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Álgebra de Funciones

Módulo 5

MATEMÁTICA BÁSICA

Videoconferencia 0 6

INGRESO, COSTO Y UTILIDAD

La función Utilidad de una determinada empresa depende de la diferencia de las funciones Ingreso y

Costo Total. Si esta Utilidad es positiva, se la conocerá como Ganancia, y si es negativa como Pérdida.

SABERES PREVIOS

2. Dados el siguiente conjunto − 1 < 𝑥 ≤ 4. ¿A

cuál de los siguientes intervalos le

corresponde?

𝑎) ሾ− 1 ; 4 ۧ b) ۦ− 1 ; 4 ۧ c) ۦ− 1 ; 4 ሿ d) ሾ 0 ; 4 ሿ

1. Dados los intervalos 𝐴 =

2 y 𝐵 =

Determinar 𝐴 ∩ 𝐵.

a) 0 ; 2 b) − 3 ; 0 c) ሾ 0 ; 2 ۧ d) ሾ− 3 ; 5 ۧ

3. ¿Cuál es el dominio de la siguiente función

+∞ b)

2 c)

2 d) 2 ; +∞

4. ¿Cuál es el dominio de la siguiente función

4 +𝑥

9 −𝑥

2

𝑎) − 3 ; 3 b) 𝑅 − { 3 , − 3 } c)𝑅 − { 3 , − 3 , − 4 }

d) − 3 ; 3

Al término del módulo,

resolverás ejercicios y problemas

aplicados a la gestión

empresarial, relacionados a

operaciones con funciones,

haciendo uso de sus definiciones

y propiedades del álgebra de

funciones; siguiendo un proceso

lógico fundamentado y

comunicando tus resultados.

LOGRO DE SESIÓN

1. Igualdad de Funciones

Sea f y g dos funciones bien definidas. Diremos que f y g son iguales si

tienen el mismo dominio y la misma regla de correspondencia. Es decir:

Sean f y g dos funciones y ¿Son iguales las funciones?

Ejercicios Resueltos:

Dom(f):

f(x) está bien definida si: x + 3 ≥ 0 ^ x – 3 ≥ 0

x ≥ - 3 ^ x ≥ 3

x ≥ 3

Es decir, Dom(f) = [ 3 ;+∞>

Dom(g):

g(x) está bien definida si x

2

• 9 ≥ 0

x

2

x ≥ 3 v x ≤ - 3

Es decir, Dom(g) = <- ∞; - 3 ] U [ 3 ;+∞>

Vemos que: Dom(f) ≠ Dom(g)

Por lo tanto, f y g no son funciones

iguales.

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3. 𝑥 − 3

g 𝑥 = 𝑥

2

− 9

Solución:

Hallemos el dominio de cada función:

1. Si:

Encontrar ( f + g )( x ) y su dominio.

Identifica 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥). Reemplaza

𝑓(𝑥) con 5𝑥 + 6 y 𝑔(𝑥) con 3𝑥

2

Solución:

2

Calculamos el dominio:

2

2

2

Luego suma y combina los términos

semejantes.

Ejemplo:

2. 2 SUSTRACCIÓN DE FUNCIONES

Es decir: f − g = {( , x y ) / y = f ( ) x − g x ( ) , x  Dom f ( )  Dom g ( )}

( f − g )( ) x = f ( ) x − g x ( )

Dom f ( − g ) = Dom f ( )  Dom g ( )

2. Si: 𝑓 𝑥 = 5 𝑥

2

2

Encontrar 𝑓 − 𝑔 𝑥 , su dominio y

evaluar 𝑓 − 𝑔 3.

Solución:

Calculamos el dominio:

Observa que 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥.

Reemplaza las funciones y reduce términos

semejantes.

2

2

2

2

2

2

2

2

Finalmente evaluamos 𝑓 − 𝑔 3 :

Ejemplo:

( )

( )

( )

f f x

x

g g x

 

=

 

 

Dom f ( / g ) = Dom f ( )  Dom g ( ) − { x / g x ( ) =0}

3. 4 DIVISIÓN DE FUNCIONES

4.

Si:

Encontrar el cociente de

𝑓

𝑔

𝑥 , su dominio y evaluar

𝑓

𝑔

3

2

Ejemplo:

4. Si:

Encontrar el cociente de

𝑓

𝑔

𝑥 , su dominio y evaluar

𝑓

𝑔

Para encontrar el cociente, divide f entre g.

Sustituye los polinomios por f(x) y g(x) y divide.

x≠ 0 , porque x = 0 haría el denominador

g(x) = 0 y

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

sería indefinida.

Solución:

3

2

Calculamos su dominio:

𝐷𝑜𝑚

𝑓

𝑔

= 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 , 𝑔(𝑥) ≠ 0

𝐷𝑜𝑚

𝑓

𝑔

= ℝ ∩ ℝ −{ 0 } = ℝ − { 0 }

𝑓

𝑔

𝑥 =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

𝑓

𝑔

12 𝑥

3

• 15 𝑥

2

−6𝑥

3𝑥

𝑓

𝑔

3𝑥( 4 𝑥

2

+5𝑥− 2 )

3𝑥

𝑓

𝑔

2

Finalmente evaluamos

𝑓

𝑔

𝑓

𝑔

2

Entonces:

Modelación Matemática

Si se sabe que las funciones de ingreso I(x) y costo C(x) (en soles) de una

compañía productora de “x” bobinas para máquinas “Generadoras de Oxígeno”,

están dadas por:

Determine la función Utilidad U(x) e indique cuál sería su valor cuando se

producen y venden 6000 bobinas. Además grafique cada función.

1.

Modelación Matemática

𝑈(𝑥) = 32𝑥 − (22𝑥 + 12000 )

Se sabe que la función Utilidad U(x)

está dada por la siguiente expresión:

U(x) = I(x) – C(x)

Reemplazando tenemos :

𝑈 𝑥 = 10𝑥 − 12000 , 𝑥 ≥ 0

Hallando la utilidad cuando se

producen y venden 6000 bobinas:

Solución :

U(6000)=60 000 – 12 000= 48 000

∴ Se obtendrá una utilidad de 48 000 soles.

Modelación Matemática

Nos piden la suma de los valores

de ambas acciones : S(x) = A(x) + N(x)

Reemplazando tenemos :

S (x) = (5x + 7x

2

+ 3) + (-3x + x

2

S (x) = 5x +7x

2

+3 - 3x +x

2

S (x) = 8x

2

+ 2x + 15 , x≥

La diferencia de los valores de las

acciones sería D(x) = A(x) - N(x)

Solución :

Reemplazando tenemos :

D(x) = (5x+7x

2

+3) - (-3x+x

2

D(x) = 5x + 7x

2

+ 3 + 3x - x

2

• 12

D(x) = 6x

2

+ 8x - 9 , x≥

Podemos ver , hubo un momento en que los valores de las

acciones de ambos amigos eran iguales.

Lo mismo en las 2 primeros semanas el valor de las acciones del

segundo amigo tendieron a bajar.

Discusión:

a) Exprese el costo total como una función del número de bicicletas armadas.

b) Suponga que los estudiantes venden las bicicletas a S/. 175 cada una. ¿Cuántos

deben vender para cubrir los gastos ?¿ Cuántos deben vender para obtener una

utilidad de S/. 550?

Problema: Durante las vacaciones universitarias, un grupo de estudiantes arman

bicicletas en un garaje adaptado. El costo del alquiler del garaje es de S/. 660 por las

vacaciones. Los materiales necesarios para armar una bicicleta cuestan S/. 65.