Geometria diferencial de corbes i superf´ıcies
Examen final - 18 de gener de 2012.
Primera parte. (10p)
1. Teor´ıa (6p)
1. Define superficie regular. Enuncia el teorema del cambio de par´ametros.
2. Enuncia el teorema de la funci´on impl´ıcita en t´erminos de superficies regulares. Pon un
ejemplo.
3. Define superficie orientada. Define curvatura de Gauss y curvatura media. Define la
clasificaci´on de los puntos de la superficie en t´erminos de la curvatura de Gauss y de la
curvatura media.
4. Sean S⊂R3una superficie regular, N:S−→ R3una orientaci´on y p∈Sun punto de
S. Prueba que dpNes un endomorfismo sim´etrico de TpS. Define curvaturas principales
y direcciones principales de curvatura de Sen el punto p(prueba que la existencia de
ambos conceptos).
5. Sean S⊂R3una superficie regular, N:S−→ R3una orientaci´on, ϕ:U−→ Suna
carta de Syp∈ϕ(U). Define la segunda forma fundamental de Sen py sus coeficientes
en la carta ϕ. Expresa los coeficientes de la segunda forma fundamental a partir de la
carta ϕ(incluye la prueba).
6. Expresa la matriz de dpNen la base de TpSasociada a ϕa partir de los coeficientes de
la primera y de la segunda forma fundamentales (ecuaciones de Weingarten). Halla la
expresi´on en coordenadas de la curvatura de Gauss (incluye la prueba).
2.(4p) Sean
C1={(x, y, z)∈R3;y= 0, z = 1 },
C2={(x, y, z)∈R3;z= 0, y =x2+ 1 },
S={(x, y, z)∈R3;y= (x2+ 1)(1 −z)}
Sea Lla familia de rectas que se apoyan en C1yC2y son paralelas al plano x= 0.
1. Halla una curva parametrizada regular αcuya traza sea C2. Halla la curvatura y la
torsi´on de α.
2. Prueba que la superficie reglada ϕasociada a la familia Les
ϕ(u, v)=(u, v(u2+ 1),1−v),(u, v)∈R2,
3. Prueba que la traza de ϕes el conjunto S.
4. Prueba que Ses una superficie regular y que ϕes una carta global de S. Prueba que
las curvas coordenadas u= cte cortan ortogonalmente a la curva coordenada v= 0.
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