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1. Sistemas de ecuaciones lineales
1.1. Ecuaciones lineales
Una recta en el plano xy puede representarse algebráicamente por una ecuación de la forma:
a 1 x + a 2 y = b (1)
Una ecuación de este tipo se denomina ecuación lineal en las variables x, y. De manera general, una ecuación lineal en las n variables x 1 ,x 2 ,... , xn se define como una ecuación que se puede expresar en la forma:
a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + anxn = b (2)
donde a 1 ,a 2 ,... ,an, b ∈ R. Las variables en una ecuación lineal se denominan incógnitas. Notemos que una ecuación lineal no incluye ningun producto o raiz de variables , todas las variables estan elevadas sólo a la primera potencia y no aparecen como argumentos de funciones trigonométricas, logarítmicas o exponenciales. Una solución de una ecuación lineal es una sucesión de n números s 1 , s 2 ,.. ., sn de modo que la ecuación se cumple cuando se sustituye x 1 = s 1 , x 2 = s 2 ,... , xn = sn. El conjunto de todas las soluciones de la ecuación se denomina conjunto solución o solución general de la ecuación.
1.2. Sistemas lineales
Un conjunto finito de ecuacions lineales en las variables x 1 ,x 2 ,... , xn se denomina sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal. Una sucesion de números s 1 , s 2 ,.. ., sn se denomina solución del sistema si x 1 = s 1 , x 2 = s 2 ,... , xn = sn es una solución de todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Se dice que un sistema de ecuaciones que no tiene soluciones es inconsistente, si existe por lo menos una solución del sistema, éste se denomina consistente. Para ilustrar estas condiciones de las soluciones, supongamos un sistema de dos ecuaciones:
a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 (3)
Si graficamos estas ecuaciones resultan ser unas rectas digamos l 1 y l 2 , así un punto (x, y) que pertenezca a la recta debe satisfacer la ecuación de dicha recta. Entonces tenemos tres posibilidades para las soluciones:
Las rectas l 1 y l 2 pueden ser paralelas, lo que significaría que el sistema no tiene solución.
Las rectas l 1 y l 2 pueden cortarse en un sólo punto, en cuyo caso el sistema tiene una única solución.
Las rectas l 1 y l 2 pueden coincidir , en cuyo caso hay una infinidad de puntos de intersección y por lo tanto el sistema tiene una infinidad de soluciones. - 2.0 - 1.5 - 1.0 - 0.5 0.5 1.
- 2.0 - 1.5 - 1.0 - 0.5 0.5 1.
Figura 1: Tres posibilidades para las soluciones de un sistema
Un sistema arbitrario de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir como:
a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2 nxn = b 2 .. .
am 1 x 1 + am 2 x 2 +... + amnxn = bm (4)
donde xi son las incógnitas y aij ,bi son constantes con i ∈ 1 ,... n.
1.3. Matrices aumentadas
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas puede abreviarse al escribir sólo un arreglo rectangular de números: (^)
a 11 a 12... a 1 n b 1
a 21 a 22
. a 2 n b 2 .. .
am 1 am 2
. amn bm
Este arreglo se denomina matriz aumentada del sistema, donde el término matriz se utiliza para denotar un arreglo rectangular de números. Por ejemplo, la matriz aumentada del sistema de ecuaciones:
x 1 + x 2 + 3x 3 = 7 −x 1 − 4 x 2 + 5x 3 = − 2 2 x 1 + x 2 − 5 x 3 = 0
es: (^)
Notemos que la matriz aumentada debe escribirse en el mismo orden que las ecuaciones en el sistema. Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, debemos escribir primero su matriz aumentada y el objetivo es reducir esta matriz a una matriz equivalente al sistema original que sea más fácil de resolver. Para esto, existen tres operaciones elementales sobre la matriz:
- Multiplicar un renglón por una constante diferente de cero.
- Intercambiar dos renglones.
- Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
Ilustremos estas operaciones para resolver un sistema de ecuaciones lineales:
x + y + 2z = 9 2 x + 4y − 3 z = 1 3 x + 6y − 5 z = 0
cuya matriz aumentada será: (^)
procedamos a realizar operaciones elementales sobre esta matriz para encontrar el valor de las incógnitas x, y y z:
− 2 R 1 + R 2
− 3 R 1 + R 3
R 2
hemos descartado el último renglón ya que consta de una ecuación cuyos coeficientes son todos ceros, por lo que la solución será de la forma:
x 1 = − 3 x 2 − 4 x 4 − 2 x 5 x 3 = − 2 x 4
x 6 =
Notemos que la solución está en términos de las otras variables, cuando tenemos soluciones de este tipo, a estas variables se les conoce como variables libres y se le pueden asignar valores arbitrarios a los cuales también se les llama parámetros. Con esto, la solución puede escribirse como:
x 1 = − 3 r − 4 s − 2 t x 2 = r x 3 = − 2 s x 4 = s x 5 = t
x 6 =
Si tomamos un caso particular para r = s = t = 1, la solución sería: ( − 9 , 1 , − 2 , 1 , 1 ,
por lo tanto este sistema tiene una infinidad de soluciones.
