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Limites, bastante bien explicado
Tipo: Ejercicios
1 / 73
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A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
CIENCIASCIENCIAS
J Doc Doc I
Fco Javier Gonz´alez Ortiz
Tabla de Contenido Inicio Art´ıculo
© c 2004 [email protected] 11 de junio de 2004 Versin 1.
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
CIENCIASCIENCIAS
MaTEX
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ımites
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Tabla de Contenido
A
s = B + m v
r = A + l u
B
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Secci´on 2: Infinit´esimos 4
Ejemplo 2.1. Las siguientes funciones son infinit´esimos en los puntos que se indican a) (^) xl´ım→ 1 x − 1 b) (^) xl´→∞ım^1 x c) (^) xl´ım→ 0 x^2 d ) (^) xl´ım→ 0 sen x e) (^) x→l´ımπ/ 2 cos x f ) (^) xl´ım→ 0 tan x
A
s = B + m v
r = A + l u
B
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Secci´on 2: Infinit´esimos 5
g) (^) xl´ım→ 0 ex^ − 1 h) (^) xl´ım→ 0 (1 − cos x i) (^) xl´ım→ 0 ln(1 + x)
2.1. Algebra de infinit´esimos Regla I La suma finita de infinit´esimos es un infinit´esimo. α(x) → 0 β(x) → 0 =⇒ α(x) + β(x) → 0 xl´ım→ 0 x^2 + sen^ x^ = 0^ xl´ım→ 0 x^4 + sen^ x^2 = 0 Regla II EL producto de un infinit´esimo por una constante, o por una vari- able acotada, es un infinit´esimo. k ∈ R, α(x) → 0 =⇒ Kα(x) → 0 z(x) acotada , α(x) → 0 =⇒ z(x)α(x) → 0
2.2. Orden de un infinit´esimo Cuando x → 0 las variables: x, x^2 , x^3 , · · · , xm, · · · son infinit´esimos y ´estas se toman como tipos de comparaci´on de otros in- finit´esimos. Decimos que f (x) es un infinit´esimo en el punto x = a de orden n cuando
xl´ım→a(x^ f −^ (x a))n^ =^ Cte^6 = 0
A
s = B + m v
r = A + l u
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Secci´on 2: Infinit´esimos 7
Ejercicio 1. Escribir el infinit´esimo equivalente en x = 0 a: a) sen x^3 b) tan(x + x^2 ) c) sen 17 x^3
Teorema 2.2. Los infinit´esimos 1 − cos x ∼ 12 x^2 son equivalentes en x = 0.
x→ 0
1
Para su aplicaci´on se puede sustituir x por cualquier variable α(x) que tambi´en sea un infinit´esimo. Ejemplos de esto son:
a) (^) xlim→ 01 − 1 cos 2x 2 4 x^2
= 1 b) (^) xlim→ 01 −^ cos 5x
2 (^12 25) x 4 = 1
c) (^) xlim→ 01 −^ cos^
√x 1 2 x^
= 1 d ) (^) xlim→ 01 − 1 cos 2x 2 4 x^2
Ejercicio 2. Escribir el infinit´esimo equivalente en x = 0 a: a) 1 − cos x^2 b) 1 − cos 3 c) 1 − cos x 2 d ) 1 − cos
x^3 e) 1 − cos 3x^7 f ) 1 − cos(sen x)
A
s = B + m v
r = A + l u
B
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Secci´on 2: Infinit´esimos 8
Teorema 2.3. Cuando x → 0, ln(1 + x) ∼ x son equivalentes
Para su aplicaci´on se puede sustituir x por cualquier variable α(x) que tambi´en sea un infinit´esimo. Ejemplos de esto son:
a) (^) xlim→ 0 ln(1 + 2 2 x x)= 1 b) (^) xlim→ 0 ln(1 −^ −x x)= 1
c) (^) xlim→ 0 ln(1 +^ x
x^2 = 1^ d^ )^ xlim→ 0
ln(1 + 5√x) 5 √x = 1
e) (^) xlim→ 0 ln(1 + sensen x x)= 1 f ) (^) xlim→ 0 ln(1 + tantan x x)= 1
Ejercicio 3. Escribir el infinit´esimo equivalente en x = 0 a: a) ln(1 +
x^3 ) b) ln(1 + 3x^7 ) c) ln(1 + sen x) d ) ln(1 − 3 x) e) ln(1 + x 3 ) f ) ln(1 + 2 tan x)
A
s = B + m v
r = A + l u
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Secci´on 2: Infinit´esimos 10
Equivalencias
sen α(x) ∼ α(x) 1 − cos α(x) ∼ 12 α(x)^2
tan α(x) ∼ α(x) ln (1 + α(x)) ∼ α(x) eα(x)^ − 1 ∼ α(x) arc sen α(x) ∼ α(x) arctan α(x) ∼ α(x)
Tabla de Infinit´esimos
A
s = B + m v
r = A + l u
B
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Secci´on 2: Infinit´esimos 11
Responde a las siguientes cuestiones sobre infinit´esimos:
Test. Responde a las siguientes preguntas.
