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1.2 Sistemas de ecuaciones
Sistemas de ecuaciones algebraicas
Un sistema de ecuaciones de m ecuaciones con n incógnitas tiene la forma:
11
1
12
2
1 𝑛
𝑛
1
21
1
22
2
2 𝑛
𝑛
2
𝑚 1
1
𝑚 2
2
𝑚𝑛
𝑛
𝑚
Su forma matricial tiene la forma
[
11
12
1 𝑛
21
22
2 𝑛
𝑛 1
𝑛 2
𝑛𝑛
] [
1
2
𝑛
] = [
1
2
𝑛
]
Se escribe de la forma
El sistema puede tener
- Solución única. (consistente)
- Infinitas soluciones. (consistente)
- No tiene solución, el sistema se dice que inconsistente.
Sistema homogéneo de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones se llama homogéneo si y solo si todos los términos
independientes son iguales a cero.
11
1
12
2
1 𝑛
𝑛
21
1
22
2
2 𝑛
𝑛
𝑚 1
1
𝑚 2
2
𝑚𝑛
𝑛
En un sistema homogéneo de ecuaciones su solución puede ser
- Solución única 𝑋 = 0 (se llama solución trivial.)
- Infinitas soluciones y entre ellas la trivial.
Matriz Aumentada
La matriz aumentada del sistema, es la que se obtiene al aumentar una columna al final
a la matriz de coeficientes que es una columna con los términos independientes del
sistema, la matriz queda así:
11
12
1 𝑛
1
21
22
2 𝑛
2
𝑚 1
𝑚 2
𝑚𝑛
𝑚
Operaciones de equivalencia o elementales
- Intercambiar dos filas:
i j
F F
- Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de cero: →
i i
cF F
- Sumar un múltiplo de una fila a otra fila: 𝐹
𝑗
𝑖
𝑗
Método de eliminación de Gauss
i. Escriba la matriz aumentada del sistema.
ii. Efectúe operaciones elementales en la matriz aumentada hasta obtener la matriz
escalonada.
iii. A partir de la matriz escalonada, reescriba el sistema de ecuaciones equivalente.
iv. A partir de la última ecuación despeje la última incógnita y luego use
sustituciones hacia atrás para despejar las demás incógnitas.
Ejemplo
Resuelva el sistema de ecuaciones
Utilizando el método de eliminación gaussiana
i. Matriz aumentada del sistema
ii. Efectuar operaciones elementales entre filas hasta reducirla en forma escalonada
𝐹 1
/ 2 →𝐹 1
𝐹 2
− 4 𝐹 1
→𝐹 2
𝐹 3
− 3 𝐹 1
→𝐹 3
𝐹
2
/− 3 →𝐹
2
𝐹
3
2
→𝐹
3
𝐹
3
/− 1 →𝐹
3
𝐹
1
− 2 𝐹
2
→𝐹
1
𝐹 1
+𝐹 3
→𝐹 1
𝐹 2
− 2 𝐹 3
→𝐹 2
iii) y iv) Por lo que el sistema tiene solución única
Escrito en forma matricial
Características de las soluciones de un sistema de ecuaciones
Cuando se resuelve un sistema de m ecuaciones con n incógnitas puede ocurrir una de
las tres situaciones siguientes:
El sistema tiene única solución : Esto sucede cuando el sistema equivalente de
ecuaciones que se obtiene a partir la matriz escalonada o escalonada reducida tiene n
ecuaciones con n incógnitas y de la última ecuación se puede despejar el valor de la
última incógnita.
Por ejemplo:
Escrito en forma matricial
El sistema tiene infinitas soluciones: Esto sucede cuando el sistema equivalente de
ecuaciones que se obtiene a partir de la matriz escalonada o escalonada reducida tiene
más incógnitas que ecuaciones. En éste caso, la diferencia entre el número de incógnitas
y el número de ecuaciones da el número de valores arbitrarios del sistema.
Por ejemplo:
Nos quedaron dos ecuaciones y tres incógnitas, comenzamos por la última ecuación,a una
de las dos incógnitas le damos un valor arbitrario, usaremos las primeras letras del
abecedario en minúscula para valores arbitrarios.
Forma matricial
El sistema no tiene solución : Esto sucede cuando la última fila de la matriz escalonada
o escalonada reducida que no contiene solamente ceros, es equivalente a una ecuación de
la forma 0 =1.
n
x En éste caso se dice que el sistema de ecuaciones es inconsistente.
Por ejemplo:
Sistema homogéneo de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones lineales se llama homogéneo si en todas las ecuaciones el
término constante es igual a cero, por ejemplo
Al resolver un sistema homogéneo pueden ocurrir dos cosas
i. El sistema tiene solución única: 𝑥 = 0 , 𝑦 = 0 , 𝑧 = 0 solución trivial.
ii. El sistema tiene infinitas soluciones entre ellas la trivial.
𝐹 1
↔F 2
𝐹
2
− 2 𝐹
1
→𝐹
2
𝐹
3
−𝐹
2
→𝐹
3
Forma matricial