1.5. Sistemas lineales homogéneos
Un sistema lineal de ecuaciones se dice que es homogéneo si los términos constantes son todos ceros, es decir, un sistema de la forma:
a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1 nxn = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2 nxn = 0 .. .
am 1 x 1 + am 2 x 2 +... + amnxn = 0
Todos los sistemas homogeneos de ecuaciones lineales tienen como solución a x 1 = x 2 = · · · = xn = 0 , a esta solución se le conoce como la solución trivial, si existen otras soluciones se le llaman las soluciones no triviales. La matriz aumentada de un sistema homogéno tiene una columna de ceros, por lo que las operaciones elementales no le afectaran. Resolvamos el siguiente sistema mediante eliminación de Gauss-Jordan:
2 x 1 + 2x 2 − x 3 + x 5 = 0 −x 1 − x 2 + 2x 3 − 3 x 4 + x 5 = 0 x 1 + x 2 − 2 x 3 − x 5 = 0 x 3 + x 4 + x 5 = 0
cuya matriz aumentada será: (^)
reduciéndola a su forma escalonada reducida mediante operaciones elementales, tenemos:
Así, el correspondiente sistema de ecuaciones es:
x 1 + x 2 + x 5 = 0 x 3 + x 5 = 0 x 4 = 0
Resolviendo para las variables dadas:
x 1 = −x 2 − x 5 x 3 = −x 5 x 4 = 0
luego,
x 1 = −s − t x 2 = s x 3 = −t x 4 = 0 x 5 = t
De esto se desprende un resultado muy importante. Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene una infinidad de soluciones.
1.5.1. Ejemplos
- Resolver el siguiente sistema:
2 x 1 + 2x 2 − 2 x 3 = 5 7 x 1 + 7x 2 + x 3 = 10 5 x 1 + 5x 2 − x 3 = 5
Solución. Su matriz aumentada es: (^)
la cual se reduce a la siguiente matriz: (^)
Si observamos el último renglón de esta matriz notamos una inconsistencia, ya que este renglón indica que 0 = 1, por lo tanto este sistema no tiene solución.
- Encuentre el valor de a, b ∈ R para los cuales el siguiente sistema
a) no tiene solución b) tiene una única solución
la cual tiene un renglón de ceros por lo que reduciendo mediante operaciones elementales, tenemos:
cuya solución es:
x = −2 + t y = −3 + 2t z = t
donde t es un parámetro. Así el sistema tiene una infinidad de soluciones.
- Considere la ecuación química
(x 1 ) CO + (x 2 ) CO 2 + (x 3 ) H 2 → (x 4 ) CH 4 + (x 5 ) H 2 O
Igualando el número total de cada tipo de átomos en ambos lados de la ecuación química, tenemos
átomo C x 1 + x 2 = x 4 átomo O x 1 + 2x 2 = x 3 átomo H 2 x 3 = 4x 4 + 2x 5
esto nos representa un sistema de 3 ecuaciones lineales homogéneo:
x 1 + x 2 − x 4 = 0 x 1 + 2x 2 − x 5 = 0 2 x 3 − 4 x 4 − 2 x 5 = 0
La matriz aumentada para este sistema de 3 ecuaciones y 5 variables es:
la cual en su forma escalonada reducida es:
de aquí, el sistema resultante tiene la forma:
x 1 − 2 x 4 + x 5 = 0 x 2 + x 4 − x 5 = 0 x 3 − 2 x 4 − x 5 = 0
así, la solución se puede escribir en términos de variables libres:
x 1 = 2 t − s x 2 = −t + s x 3 = 2 t + s x 4 = t x 5 = s
Para el caso particular en que s = 3 y t = 2 , la solución es (1, 1 , 7 , 2 , 3) y la ecuación química balanceada queda como: CO + CO 2 + 7H 2 → 2 CH 4 + 3H 2 O
- Un análisis económico de tres sectores A,B y C , proporciona los siguientes datos de adquisición:
A B C Adquisición sector A 0.2 0.6 0. Adquisición sector B 0.4 0.1 0. Adquisición sector C 0.4 0.3 0.
