Funciones y procesos infinitos, Transcripciones de Matemáticas

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Matemática

Funciones y

Procesos Infinitos

Programa de Estudio

Cuarto Año Medio

Formación Diferenciada

Humanístico-Científica

4 Cuarto Año Medio^ Matemática^ Ministerio de Educación

iteración lo que da cabida natural al conocimien- to y estudio inicial de los fractales, tema que se ha desarrollado principalmente en la segunda mitad del siglo XX. Además, el estudio de pro- gresiones aritméticas, geométricas y algunas series, permite profundizar en la utilización y el sentido del lenguaje matemático. El tema de las funciones es central en la or- ganización del programa de estudio para los cuatro años de Educación Media; la segunda unidad de este programa propone, en paralelo con el trabajo de las funciones potencia, exponencial y logarít- mica en la formación común, el estudio de las funciones polinomiales. Continuando con las fun- ciones, se plantea el estudio de las funciones trigonométricas en la tercera unidad.

Organización interna de cada unidad

Cada unidad, en forma similar a todos los pro- gramas de matemática para la Educación Media, se estructura considerando los siguientes puntos:

• Contenidos
• Aprendizajes esperados
• Orientaciones didácticas
• Actividades para el aprendizaje complemen- tadas con ejemplos
• Actividades para la evaluación y ejemplos

A continuación se plantea una breve descrip- ción de cada uno de estos elementos.

C ONTENIDOS Los contenidos corresponden a los señalados en el marco curricular. Con el propósito de en- fatizar y/o clarificar algunos de ellos se han desglosado en contenidos más específicos.

A PRENDIZAJES ESPERADOS

Expresan las capacidades y competencias que se busca que los alumnos y alumnas logren, con- siderando los contenidos de cada unidad y los objetivos fundamentales para la formación di- ferenciada específica. Su número es variable por unidad. Los aprendizajes esperados orientan el pro- ceso pedagógico y dan una dirección al proceso de aprendizaje. En consecuencia son determi- nantes para definir los criterios de evaluación.

O RIENTACIONES DIDÁCTICAS En este punto se precisan los focos de la uni- dad; se incorporan comentarios pedagógicos relativos al aprendizaje del tema y sus relacio- nes intramatemáticas.

A CTIVIDADES PARA EL APRENDIZAJE Y EJEMPLOS Las actividades explicitan acciones y procesos que importa e interesa que vivan los alumnos y las alumnas para el logro de los aprendizajes esperados. No existe una correspondencia biuní- voca entre los aprendizajes esperados y las actividades; una actividad puede estar al servi- cio de varios aprendizajes esperados; además, la dinámica que se dé en el desarrollo de la cla- se puede favorecer más a unos que a otros. Para la realización de cada actividad se su- gieren ejemplos que pueden ser implementados tal cual se propone en el programa, adaptados a la realidad escolar o sustituidos por otros que se consideren más pertinentes. Al hacer estas adecuaciones locales hay que procurar el desarrollo de las habilidades de pen- samiento que el programa promueve.

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Para numerosas actividades, los ejemplos selec- cionados se ordenan según nivel de dificultad; todos los ejemplos se complementan con co- mentarios y sugerencias pedagógicas.

A CTIVIDADES PARA LA EVALUACIÓN Y EJEMPLOS La evaluación se considera parte del proceso de aprendizaje. Debe proveer al joven y al docente de la retroalimentación necesaria como referen- te para continuar, corregir y orientar las actividades futuras. Es recomendable que se evalúen diversos as- pectos del proceso de enseñanza-aprendizaje, y no sólo los resultados de los diversos ejercicios. Cobra relevancia en esta propuesta observar y evaluar el tipo de razonamiento utilizado, el método emplea- do, la originalidad de la o las ideas planteadas. Al término de cada unidad se incluye un conjunto de preguntas, propuestas de trabajo y problemas, uti- lizables como parte de una evaluación de término de la unidad. La evaluación, en consonancia con el proceso de aprendizaje, aporta a un proceso de in- tegración y relación entre los conceptos. Los siguientes criterios orientan el proce- so de evaluación:

- Resolución de problemas que involucren relaciones matemáticas Reconocer la o las incógnitas e interpretar las preguntas; diseñar una estrategia o plan de trabajo con los datos; establecer relacio- nes matemáticas entre datos, variables, incógnitas; traducirlas, representar y/o expre- sar en un lenguaje y simbología comprensible y adecuada; seleccionar y aplicar procedi-

mientos; explicitar la respuesta al problema y analizar su pertinencia.

