Límites infinitos-matemática, Diapositivas de Matemáticas

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• UNIDAD

Anteriormente se mencionó que cuando se evalúa un límite de la forma:

lim

𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)

𝐿 0 Y se obtiene el límite del numerador lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = L y que el limite del denominador lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 0 , donde L es un número distinto de 0 , se dice que el limite es “Infinito”. En estos casos el límite no existe ya que la función crece o decrece sin límite tomando valores positivos o negativos muy grandes. La recta x = a se llama “Asíntota Vertical”. x = a x = a

Y si realizamos la tabla de valores tendremos: X→ 0 0 ←X x - 0.1 - 0.01 - 0.001 - 0.0001 0 0.0001 0.001 0.01 0. f (x) 100 10,000^ 1,000,000^ 100,000,000^ ∄^ 100,000,000^ 1,000,000^ 10,000^100

f (x) → ∞ ∞^ ←^ f (x)

Para que el límite exista, las imágenes deben acercarse a un valor real cuando las x se acercan a cero. Sin embargo, en este problema, las imágenes no se acercan a ningún valor real. A partir de la gráfica, podemos ver que cuando los valores de “x” se acercan a cero, las imágenes crecen sin límite, por lo tanto, el límite no existe.

¿Y ahora que hacemos?

Si bien el límite no existe, podemos usar la notación de límites para expresar el

comportamiento de la función: las imágenes tienden a infinito (crecen sin límite),

cuando x tiende a cero.

lim

2 = ∞

Eso no quiere decir que el límite exista. Es más, ese infinito es la razón de inexistencia

del límite, pues el infinito no es un número real, y para que el límite exista, las

imágenes f(x) deben acercarse a un número real.

Y si realizamos la tabla de valores tendremos: X→ 1 1 ←X x 0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1. f (x) - 10 - 100 - 1,000^ - 10,000^ ∄ 10,000^ 1,000^100

f (x) → - ∞ +∞^ ←^ f (x)

De la tabla anterior podemos apreciar que: lim 𝑥→ 1 −

= - ∞ y lim 𝑥→ 1

= + ∞

Casos de Límites Infinitos

Dado que los límites infinitos aparecen en los límites laterales, tenemos varios casos de limites infinitos:

Ejercicio 1 : Calcule el siguiente límite:

lim

𝑥→ 0

3

2

3 Solución: 1.Primero evaluamos el limite de la función cuando x→ 0 : lim 𝑥→ 0

3 5 𝑥 2

• 3 𝑥 3

3 5 ( 0 ) 2

• 3 ( 0 ) 3

Como el límite del numerador es una constante y el límite del denominador es 0 , el límite no existe y es un límite del tipo infinito. La función tiene una asíntota vertical en x= 0. Cuando esto sucede, es necesario calcular el límite por la derecha y el límite por la izquierda.

2.Para obtener el límite por la derecha evaluamos la función en un número muy cercano a cero por la derecha.

lim

𝑥→ 0

2 − 4 𝑥 3 5 𝑥^2 + 3 𝑥^3

Evaluando la función en 0. 01 𝑓 𝑥 = 2 − 4 ( 0. 01 ) 3 5 ( 0. 01 ) 2

• 3 ( 0. 01 ) 3 = 2 − 4 ( 0. 000001 ) 5 ( 0. 0001 ) + 3 ( 0. 000001 ) = 2 − 0. 000004

1. 0005 + 0. 000003 =
2. 999996
3. 000503 = 𝟑, 𝟗𝟕𝟔. 𝟏𝟒 Es claro que los valores de f(x) están creciendo sin límite con valores positivos, razón por la cual podemos concluir que:

lim

𝑥→ 0

2 − 4 𝑥 3 5 𝑥^2 + 3 𝑥^3

Como el límite por la derecha y el límite por la izquierda tienden al infinito positivo, se concluye que: lim

3

2

3 = ∞

Ejercicio 2 : Calcule siguiente límite:

lim

𝑥→ 3 +

𝟐

Solución: 1.Primero evaluamos el limite de la función cuando x→ 3 : lim 𝑥→ 3 +

𝟐 − 𝟗 3 − 𝑥

𝟐 − 𝟗 3 − 3

Como el límite tiene forma indeterminada 0 0 y no del tipo 𝐿 0 , se deben realizar operaciones algebraicas adicionales para calcular el límite.

3.Evaluamos el limite de la función equivalente cuando x→ 3 : lim 𝑥→ 3 +

𝟐 − 𝟗

𝟐 − 𝟗

Como en este caso el límite si tiene forma 𝐿 0 , es decir que el límite es de tipo infinito. 4.Evaluando la expresión en un número que se aproxime a 3 por la derecha, por ejemplo 3. 001 se tiene: 𝑓 𝑥 =

2 − 9

La función tiene valores negativos muy grandes, por lo que podemos concluir que: lim

𝟐

= − ∞

ACTIVIDAD DE LA SEMANA Tabla de actividades Nombre de la actividad (^) Guía de Ejercicios Tipo de actividad Individual Competencias especifica de la asignatura

• Resolver problemas analizando los límites infinitos. Instrucciones Se deberá resolver la guía de ejercicios sobre límites infinitos de manera individual dejando constancia del proceso. Luego de resuelta la guía se ingresará al: Buzón Tarea Semana 4 , en el cual se podrá compartir su tarea. Fecha de entrega La fecha límite de envío de la guía será el domingo al final de la Semana 4 , a las 11 : 55 p.m. Instrumento de evaluación Guía de Ejercicios Ponderación (^50) % del Laboratorio 2

RECURSOS Recursos Complementarios Recurso Título Cita Referencial Pagina web (^) LÍMITES INFINITOS https://www.universoform ulas.com/matematicas/ana lisis/limites-infinitos/ Video (^) CÁLCULO DE LIMITES INFINITOS https://youtu.be/Yb7h8qcU 3NY