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ETSAM 10 de enero de 2018
I. Cuestiones
- (1,5 ptos.) a. Sea f : ℜ^4 →ℜ^3 una aplicación lineal ¿puede ser inyectiva?, ¿puede ser sobreyectiva?, justifica la respuesta. No puede ser inyectiva, por ser aplicación todos los elementos del primerespacio, de dimensión 4, tienen que tener imagen y no puede ser única porque el espacio final tiene dimensión 3<4 y el núcleo tiene que tener como mínimodimensión 1. Si, puede ser sobreyectiva, si el núcleo tiene dimensión 1. b. S ea f : ℜ^2 →ℜ^2 un endomorfismo no inversible ¿puede tener autovalores imaginarios?
No, el polinomio característico es de grado 2, una solución estiene que ser real porque las soluciones imaginarias son pares de soluciones λ = 0 y la otra
conjugadas. c. S ea la recta de ecuaciones ⎩⎨⎧ yx^ += 2 z =^1 , dar una referencia el la que el giro de
amplitud π respecto de la recta dada tenga como ecuaciones:
z
y
x z
y
x
El origen será un punto sobre la recta, el primer vector de la base será el vectordirector de la recta (se mantiene invariante) y los otros dos estarán sobre un plano perpendicular a la misma (cambian de sentido), por ejemplo:
⎪⎩
z
y
x y
x z^12 2
1 , podemos tomar como nuevo origen el punto O ' =( 1 , 2 , 0 )
y como primer vector: e 1 '=( − 1 , 0 , 1 ). Plano perpendicular: ⎪
z
y
x x z 0
podemos tomar como segundo vector y tercer vector: e 2 '=( 1 , 0 , 1 )y e 3 '=( 0 , 1 , 0 ).
Si la ortonormalizamos será: O ' =( 1 , 2 , 0 ). e 1 ''= ⎜⎜⎝⎛ −^12 , 0 ,^12 ⎟⎟⎠⎞ e 2 ''= ⎜⎜⎝⎛^12 , 0 ,^12 ⎟⎟⎠⎞
y e 3 ''=( 0 , 1 , 0 ).
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- (1,5 ptos.) a. Definir sistema generador y base de un espacio vectorial.
Se dice que un sistema de vectores S = { u 1 , u 2 , u 3 .... un }es un sistema generador
de un subespacio L , si todos los vectores del subespacio se obtienen como
combinación lineal de los vectores del sistema: x ∈ L ⇔ x =∑^ n 1 λ i ui
Una base de un subespacio es un sistema generador libre.
Dado el subespacio vectorial L = {( a , b , c , d )/ a = c , b = d } ⊂ℜ^4 , ¿es el sistema
de vectores S ={( 1 , 0 , 1 , 0 ) (, 1 , 1 , 1 , 1 )(. 0 , 1 , 0 , 1 )} sistema generador de L ?, ¿Es base?
Si es sistema generador:
b
a
b
a a , b , a , b 1 , 0 , 1 , 0 1 , 1 , 1 , 1 0 , 1 , 0 , (^1) es un sistema compatible.
No es base, es ligado: ( 1 , 1 , 1 , 1 ) =( 1 , 0 , 1 , 0 ) +( 0 , 1 , 0 , 1 )
b. Demostrar que un sistema de vectores es ligado si y solo si uno de ellos escombinación lineal de los demás.
