Geometría 11 2017, Exámenes de Geometría

¡Descarga Geometría 11 2017 y más Exámenes en PDF de Geometría solo en Docsity!

Geometria diferencial de corbes ¡ superfícies (grup semestre de tardor 2017) 6-11-2017 Geometria diferencial de corbes i superfícies. Examen parcial 6-11-2017 1. (4 punts) Sigui S=((2,y,2) ER? | 24+y(2-1)=0). a) Proveu que S és una superfície regular de ¡R3, Proveu que (1R?, ), on p és Paplicació e: RR, p(u,v) = (uv, (1 — 4), és una parametrització global de S. b) Considerant la corba a de R? , a(v) = (v*,v), v € R. Proveu que la corba P de R?, donada per f£ = po a és una corba 1-regular de R3. c) Si denotem per kg(») la curvatura de $ en el punt f(v), i denotem per 7g(v, la torsió de 8 en el punt B(v). Proveu que kg(y, 4 O si i només si v 4 0. Proveu que si v 4 0 llavors 79») 4 0. d) Si denotem per b(v) i per n(v) els vectors binormal i normal a la corba f en el punt B(v), per a v 4 0. Trobeu lim,-,o b(v), i trobeu també lim,.,o n(v). 2. (3 punts) Sigui a(s) (s € 1), I 1,1), una corba 2-regular de RR parametritzada per Parc, tal que 7(s) > 0,Vs E L. mil Definim . Bls)= / 7(u) -n(u)du. 0 a) Trobeu la curvatura i el triedre de Frenet de la corba f en funció del triedre de Frenet, la curvatura i la torsió de la corba a. b) Proveu que 8 és una corba esférica, és a dir está situada sobre d'una superfície esférica. c) Proveu que la corba $ és plana si i només si a: és una hélix generalitzada. Geometria diferencial de corbes i superfícies (grup semestre de tardor 2017) 6-11-2017 3. TEORIA (3 punts) a) Expliqueu com es defincix el triedre de Frenet d'una corba 2-regular a: : ] —3 R? parametritzada per Parc. Enuncieu el teorema fonamental de la teoría local de corbes de Pespai. b) Donen la definició de superfície regular. Enuncieu el teorema del valor regular per a superfícies de IR?.