- Desarrollo de habilidades de razonamien- to matemático Conjeturar, relacionar, establecer conclusiones; organizar y encadenar argumentos matemáticos; demostrar propiedades; reconocer regularidades numéricas, algebraicas, geométricas. - Organización y estructuración de concep- tos matemáticos Reconocer la noción o el concepto involu- crado; reconocer equivalentes y establecer relaciones con otras nociones o conceptos; generalizar, particularizar. - Comprensión y aplicación de procedi- mientos rutinarios Seleccionar y utilizar reglas, algoritmos, fór- mulas y/o formas para realizar cálculos o transformar relaciones matemáticas en otras más sencillas o más convenientes de acuer- do al contexto.

Interesa además considerar que el aprendizaje de matemática contribuye al desarrollo de ha- bilidades en el ámbito de la comunicación: analizar e interpretar cuadros, gráficos y fór- mulas, traducir de un registro a otro, describir, explicar ideas y procedimientos, argumentar y relacionar situaciones de ámbitos diversos. Finalmente, no está ajeno al aprendizaje de matemática el desarrollo de actitudes y disposicio- nes para el estudio y el trabajo: abordar problemas y desafíos; analizar errores; escuchar otros argumen- tos; expresar críticas fundamentadas.

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Objetivos Fundamentales

Las alumnas y los alumnos desarrollarán la capacidad de:

1. Analizar, confrontar y construir estrategias personales para la resolución de problemas o desafíos que involucren funciones, relaciones entre geometría y progresiones.
2. Conocer y utilizar conceptos y lenguaje matemático asociados a modelación matemática y procesos infinitos.
3. Percibir la matemática como una construcción enraizada en la cultura, en evolución constante, con estrecha vinculación a la resolución de problemas propios o provenientes de las ciencias.

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Unidades, contenidos y distribución temporal

Cuadro sinóptico

Funciones polinomiales

a. Polinomios de una variable con coeficientes reales. Grado. Algoritmo de la división. Función polinomial asociada a un polinomio. Raíces o ceros de polinomios. Condición para que un polinomio sea divisible por x-a: Teorema del factor y Teorema del resto. b. Factorización de polinomios como producto de factores lineales y cuadráticos. Raíces racionales de polinomios con coeficientes enteros. Aplicación a la resolución de algunas ecuaciones de grado superior a 2. c. Notas históricas sobre las ecuaciones de 3º y 4º grado. Comentarios sobre las ecuaciones de grado superior o igual a cinco.

Funciones trigonométricas

a. Medición de ángulos; radián. Funciones seno, coseno y tangente en el círculo unitario. Periodicidad. Demostración de las identidades fundamentales: sen 2 A + cos 2 A = 1; sen (A + B) y cos (A + B). b. Gráfico de las funciones seno, coseno y tangente. Valores de estas funciones para algunos ángulos; valores para los ángulos complementarios. Preimágenes para algunos valores de la función y resolución de ecuaciones trigonométricas sencillas. Uso de calculadora científica.

Unidades

Contenidos

Distribución temporal Tiempo estimado: 30 a 35 horas

Tiempo estimado: 30 a 35 horas

Tiempo estimado: 30 a 35 horas

Procesos infinitos

a. Planteo de algunos problemas geométricos, de probabilidades o de matemáticas financieras que involucren la noción de sumatoria; introducción del símbolo sumatoria. Propiedades de linealidad, asociatividad y propiedad telescópica. Aplicación de éstas al cálculo de algunas sumas concretas, por ejemplo, de los primerosn números naturales, de sus cuadrados, de los números impares. b. Progresiones aritméticas y geométricas, suma de sus términos. Aplicación a la resolución de algunos problemas geométricos, de interés compuesto, de decaimiento radioactivo, de poblaciones. c. Series geométricas y telescópicas. Convergencia intuitiva de sucesiones y series. d. Iteraciones. Nociones acerca de fractales. Ejemplo de áreas finitas con perímetro infinito. e. Uso de programas computacionales para manipulación algebraica, gráfica y simulación de procesos.

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Unidad 1

Procesos infinitos

Contenidos a) Planteo de algunos problemas geométricos, de probabilidades o de matemáticas financieras que involucren la noción de sumatoria; introducción del símbolo sumatoria. Propiedades de linealidad, asociatividad y propiedad telescópica. Aplicación de éstas al cálculo de algunas sumas concretas, por ejemplo, de los primeros n números naturales, de sus cuadrados, de los números impares. b) Progresiones aritméticas y geométricas, suma de sus términos. Aplicación a la resolución de algunos problemas geométricos, de interés compuesto, de decaimiento radioactivo, de poblaciones. c) Series geométricas y telescópicas. Convergencia intuitiva de sucesiones y series. d) Iteraciones. Nociones acerca de fractales. Ejemplo de áreas finitas con perímetro infinito. e) Uso de programas computacionales para manipulación algebraica, gráfica y simulación de procesos.

