .3 2 x 3 3 x 3
x x
Una consecuencia del teorema 1 es:
Si c 1 , entonces obtenemos
lim (^) lim x a x a
f x f x
Verbalmente, «l límite de fes igual al negativo del límite de f » El siguiente teorema establece un
«algebra» de los limites
● Verbalmente:
Si ambos límites existen, es decir son números reales, entonces
El límite de una suma es la suma de los límites
El límite de un producto es el producto de los límites.
El límite de un cociente es el cociente de los límites, siempre que el límite del denominador no sea igual
a cero.
Teorema 3 (límite de un suma, un producto y un cociente)
Sean f y g funciones, tales que
lim
x a
f x L
, lim
x a
g x M
Entonces,
- lim x a
f x g x L M
2) lim
x a
f x g x LM
lim x a
f x L
(^) g x M
, siempre que M 0
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Consecuencias de los teoremas 1, 2 y 3
- Sabemos que si c 1 entonces
lim lim
x a x a
g x g x
Por lo tanto,
^ ^
lim lim
lim lim
lim lim
x a x a
x a x a
x a x a
f x g x f x g x
f x g x
f x g x
2) Por inducción matemática puede probarse que sí lim i i
x a
f x L
, i 1, 2,...,n, entonces
a) lim 1 ... n 1 ... n
x a
f x f x L L
b) lim 1 ... n 1 ... n
x a
f x f x L L
Lo cual extiende los resultados de los ítems (1) y (2) del teorema 3 hacia una cantidad finita de sumandos
(factores).
Además si f 1 x f 2 x ... fn x f x
Entonces,
lim 1 lim
n n n
x a x a
f x L f x
Es decir,
● Límite de una potencia
lim 1 lim 1
n n
x a x a
f x f x
Verbalmente, « el límite de una potencia es igual a la potencia del límite»
● Límite de un polinomio
En el caso en que f x sea un polinomio
1 1 ... 1 0
n n f x a xn an x a x a
(^)
Tendríamos que
1 1 1 0
1 1 1 0
1 1 1 0
lim lim ...
lim lim ... lim lim
n n n n x a x a
n n n (^) x a n x a x a x a
n n n n
f x a x a x a x a
a x a x a x a
a a a a a a a
f a
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Verbalmente, «el límite de una raíz es la raíz del límite»
Ejemplo
Calcular los límites siguientes:
a) (^) lim 5 x 2 3
x
x
b) 4 0
lim x 2
x
x
Solución
a) En este caso,
5 5 5 5
lim 0 lim lim 0. 2 3 2 3 lim 2 3 5
x
x x x
x x x
x x x
b) En este caso,
4 4 0 4 4 4 0 0 0
16 16 lim^1616 lim lim 8 2 2 lim 2 2
x
x x x
x x^ x
x x x
^
.
Ejemplo
Si suponemos que lim
x a
f x L
, entonces de la igualdad f x f x
2 y del teorema anterior
obtenemos
2 2 2 2 lim lim lim lim x a x a x a x a
f x f x f x f x L L
Es decir, si lim
x a
f x L
, entonces lim
x a
f x L
Verbalmente, «el límite del valor absoluto de f es igual al valor absoluto del límite de f »
El recíproco no es necesariamente verdadero, ya que si por ejemplo consideramos la función f : R R
definida por
si x f x si x
^ ^
Entonces
5
lim x
f x
no existe ya que
5 5 5 5
lim lim 1 1 lim lim 1 1. x x x x
f x f x ^ ^ ^
Sin embargo, f x 1 , x Ry en consecuencia
5 5
lim lim1 1. x x
f x
Nota
Todos los teoremas anteriores también son válidos para los límites laterales, es decir, cuando x ase
sustituye por x^ a
(^) o por x a
(^) , siempre que dichos límites existan
