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Funciones: Inyectivas, Suryectivas y Biyectivas
Función Inyectiva:
La función f es inyectiva (univalente) si a cada elemento del rango le corresponde un único
elemento en el dominio, es decir, si existen dos elementos 𝑥1 , , 𝑥 2 ∈ 𝐷(𝑓) distintos cuyas
imágenes son distintas 𝑓(𝑥 1 ) ≠ 𝑓(𝑥 2 ).
Equivalentemente
La función f es inyectiva si 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝐷(𝑓): 𝑓(𝑥 1 ) = 𝑓(𝑥 2 ) ⟹ 𝑥 1 = 𝑥 2
Ejemplo.
De manera práctica; una función f es inyectiva si al tras<ar una recta paralela al eje X,
esta la intersecta únicamente en un punto
Observación: Si la función f(x) tiene varias reglas de correspondencia es decir:
𝑓1;^ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓^1 )
F es inyectiva si y solo si cada función f1, f 2 , f 3 ,….., fn son inyectivas y además
𝑅𝑓𝑖 ∩ 𝑅𝑓𝑗 = ∅; ∀𝑖 ≠ 𝑗
Ejemplos
- Determine si las función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 y 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 1 son inyectivas
Solución
f es inyectiva si 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝐷(𝑓): 𝑓(𝑥 1 ) = 𝑓(𝑥 2 ) ⟹ 𝑥 1 = 𝑥 2
𝑓(𝑥 1 ) = 𝑓(𝑥 2 ) 2𝑥 1 + 1 = 2𝑥 2 + 1
𝑥 1 = 𝑥 (^2)
Luego la función dada es inyectiva
Del mismo modo se puede verificar que la función g también es inyectiva
- Determine si la función f es inyectiva 𝑓(𝑥) = −√𝑥 − 2; 𝑥 ≥ 0
f es inyectiva si 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝐷(𝑓): 𝑓(𝑥 1 ) = 𝑓(𝑥 2 ) ⟹ 𝑥 1 = 𝑥 2 𝑓(𝑥 1 ) = 𝑓(𝑥 2 )
−√𝑥 1 − 2 = −√𝑥 2 − 2
−√𝑥 1 = −√𝑥 2
√𝑥 1 = √𝑥 2 |𝑥 1 | = |𝑥 2 |; ; 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 𝑥 1 = 𝑥 (^2) Luego la función dada es inyectiva.
Ejemplo
La función 𝑓: [0, ∞[ → [−2, ∞[ tal que 𝑓(𝑥) = −√𝑥 − 2; 𝑥 ≥ 0 es suryectiva puesto que
𝑅(𝑓) = [−2, ∞[
𝑓(𝑥) = −√𝑥 − 2; 𝑥 ≥ 0
𝑦 = −√𝑥 − 2 → −√𝑥 = 𝑦 + 2
√𝑥 = −𝑦 − 2
2 = (−𝑦 − 2)^2 = (𝑦 + 2)^2
𝑥 = (𝑦 + 2)^2
Luego ∀𝑦 ∈ 𝑅, ∃𝑥 = (𝑦 + 2)^2 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑓((𝑦 + 2)^2 ) = −√(𝑦 + 2)^2 − 2 = 𝑦
Entonces f es suryectiva
Función Inversa
Se llama función inversa a una función de f a otra función que f-1^ que cumple que si 𝑓(𝑥) = 𝑦 entonces 𝑓−1(𝑦) = 𝑥
La función 𝑓−1^ es posible determinarlo si y solo si es biyectiva.
Observaciones
- 𝐷(𝑓−1) = 𝑅(𝑓) 𝑦 𝑅(𝑓−1) = 𝐷(𝑓)
- Sea g la gráfica de la función inversa e f. La grafica de f y su inversa son simétricas respecto a la recta y = x.
Función Par e Impar
Definición: Una función es par si, para cada x en el dominio de f , f (– x ) = f ( x ).
Las funciones pares tienen simetría reflectiva a través del eje de las y.
Funcion Impar
Un función es impar si, para cada x en el dominio de f , f (– x ) = – f ( x ).
Las funciones impares tienen simetría rotacional de 180º con respecto del origen.