Unidad 1: Procesos infinitos (^11)

Aprendizajes esperados Los alumnos y alumnas: a) Analizan las transformaciones que producen diferentes tipos de iteraciones y establecen relaciones cuantitativas y cualitativas entre los objetos que se obtienen. b) Reconocen que una suma se puede representar en forma compacta por medio de la notación de sumatoria. Conocen y aplican propiedades de ésta y calculan las sumas de algunas series geométricas y telescópicas. c) Demuestran generalizaciones sencillas. d) Conocen las progresiones aritméticas y geométricas; aplican algunas propiedades en la resolución de problemas.

Unidad 1: Procesos infinitos (^13)

Actividades para el aprendizaje y ejemplos

Actividad 1

Realizan procesos de iteración geométrica; analizan las posiciones relativas que toman las figuras y calculan las áreas y perímetros correspondientes.

Ejemplo A

Iteración por reducción

Reduzca un cuadrado utilizando la siguiente regla de iteración: reducir cada trazo de la figura de modo que, en la figura que continúa, el trazo correspondiente tenga una longitud igual a la mitad del anterior.

i) Analizar las variaciones de área y perímetro, en la sucesión de cuadrados que se obtiene, si el lado del cuadrado inicial mide 4 cm. ii) Analizar las variaciones de área y perímetro, en la sucesión de cuadrados que se obtiene, si el lado del cuadrado inicial mide a cm. iii) Si P(n) y A(n) representan respectivamente, el perímetro y el área de la n-ésima iteración, ¿cuánto vale P(10), A(10), P(100), A(100)?

I NDICACIONES AL DOCENTE Se sugiere que los alumnos y alumnas ordenen la información en tablas como la siguiente para visualizar las relaciones entre los resultados que obtienen.

Arista Perímetro Área a 4a a 2 a 2 2a^ a^

(^24)

a 4 ...^ ...

Es recomendable repetir este proceso de iteración por reducción con otras figuras como circunferencia, triángulo equilátero, por ejemplo. Si es posible, utilizar un programa computacional de geometría, o bien el propio cuadriculado del cuaderno, tanto para dibujar la sucesión de figuras como para apoyar los cálculos iniciales. Intuitivamente, se puede analizar qué sucede con el área y el perímetro de la n-ésima figura si n crece y tiende a infinito.

14 Cuarto Año Medio Matemática Ministerio de Educación

Ejemplo B Iteración por rotación

Modifique la posición de una figura utilizando la siguiente regla de iteración: rotar una figura sucesivamente, en ángulos de 90° considerando el centro de la figura como centro de rotación.

i) Analizar las variaciones de posición de una máscara como esta, a la que se aplica esta iteración

ii) ¿Qué posición tendrá esta máscara en la figura 46? ¿en la número 100? iii) Si en lugar de una máscara, la figura fuera un cuadrado, ¿qué cambios se observarían? iv) ¿Cuál será la posición de un rectángulo en una iteración impar si éste fuera sometido a esta rotación sucesiva? v) Si la regla de iteración fuera rotar la figura en ángulos de 45° ¿cómo respondería las preguntas anteriores? vi) Si la regla de iteración fuera rotar en 60° considerando el centro de la figura como centro de rotación, ¿cuál sería la posición de un triángulo equilátero en la iteración 42?

I NDICACIONES AL DOCENTE En forma similar al ejemplo anterior, se puede plantear intuitivamente la noción de límite; de acuerdo a las figuras consideradas en este ejemplo sólo hay límite en el caso de la rotación sucesiva del cuadrado en ángulos de 90°.

Ejemplo C

Iteración por remoción

Modifique un triángulo equilátero utilizando la siguiente regla de iteración: trazar los segmentos que unen los puntos medios de los lados; borrar o sacar el triángulo del medio del triángulo original de modo que:

• Los lados de los triángulos resultantes miden la mitad de la longitud de los lados del triángulo original.

16 Cuarto Año Medio Matemática Ministerio de Educación

En este otro ejemplo, en cambio, a partir de un cuadrado que se divide en 9 cuadrados congruentes, se borran los que corresponden a los vértices.

Ejemplo D Iteración por copia

Modificar un trazo de longitud 1 utilizando la siguiente regla de iteración: dividir el segmento en tres trazos de igual medida; reemplazar el del medio por dos segmentos de esa misma medida cuyos extremos libres coinciden, como lo indica el dibujo que sigue.

Realice este proceso de iteración tres veces a partir de un segmento dado. Si el trazo original mide 1, ¿cuánto mide la longitud de la figura en la segunda iteración?, ¿cuánto en la tercera?, ¿cuánto en la décima?

