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Dr. Maximiliano De Las Fuentes Lara/Dra. Wendolyn E. Aguilar Salinas/Dra. Ana D. Martínez Molina 1.4 Funciones algebraicas Si una función puede construirse usando operaciones algebraicas (como suma, resta, multiplicación y sacar raíces) se le llama función algebraica, cualquier función racional es una función algebraica. En este apartado se tratarán de manera particular las funciones lineales, polinomiales, potencia, racionales y por secciones o por partes. 1.4.1 Función lineal y sus representaciones: Analítica, numérica y gráfica De todas las curvas, la línea recta, por muchas razones, es la más simple. Se acepta que dos puntos determinan una única línea recta que pasa por ellos. Una línea es un objeto geométrico, cuando se coloca en un plano coordenado esta tiene una ecuación. La determinación de la ecuación de la recta requiere del concepto de pendiente. Considere la recta de la figura contigua. Del punto al punto existe una elevación (cambio vertical) de 2 unidades y un avance horizontal (cambio horizontal) de 5 unidades. Se dice entonces que la pendiente. En general para una recta que pasa por los puntos la pendiente de la recta se define como o bien La pendiente es una medida de la inclinación de una recta, note que una recta horizontal tiene pendiente , una recta que se eleva hacia la derecha tiene pendiente positiva, y una recta que desciende a la derecha tiene pendiente negativa. Entre mayor sea el valor absoluto de la pendiente, más inclinada es la recta. El concepto de pendiente de una recta vertical no tiene sentido, ya que implicaría la división entre cero. La pendiente de una recta vertical es indefinida.
Dr. Maximiliano De Las Fuentes Lara/Dra. Wendolyn E. Aguilar Salinas/Dra. Ana D. Martínez Molina La recta que pasa por el punto fijo con pendiente conocida tiene ecuación , a esta forma se le llama ecuación punto pendiente de la ecuación de una recta. En el caso que nos ocupa se sabe que la pendiente y por el punto , entonces la ecuación de la recta es La ecuación puede escribirse también como La ecuación de una recta puede expresarse de varias formas, suponga que se conoce la pendiente de la recta y la intersección con el eje (la recta intersecta al eje en la coordenada ), al aplicar la ecuación o forma punto pendiente se tiene que es igual a escribir , misma que se denomina forma pendiente intersección. Ejemplo de determinación de la ecuación de la recta a partir una representación gráfica Se inicia estableciendo los puntos marcados en el gráfico, y , la pendiente es Es decir , se elige un punto cualquiera de los conocidos para aplicar la ecuación punto pendiente, por ejemplo el punto , entonces: Finalmente Que es la ecuación de la recta.
Dr. Maximiliano De Las Fuentes Lara/Dra. Wendolyn E. Aguilar Salinas/Dra. Ana D. Martínez Molina Finalmente la tercera diferencia es. Como las diferencias son iguales se asume un comportamiento lineal, es decir, el conjunto de datos numéricos se pueden representar algebraicamente con una función lineal de la forma Para calcular la pendiente se toman dos puntos cualesquiera, por ejemplo y En consecuencia la pendiente , luego Ahora usando el punto y la forma punto pendiente se tiene que Lo cual se puede escribir como. Puede verificarse que al graficar a partir de la ecuación obtenida la recta pasa exactamente por los puntos correspondientes a la tabla numérica original. Finalmente la utilidad para una cantidad de artículos se tiene que . Ahora observe la tabla numérica y la gráfica de una función de valor absoluto, esta habitualmente se compone de dos rectas formando una V (si el argumento es una función lineal), aunque hay casos especiales en donde el argumento difiere de una recta y la gráfica ya no es una V. -2 -1 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3
Dr. Maximiliano De Las Fuentes Lara/Dra. Wendolyn E. Aguilar Salinas/Dra. Ana D. Martínez Molina Ejemplo de la determinación de dominio, gráfica y rango de una función de valor absoluto. Considere a la función , si se propone un conjunto conveniente de valores de tal qué , entonces la tabla numérica se conforma de la manera en que arriba se exhibe y la gráfica adjunta representa a la función de valor absoluto. El dominio es el conjunto de todos los números reales, es decir el conjunto , mientras que el contradominio es. El vértice de la gráfica se encuentra en la coordenada y es una excelente referencia además de las pendientes para realizar el trazo de la gráfica.