Sea el sistema: S ={ u 1 , u 2 , u 3 .... un }
• Es ligado ⇔ 0 =∑ 1^ n λ i ui con al menos un escalar no nulo, al no influir el
orden suponemos que es el primero λ 1 ≠ 0 , entonces podemos escribir:
u 1 =−λ^11 ∑^ n 2 λ i ui y u 1 es combinación lineal de los demás vectores del
- sistema.Supongamos que u 1 es combinación lineal de los demás vectores del
sistema: u 1 =∑ n 2 λ i ui ⇒ 0 =− u 1 +∑^ n 2 λ iui y la combinación lineal del
vector nulo respecto del sistema tiene al menos un escalar no nulo, − 1 ≠ 0. II. Problemas
1. (2,5 ptos.) Sea B = { e 1 , e 2 , e 3 } una base de ℜ 3 y f : ℜ^3 →ℜ^3 un endomorfismo
tal que el núcleo tiene como ecuaciones en la base dada: Kerf ≡ (^) ⎩⎨⎧ xx −+ yy =+ z 0 =^0 , el
subespacio propio asociado al autovalor 1 es: V ( ) 1 ≡ ⎩⎨⎧ xy +=^0 z = 0 y
f ( e 2 + e 3 )= e 1 + 2 e 2 + e 3_. Se pide:_
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2. (2 ptos.) { ,{ , En , el }} espacio afín euclídeo ℜ 3 con una referencia ortonormal
B = O e 1 e 2 e 3 , se consideran las siguientes transformaciones:
h homotecia de centro C ≡( 3 , 3 , 3 ) y razón k =^13
f transformación definida por ⎪ ⎩
z y
y z
x x ' 12 3
. Se pide: a. Hallar las expresiones matriciales de h y de f ,
z
y
x z
y h x
z
y
x z
y f x
¿Son isometrías? Justifica la respuesta. No las homotecias no mantienen las distancias y f tampoco:
b. Hallar el subespacio de puntos invariantes de f.
Un punto fijo: P ≡( 3 , 3 , 3 )
c. Hallar la expresión matricial de h o f.
z
y
x z
y h f x
o
Hallar el subespacio de puntos fijos de h o f. Plano de ecuación: y + z = 6 ¿Es h o funa isometría?
, si es isometría.
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En caso afirmativo, clasificarla. 1 0 1 0
− , indirecta, es una simetría respecto del plano y + z = 6.
3. (1,5 { ptos.) , { , En }} el plano afín euclídeo ℜ 2 con una referencia ortonormal
dada es:B^ =^ O ec^1^ ≡ e 22 x, se considera la cónica cuya ecuación respecto de la referencia + 2 y + 2 xy = 0 ( 2 2 2 0 c ≡ x 1 + x 2 + x 1 x 2 = ), se pide: a. Clasificar la cónica, hallar el centro, los ejes y las asíntotas si tiene. = 2 ≠ 0 ⇒ 1 1 0
cónica regular, 10 01 = − 1 < 0 ⇒hipérbola. C ≡( 1 , 1 ,− 1 ),
ejes son: x + y + 2 t = 0 y x − y = 0 ,tiene asíntotas: x + t = 0 y y + t = 0 b. Hallar el diámetro conjugado con el de ecuación − x + y = 0 ( − x 1 (^) + x 2 = 0 )
El punto del infinito del diámetro dado es ( 1 , 1 , 0 ), luego el eje x + y + 2 t = 0
es el diámetro pedido.
4. (1 ptos.) { ,{ , En } } el plano afín euclídeo ℜ 2 con una referencia ortonormal
Bc ≡= 4 Ox (^2) + e (^1) y e (^22) − 4 , se pide determinar la parábola regular que es tangente a la cónica = 0 ( 4 4 2 0
c ≡ x 12 + x 22 − x 0 = ) en el punto propio P =( 0 , 2 ) sabiendo
quer ≡ (^) ypasa − 1 = (^) 0 por( los puntos 0 de intersección de la cónica dada con la recta r ≡ x 2 − x 0 = ).
La tangente es: ( )
x y y t t
⎜⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎟=^ =
y la cónica c pertenece al haz
que será λ( y − t ) ( y − 2 t ) + μ(4 x^2 + y^2^ − 4 t 2 ) = 0 ,
t
y
x x y t
Serán parábolas para:^40 μ^ λ+^0 μ= 0 ⇒ ⎩⎨⎧λμ==−^0 μ, para μ = 0 tenemos el par de
rectas paralelas utilizado en el haz y la parábola no degenerada será:,
− t
y
x x y t , 4 x^2 + 3 yt − 6 t^2 = 0