Unidad 1: Procesos infinitos (^17)

I NDICACIONES AL DOCENTE

Este fractal se conoce con el nombre de curva de Koch. Si se realiza este mismo proceso en los lados de un triángulo equilátero se obtiene el fractal conocido como copo de nieve. Se sugiere abrir un espacio para investigar sobre el tema de la dimensión del espacio euclídeo y la dimensión fractal. El sitio http://www.arrakis.es/~sysifus/dimens.htm presenta interesante in- formación al respecto.

Ejemplo E Completar los dibujos que siguen para que, en ambos casos, el triángulo más grande sea un triángulo de Sierpinsky.

i) Revisar estas figuras y los ejemplos C y D; constatar que partes de las figuras son semejantes con la figura total (autosemejanza). ii) Buscar en la naturaleza figuras autosemejantes. iii) Crear otras figuras que incluyan figuras autosemejantes.

I NDICACIONES AL DOCENTE Es importante estimular en los alumnos y alumnas la creatividad y la observación de estas regulari- dades. La hoja del helecho es un ejemplo típico de autosemejanza en la naturaleza.

Unidad 1: Procesos infinitos (^19)

Actividad 2

Realizan procesos de iteración numérica. Construyen y analizan progresiones aritméticas y progresiones geométricas; calculan las respectivas sumas y demuestran la validez de las fórmulas generales.

Ejemplo A Considerar la función f(x) = (^) (1-x)^1 , para x ≠ 1; aplicar sucesivamente esta función, partiendo de x= 5, a las imágenes que se van obteniendo.

Al aplicarla 1000 veces, ¿qué imagen se obtiene?

¿Sucederá lo mismo si se aplica a otros números como 100 o π?

I NDICACIONES AL DOCENTE

Tras la constatación de los tres números dados, es importante señalar que para cualquier número real diferente de 0 y de 1, se tiene que si f(x) = 1 (1-x)

, entonces

f(f(x)) = f( 1 (1-x)

1- (^) 1-x^1

= 1-x -x

= x- x

f(f(f(x))) = f( x- x

1- (x-1)x

= x

En consecuencia, luego de tres iteraciones se vuelve al número original.

Ejemplo B Identificar, en la siguiente lista, cuál es la regla de iteración que permite construir estas sucesiones de números. ¿Cuáles son progresiones aritméticas y cuáles son progresiones geométricas?

i) 5, 11, 17, 23, 29 ii) 5, 10, 20, 40, 80 iii) 5, 7, 10, 14, 19 iv) 5, 5, 5, 5, 5, 5 v) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21

I NDICACIONES AL DOCENTE

Es interesante que los alumnos y alumnas constaten que el caso iv) es una progresión aritmética de diferencia 0 y también una progresión geométrica de razón igual a 1. Además, que el ejemplo v) corresponde a los ocho primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

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Ejemplo C i) Determinara, b si se sabe que 7, a, b, 19 están en progresión aritmética. ii) Determinar el o los valores reales dex si se sabe que (x-2), (x+4), 3x son términos consecutivos de una progresión geométrica.

I NDICACIONES AL DOCENTE Además de conocer los procedimientos utilizados para resolver ambos ejercicios, será interesante comentar las soluciones que se obtienen para el segundo ejercicio.

Ejemplo D

Con fósforos, continuar la secuencia de figuras que indica el dibujo que sigue, de modo que la figura n-ésima está formada porn cuadrados yuxtapuestos uno a continuación del otro; además esa figura tiene un cuadrado más que la figura precedente.

i) ¿Cuántos fósforos son necesarios para construir la figura n-ésima? ii) Si se construyeran las 10 primeras figuras, ¿cuántos fósforos en total serían necesarios para esas 10 figuras? iii) ¿Cuántos fósforos serán necesarios para construir las 100 primeras figuras? iv) ¿Cuántos fósforos serán necesarios para construir lasn primeras figuras?

INDICACIONES AL DOCENTE

Se puede constatar que se trata de una progresión aritmética. Para demostrar que la expresión 3n +1 representa el número de fósforos necesarios para construir la n- ésima figura, se puede constatar que a partir del cuadrado inicial se suma cada vez 3 fósforos, que se suma (n-1) veces 3 fósforos para obtener la n-ésima figura; en consecuencia se obtiene 4 + (n - 1) 3 = 3n + 1. Si al profesor o profesora le parece pertinente, podrá utilizar el principio de inducción para hacer esta demostración. En el punto ii) se introduce la suma de términos de una progresión aritmética. Para demostrar que la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética está dada por n a 1 +(n-1)d 2

en que a 1 es el primer término, d es la diferencia y n el número de términos de la progresión, se puede recurrir a la suma término a término de la progresión en sentido creciente y en sentido decreciente, método utilizado por Gauss según narra la historia, para calcular la suma de los n primeros números naturales.