Cuadro 1: Proporción de producción para cada sector
Sea pA, pB y pC los valores del precio total de producción de cada sector, respectivamente. Si deseamos saber el valor exacto del precio de producción para cada sector, debemos resolver el siguiente sistema:
- 2 pA + 0. 6 pB + 0. 1 pC = pA
- 4 pA + 0. 1 pB + 0. 5 pC = pB
- 4 pA + 0. 3 pB + 0. 4 pC = pC
el cual nos conduce a un sistema homogéneo de ecuaciones lineales:
- 8 pA − 0. 6 pB − 0. 1 pC = 0
- 4 pA − 0. 9 pB + 0. 5 pC = 0
- 4 pA + 0. 3 pB − 0. 6 pC = 0
así, la matriz aumentada a este sistema será:
Reduciendo mediante operaciones elementales tenemos:
este sistema tiene también variables libres, así la solución es de la forma:
(pA, pB , pC ) =
t,
t, t
Para t = 16, tenemos que el precio de producción será:
(pA, pB , pC ) =
Notemos que dos matrices A y B son iguales si: (aij ) = (bij ), es decir, si son iguales todas sus entradas correspon- dientes. Finalmente definamos la multiplicación entre matrices. Supongamos que
A =
a 11 · · · a 1 n .. .
am 1 · · · amn
y^ B^ =
b 11 · · · b 1 p .. .
bn 1 · · · bnp
son matrices tales que Am×n y Bn×p. El producto matricial AB está dado por una matriz de tamaño m × p:
AB =
q 11 · · · q 1 p .. .
qm 1 · · · qmp
donde i = 1,... , m y j = 1,... , p y las entradas de esta matriz están dadas por:
qij =
∑^ n
k=
aikbkj = ai 1 b 1 j +... + ainbnj
Notemos que el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de renglones de la segunda matriz, y el resultado es una matriz que tiene el mismo número de renglones que la primera matriz y el mismo número de columnas que la segunda matriz es decir:
m × n n × p m × p La multiplicación entre matrices satisface las siguientes propiedades. Suponga que Am×n, Bn×p y Cp×r son matrices,
- Ley asociativa. A (BC) = (AB) C
- Ley distributiva:
a) A (B + C) = AB + AC por la izquierda b) (A + B) C = AC + BC por la derecha
- Ley distributiva respecto a un escalar.
a) c (AB) = (cA) B = A (cB)
- No conmutatividad
a) AB 6 = BA
Definamos las siguientes operaciones de matrices. Sea A una matriz m × n , la transpuesta de A, denotada por AT^ se define como la matriz n × m que resulta de intercambiar los renglones y columnas de A. [ AT^
]
ij = [A]ji Si A es una matriz cuadrada, es decir aquellas matrices que tienen el mismo número de renglones y el mismo número de columnas, entonces la traza de A denotada por tr (A) se define como la suma de las entradas de su diagonal principal aii. Para una matriz que no sea cuadrada no existe el término de traza. Algunas propiedades de la transpuesta de una matriz son las siguientes:
AT^
)T
= A
2. (A ± B)T^ = AT^ ± BT
- (kA)T^ = kAT
- (AB)T^ = BT^ AT
- Si A = AT^ la matriz se llama simétrica y antisimétrica si AT^ = −A.
2.1. Sistemas de ecuaciones lineales en forma matricial
Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
a 11 x 1 +... + a 1 nxn = b 1 .. .
am 1 x 1 +... + amnxn = bm
en la siguiente forma matricial Ax = b donde,
A =
a 11 · · · a 1 n .. .
am 1 · · · amn
y^ b^ =
b 1 .. . bm
representa las matrices de coeficientes y
x =
x 1 .. . xn
representa a las variables. Así, el sistema puede escribirse en la siguiente notación matricial:
a 11 · · · a 1 n .. .
am 1 · · · amn
x 1 .. . xn
b 1 .. . bm
el cual puede comprobarse mediante multiplicación directa.
