Geometria diferencial de corbes i superf´ıcies
Examen parcial - 6 de novembre de 2012.
1. (3p) Sigui f: (0,+∞)−→ Runa funci´o diferenciable tal que f0(t) = √1−e−2t. Siguin
α(t) = (e−t,0, f (t))
iϕla superf´ıcie parametritzada de revoluci´o generada per la corba αen girar al voltant de l’eix Oz.
(i) Proveu que α´es una corba parametritzada regular, parametritzada pel par`ametre longitud de
l’arc. Trobeu la longitud de αentre t= 1 i t= 2.
(ii) Trobeu la curvatura de α.
(iii) Trobeu els coeficients de la primera forma fonamental de ϕ.
2. (2p) Sigui ϕ(u, v) una superf´ıcie parametritzada regular tal que E= 1, F = 0, G =e−2u. Sigui
β(u) = ϕ(u, v(u)) una corba sobre ϕque forma un angle θconstant amb les corbes coordenades
v=v0.
(i) Demostreu que la celeritat |β0|de β´es constant.
(ii) Determineu la funci´o v(u).
3.(3p) Sigui
ϕ(u, v) = α(u) + v·w(u)
una superf´ıcie reglada cil´ındrica i regular.
(i) Trobeu una directriu 1-regular βde ϕtal que βsigui ortogonal a les generatrius de ϕ.
(ii) Proveu que la directriu βde l’apartat anterior ´es una corba plana.
(iii) Sigui γ=γ(s) una reparametritzaci´o pel par`ametre longitud de l’arc de la corba β. Proveu
que la reparametritzaci´o de ϕdefinida per
ψ(s, v) = γ(s) + v·w
|w|
´es una parametritzaci´o localment isom`etrica, ´es a dir, la matriu de la primera forma fona-
mental ´es la matriu ( 1 0
0 1 ).
4. (2p) Sigui
ϕ(u, v)=(Rcos u, veu+ cos u, R sin u).
(i) Proveu que ϕ´es una superf´ıcie reglada cil´ındrica i regular.
(ii) Trobeu una reparametritzaci´o de la superf´ıcie reglada ϕque sigui localment isom`etrica. (El
problema 3 en d´ona una indicaci´o.)
5. Teoria. (3p) (i) Sigui w:I−→ R3una aplicaci´o diferenciable.
1. Demostreu que el m`odul de w´es constant si i nom´es si hw, w0i= 0.
2. Suposem que w(u)6= 0,∀u∈I. Demostreu que w(u) ´es paral·lel a una direcci´o fixa si i nom´es
si w∧w0= 0.
3. Suposem que w(u)∧w0(u)6= 0,∀u∈I. Demostreu que w(u) ´es perpendicular a una direc-
ci´o fixa si i nom´es si (w, w0, w 00) = 0.
(ii) Definiu corba parametritzada 1-regular i la seva curvatura κ. Demostreu que una corba 1-regular
satisf`a κ= 0 si i nom´es si la tra¸ca de la corba est`a continguda en un recta.
(iii) Definiu corba parametrizada 2-regular i la seva torsi´o τ. Demostreu que una corba 2-regular
satisf`a τ= 0 si i nom´es si la tra¸ca de la corba est`a continguda en un pla.
1