Dr. Maximiliano De Las Fuentes Lara/Dra. Wendolyn E. Aguilar Salinas/Dra. Ana D. Martínez Molina Ejemplo de la determinación de dominio, gráfica y rango de una función de valor absoluto. Sea la función determinar el vértice, la representación gráfica, el dominio y el contradominio. Nuevamente para determinar el vértice se resuelve , es evidente que , al evaluar en la función se obtiene que , en consecuencia la coordenada del vértice es. Al aplicar la definición de valor absoluto queda que Se traza la recta a partir del vértice y la recta también a partir del vértice. Finalmente el dominio de es y el rango.
Dr. Maximiliano De Las Fuentes Lara/Dra. Wendolyn E. Aguilar Salinas/Dra. Ana D. Martínez Molina 1.4.2 Función polinomial y sus representaciones: Analítica, numérica y gráfica A una función se le llama polinomio si En donde es un entero no negativo y los números son constantes que se conocen como coeficientes del polinomio. El dominio de cualquier polinomio es. Si el primer coeficiente , luego el grado del polinomio es. Por ejemplo, la función es un polinomio de grado 5. Un polinomio de grado 1 tiene la forma y por tanto es una función lineal. Un polinomio de grado 2 tiene la forma se le llama función cuadrática. Su gráfica siempre es una parábola. Un polinomio de grado 3 tiene la forma si y se le da el nombre de función cúbica. Habitualmente los polinomios se utilizan para modelar diversas cantidades que se suscitan en las ciencias naturales y sociales Considere el problema del corral de los animales, el cual dice: se debe construir un corral rectangular para animales. Para ahorrar material, se usará una pared como uno de los cuatro lados. El pie de cerca para los otros tres lados cuesta y debe gastar por cada pie de pintura para la parte de la pared que forma el cuarto lado del corral. Si puede gastar , ¿cuáles dimensiones maximizan el área del corral que puede construir? El corral para los animales El área del corral rectangular de longitud y ancho es. Cuando se multiplica la longitud de cada lado (ver figura contigua) por su costo por pie y se suman los resultados, se tiene que el costo total del corral está dado por De modo que. Se elige como la variable independiente y se usa la relación obtenida, donde
Dr. Maximiliano De Las Fuentes Lara/Dra. Wendolyn E. Aguilar Salinas/Dra. Ana D. Martínez Molina Teorema de ceros racionales Suponga que En donde es un entero no negativo y los números son enteros. Si , en su mínima expresión, es un número racional y un cero de , entonces es un factor entero de y es un factor entero de. El teorema proporciona el procedimiento siguiente para encontrar algunos ceros racionales.
- Aplique el teorema de ceros racionales para localizar los posibles ceros racionales.
- Trace la gráfica de y mediante la observación de las intersecciones de la gráfica y el eje , determine cuáles de los números del paso anterior son posibles candidatos para ser ceros racionales.
- Si es un candidato, calcule y si , se tendrá un cero racional.
- Aplique división sintética para encontrar , cuando se divide entre , se obtiene que .
- Continúe el procedimiento en los pasos 3 y 4 con.
- Si se obtiene un factor cuadrático, iguale a cero este factor y resuelva la ecuación cuadrática.
Dr. Maximiliano De Las Fuentes Lara/Dra. Wendolyn E. Aguilar Salinas/Dra. Ana D. Martínez Molina Ejemplo de utilización del teorema de ceros racionales, el caso de la función cúbica. En el polinomio cúbico , se tiene que y , los posibles candidatos son: , las evaluaciones se tienen a continuación. (no es cero racional)
. (cero racional) (cero racional) (cero racional) Por lo anterior se concluye que los ceros racionales son en , lo cual puede corroborarse en la gráfica contigua. Con esta información es posible ahora estructurar la expresión algebraica mediante los factores resultantes. . Los valores de tales que se les llama también solución de la ecuación o raíces.
Dr. Maximiliano De Las Fuentes Lara/Dra. Wendolyn E. Aguilar Salinas/Dra. Ana D. Martínez Molina 1.4.3 Graficación por parámetros La gráfica de la función identidad está dada en la figura contigua y representa una recta que pasa por el origen con un ángulo de inclinación de 45 grados con respecto al eje de las abscisas. Si a esta función se le agrega una constante como factor entonces la función ahora es El efecto del parámetro permite que la recta gire sobre el origen, de manera que si entonces el ángulo de la recta respecto a la horizontal varía entre 0 y 45 grados (0 y radianes), si el ángulo respecto al eje de las abscisas varía entre 45 y 90 grados, o bien entre y radianes, finalmente si el ángulo respecto a la horizontal varía entre 90 y 180 grados, o bien entre y radianes. Todas las rectas que pasan por el origen tienen la forma , dependiendo únicamente su inclinación a partir del parámetro. La siguiente figura exhibe un conjunto de gráficas de la forma en donde únicamente se han modificado los valores del parámetro , en este caso la pendiente de la recta, particularmente con valores de , se nota que el impacto sobre la gráfica es una mayor inclinación.