2.2. Matrices inversas
Para comenzar con el cálculo de una matriz inversa, utilizaremos matrices cuadradas, Definición. La matriz n × n ,
In =
a 11 · · · a 1 n .. .
an 1 · · · ann
donde,
aij =
1 si i = j 0 si i 6 = j
es llamada la matriz identidad de orden n. Es decir, es aquella matriz cuadrada que consta de 1 en lo que llamaremos su diagonal principal aii, (^)
a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n .. .
an 1 an 2 · · · ann
Por ejemplo,
I 1 = (1) e I 4 =
La matriz identidad satisface lo siguiente. Sea A una matriz n × n , entonces,
AIn = InA = A
Con esto en mente, podemos dar la siguiente,
2.4. Cálculo de la matriz inversa A−^1
Antes de comenzar el método para el cálculo de la matriz inversa, definamos una matriz llamada matriz elemental. Una matriz An×n es llamada una matriz elemental E si ésta puede ser obtenida mediante operaciones ele- mentales sobre la matriz identidad n × n. Para calcular la matriz inversa de una matriz invertible, debemos encontrar una secuencia de operaciones ele- mentales que reduzcan a A a la matriz identidad In :
A−^1 = Ek · · · E 2 E 1 In
Para ilustrar este método consideremos la siguiente matriz para calcular su inversa:
A =
mediante operaciones elementales debemos reducir a la matriz A a una matriz identidad I 3 para poder encontrar a A−^1 , para esto, escribamos la matriz de la siguiente forma y hagamos operaciones elementales en ambas matrices:
[A|I] →
[
I|A−^1
]
Así, tenemos que,
− 2 R 1 + R 2
−R 1 + R 3
R 3 + R 1
2 R 2 + R 3
8 R 3 + R 1
− 3 R 3 + R 2
−R 3
Así,
A−^1 =
Si tuvieramos una matriz no invertible, en algún momento de las operaciones, obtendríamos un renglón de ceros del lado izquierdo y por lo tanto el cálculo ya carece de sentido. Considere la siguiente matriz:
A =
esta matriz no tiene matriz inversa. Ejemplos.
- Calcule la matriz inversa si existe, de las siguientes matrices:
a)
b)
2.5. Solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de la matriz
inversa
Utilicemos la teoría aprendida para aplicarla a la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Teorema. Si An×n es una matriz invertible, entonces para cada matriz bn× 1 , el sistema de ecuaciones Ax = b tiene exactamente una solución dada por x = A−^1 b. Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x + 2y + 3z = 5 2 x + 5y + 3z = 3 x + 8z = 17
En forma matricial este sistema puede ser representado por, Ax=b, donde
A =
(^) x =
x y z
(^) b =
en el ejemplo anterior vimos que A es invertible y calculamos su matriz inversa:
A−^1 =
Así por el teorema anterior, la solución al sistema está dada por:
x = A−^1 b =
es decir, x = 1, y = − 1 y z = 2. Este método es bastante restrictivo, ya que sólo se aplica a sistemas que tienen el mismo número de ecuaciones y el mismo número de incógnitas, es decir, la matriz inversa sólo existe para matrices cuadradas invertibles. Veamos algunos resultados importantes de matrices invertibles. Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño. Si AB es invertible, entonces , A y B deben ser también invertibles.
det(A + B) 6 = det(A) + det(B)
det(AB) = det(A) det(B)
Si A es invertible, entonces det
A−^1
= (^) det(^1 A)
Considere la siguiente matriz:
A =
para calcular su determinante, fijémonos en la segunda columna de la matriz, ésta contiene una gran cantidad de ceros, por lo que haremos la expansión a lo largo de ese columna:
det(A) = 1
∣ =^ −2 (1 + 2) =^ −^6
2.6.2. Matriz adjunta
Otra matriz importante es la matriz adjunta, la cual se define como: Definición. Si An×n es una matriz y Cij es el cofactor asociado a aij , entonces la matriz:
C 11 C 12 · · · C 1 n C 21 C 22 · · · C 2 n .. . Cn 1 Cn 2 · · · Cnn
es llamada la matriz de cofactores de A. La transpuesta de esta matriz es llamada la adjunta de A y se denota por adj(A). Calcular la matriz adjunta de la siguiente matriz:
A =
A partir de esta definición, podemos calcular la inversa de una matriz utilizando su matriz adjunta. Teorema. Si A es invertible, entonces A−^1 =
det (A)
adj (A)
de aquí se desprende un importante resultado. Una matriz es invertible si su determinante es diferente de cero.
2.6.3. Regla de Cramer
Aprendamos ahora una nueva forma de resolver sistemas de ecuaciones con el uso de determinantes. Si Ax = b es un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas tal que det (A) 6 = 0 , entonces el sistema tiene una única solución dada por :
x 1 = det (A 1 ) det (A)
, x 2 = det (A 2 ) det (A)
, , xn = det (An) det (A)
donde Aj es la matriz obtenida de reemplazar las entradas de la j-ésima columna de A por las entradas de la matriz:
b =
b 1 b 2 .. . bn
Ejemplo. Resuelva el siguiente sistema utilizando regla de Cramer:
x + 2z = 6 − 3 x + 4y + 6z = 30 −x − 2 y + 3z = 8
