Geometria Diferencial de Corbes i Superf´ıcies
Grau de Matem`atiques, 2014–15, Semestre de tardor
Examen final, Part II, Dimecres 14 de gener de 2015, 9:00-12:00
1. Considerem el seg¨uent subconjunt de R3:
S={(x, y, z)∈R3|z= cos(x2+y2)}.
(1) (1 punt) Demostreu que S´es una superf´ıcie regular.
(2) (1 punt) Calculeu la curvatura de Gauss de Sen tots els seus punts.
(3) (1 punt) Demostreu que (0,0,1) ´es un punt pla de S.
(4) (1 punt) Sigui N:S→R3un camp normal unitari, i sigui p= (x, y, z )∈Sun punt
qualsevol diferent de (0,0,1). Demostreu que el vector v:= (−y, x, 0) pertany a TpS.
Demostreu tamb´e que si dN(p)(v) = 0 aleshores el vector w:= (x, y, 0) pertany a TpS,ia
m´es a m´es dN(p)(w)= 0.
(5) (1 punt) Classifiqueu els punts de Sen punts en funci´o de si s´on plans, parab`olics, el·l´ıptics
o hiperb`olics.
2. (2 punts) Sigui I⊂Run interval obert i γ= (a, b) : I→R2una corba 1-regular que satisf`a
b(s)>0 per a tot s∈I. Considerem la superf´ıcie de rotaci´o associada a γ,
S={(a(u) cos v, a(u) sin v, b(u)) ∈R3|u∈I , v ∈R},
i suposem que S´es una superf´ıcie regular. Suposem tamb´e que existeix una carta local φ:U→S
(on U=∅) en la qual E= 1, F= 2 i G= 5. Demostreu que existeix un subinterval obert J⊂I
no buit tal que γ(J) ´es un segment rectilini. (Recordeu que la curvatura de Gauss de Sve donada
per l’expressi´o
κ=b′(a′b′′ −a′′b′)
ac4,
on c= ((a′)2+ (b′)2)1/2.)
3. (1 punt) Sigui I⊂Run interval obert i α:I→R3una corba 2-regular parametritzada per l’arc.
Demostreu que per a tot t∈Iexisteix un ϵ > 0 i una aplicaci´o diferenciable w: (t−ϵ, t +ϵ)→R3
de manera que se satisfan les dues propietats seg¨uents:
(1) la tra¸ca Sde l’aplicaci´o ϕ: (t−ϵ, t +ϵ)×(−ϵ, ϵ)→R3donada per
ϕ(u, v) = α(u) + vw(u)
´es una superf´ıcie regular;
(2) la corba γ: (t−ϵ, t +ϵ)→Sdefinida per
γ(s) = α(s) = ϕ(s, 0) per a tot s∈(t−ϵ, t +ϵ)
´es una geod`esica de S.
Teoria.
(1) (0,5 punts) Definiu carta local (de dimensi´o 2) d’un subconjunt de R3i superf´ıcie regular.
(2) (0,5 punts) Definiu els plans tangents d’una superf´ıcie regular dins R3.
(3) (0,5 punts) Definiu valor regular i enuncieu el teorema del valor regular.
(4) (0,5 punts) Doneu un exemple de funci´o f:R3→Ri nombre t∈Rque no sigui un valor
regular de fper`o tal que f−1(t) sigui una superf´ıcie regular dins R3.