(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 1
(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = a
(a) x = 0 (b) ∞ (c) Nunca
(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 1
(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 1
A
s = B + m v
r = A + l u
B
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Secci´on 2: Infinit´esimos 13
Inicio del Test Buscar el infinit´esimo equivalente en cada caso:
(a) x (b) x^2 (c) Ninguno de los otros
(a) x (b) x^2 (c) Ninguno de los otros
(a) 8x^2 (b) 4x^2 (c) 4x (d) Ninguno de los otros
(a)
x (b)^12 x (c) Ninguno
Final del Test
A
s = B + m v
r = A + l u
B
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Secci´on 2: Infinit´esimos 14
Inicio del Test Buscar el infinit´esimo equivalente en cada caso:
(a) x (b) x^2 (c) 1 + x^2
(a) x^2 (b) −x^2 (c) − 3 x^2
x^3 ) equivale a:
(a)
x^3 (b) x^3 (c) 1 + x^3
(a) x (b) tan x (c) senx (d) Todos los anteriores
(a) x − 1 (b) x (c) x^2 (d) Ninguno Final del Test
A
s = B + m v
r = A + l u
B
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Secci´on 2: Infinit´esimos 16
Ejercicio 5. Aplicar equivalencias a los siguientes infinit´esimos en el punto indicado a) (sen 5x)x=0 b) [tan(1 − x)]x= c)
1 − cos x^2
x=0 d^ ) [arcsin 3x]x= e) [ln x]x=1 f ) [arctan sen x]x= g) [esen^ x^ − 1]x=0 h) [ln(cos x)]x= i)
sen 3√x
x= Ejercicio 6. Determinar el orden de los siguientes infinit´esimos en x = 0 a) sen x b) tan x c) 1 − cos x d ) 4x^3 + x^50 e) ln(1 − x) f ) ex^ − 1 g) e^3 x^2 − 1 h) ln(1 − x^3 ) i) sen 3x^2
A
s = B + m v
r = A + l u
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Secci´on 2: Infinit´esimos 17
2.4. Principio de Sustituci´on A la hora de aplicar equivalencias de infinit´esimos en los l´ımites hay que tener en cuenta que la sustituci´on no se puede hacer literalmente. Para hacerlo hay que limitarse al siguiente principio:
[P.S.] Si en una expresi´on de un l´ımite se sustituye un factor o divisor por otro equivalente, el l´ımite de la expresi´on no var´ıa si se sustituye Un factor finito por su l´ımite, no nulo Un factor infinit´esimo por otro equivalente T´engase presente este principio de sustituci´on para los infinit´esimos que est´en multiplicando o bien dividiendo. Si la sustituci´on se realiza cuando est´an sumando o restando es f´acil cometer errores.
Ejemplo 2.3. Aplicar el principio de sustituci´on a los l´ımites:
a) (^) xl´ım→ 0 sen 2x · sen 5x b) (^) xl´ım→ 0 sen 3 sen 5xx
Soluci´on: a) (^) xl´ım→ 0 sen 2x · sen 5x = lim x→ 0 (2x) · (5x) = 0
b) (^) xl´ım→ 0 sen 3 sen 5xx = lim x→ 035 xx =^35
A
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Secci´on 3: Infinitos 19
xlim→a f^ (x)^ → ∞
Ejemplo 3.1. Las siguientes funciones son infinitos: a) (^) xlim→ (^1) x −^1 1 b) (^) xlim→∞ x c) (^) xlim→ (^0) x^12 d ) (^) xlim→∞ 3 x^2 e) (^) x→limπ/ 2 tan x f ) (^) xlim→ 0 + ln x
Ejercicio 8. Indicar si las siguientes funciones son infinitos: a) (^) xlim→ 1 1 + 1 −^ xx b) (^) x→−∞lim 2 x^ c) (^) xlim→ (^0) sen^1 x d ) (^) x→lim+∞ 2 x^ e) (^) x→lim+∞ ex^ f ) (^) x→lim+∞ ln x
3.1. Orden de un infinito Cuando x → ∞ las variables: x, x^2 , x^3 , · · · , xm, · · · son infinitos y ´estas se toman como tipos de comparaci´on de otros infinitos. En la comparaci´on caben cuatro casos: f (x) → ∞ g(x) → ∞
A
s = B + m v
r = A + l u
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Secci´on 3: Infinitos 20
Si lim f g^ ((xx)) = ∞ Se dice f (x) es de orden superior a g(x)
Si lim f g^ ((xx)) = 0 f (x) es de orden inferior a g(x)
Si lim f g^ ((xx)) = finito 6 = 0 son del mismo orden
Si lim f g^ ((xx)) = no existe , no son comparables
Ejemplo 3.2. Veamos el orden de algunos infinitos: a) El polinomio 3x + 5 es un infinito de orden 1, pues
xlim→∞^3 x^ x+ 5 = 3 b) El polinomio −x^3 + 5x es es un infinito de orden 3, pues
xlim→∞^ −x
(^3) + 5x x^3 =^ −^1 c) El polinomio
4 x + 5 es un infinito de orden 1/2, pues
xlim→∞
√ 4 x + 5 √x = 2