Dr. Maximiliano De Las Fuentes Lara/Dra. Wendolyn E. Aguilar Salinas/Dra. Ana D. Martínez Molina En la siguiente figura se modificaron los valores de la pendiente, en particular, -1, -2, -3 y -4. Si a la función se le suma una constante , ahora se tiene la función de la forma , el parámetro deja en libertad a la función para que esta se desplace verticalmente dependiendo del valor que tome (ver gráficas adjuntas).
Dr. Maximiliano De Las Fuentes Lara/Dra. Wendolyn E. Aguilar Salinas/Dra. Ana D. Martínez Molina Con un criterio similar al efectuado con la recta considere la función cuadrática , en donde se toma como referente la función y el impacto del parámetro es abrir o cerrar la parábola (ver gráficas adjuntas), dependiendo del valor de , si la parábola abre hacia arriba, si entonces abre hacia abajo, si crece la parábola tiende a cerrarse, mientras que cuando decrece la parábola se abre, si y son cero entonces el vértice de la parábola es. El parámetro es el mismo que en el caso de la función lineal, es decir si toma valores positivos, la función se desplaza hacia arriba, si toma valores negativos entonces la gráfica se desplaza hacia abajo (ver gráficas adjuntas).
Dr. Maximiliano De Las Fuentes Lara/Dra. Wendolyn E. Aguilar Salinas/Dra. Ana D. Martínez Molina El parámetro deja en libertad a la función para desplazarse horizontalmente, dependiendo de su valor; si se desplaza hacia la derecha, si se desplaza a la izquierda, es obvio que si la gráfica está centrada en el origen. Ejemplo de graficación de una función cuadrática mediante parámetros. Sea la función , determinar la gráfica y todas las intersecciones con los ejes. La estructura que tiene la función no es la más adecuada para graficar, por ello conviene escribir la función de forma canónica, a partir de completar el trinomio cuadrado perfecto, esto es,. Se presenta inicialmente la gráfica de la función de referencia (gráfico en color azul), como el parámetro no hay efecto de cerrar o abrir la parábola, el parámetro genera desplazamiento horizontal y hacia la derecha (gráfico color verde), finalmente el parámetro promueve un traslado vertical y hacia abajo (gráfico en color negro). La intersección con el eje se determina a partir de evaluar la función para , esto es, , la intersección con el eje vertical es en.
Dr. Maximiliano De Las Fuentes Lara/Dra. Wendolyn E. Aguilar Salinas/Dra. Ana D. Martínez Molina Ejemplo de graficación de una función cúbica mediante parámetros. Se parte de la gráfica de la función (gráfico en color azul), como el parámetro no hay efecto para estirar, contraer o reflejar la curva, sin embargo, el parámetro provoca un desplazamiento horizontal y hacia la derecha de 2 unidades (gráfico en color rojo), el parámetro motiva un traslado vertical y hacia arriba de 3 unidades (gráfico en color negro). Al calcular se obtiene la intercepción con el eje vertical, esto es, , la intercepción con el eje horizontal se tiene al resolver la ecuación , esto es,. Ahora considere la función racional de la forma , en donde el parámetro provoca alejamiento o acercamiento de sus asíntotas, particularmente si crece entonces la gráfica se aleja de sus asíntotas, mientras que para valores pequeños de la gráfica se acerca más a sus asíntotas. Los casos y con el mismo , representan gráficas distintas en posición, pero de la misma forma y simétricas con respecto a los ejes coordenados. El parámetro provoca desplazamiento vertical hacia arriba ( , y vertical hacia abajo cuando. Si la gráfica se traslada hacia la derecha y a la izquierda cuando.
Dr. Maximiliano De Las Fuentes Lara/Dra. Wendolyn E. Aguilar Salinas/Dra. Ana D. Martínez Molina Ejemplo de graficación de una función cúbica mediante parámetros. Considere la función racional , determinar la gráfica y las intersecciones con los ejes. La expresión algebraica de referencia es (gráfico en color azul), como el parámetro es mayor que la unidad su efecto es alejar la gráfica de sus asíntotas (gráfico en color rojo), cuenta con un desplazamiento de 2 unidades a la izquierda (gráfico en color verde), finalmente el parámetro genera un traslado vertical y hacia debajo de una unidad (gráfico en color negro). La intercepción con el eje se obtiene de la evaluación de la función en , esto es, , es decir la gráfica corta el eje vertical en. Se resuelve la ecuación En donde , la intercepción con el eje horizontal se tiene en.
