Geometría Lineal, Apuntes de Geometría

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APUNTES DE GEOMETR´IA LINEAL

FRANCISCO JAVIER GALLEGO RODRIGO

Versi´on preliminar

26 de julio de 2.

1

2 FRANCISCO JAVIER GALLEGO RODRIGO

TEMA 1: REPASO DE GEOMETR´IA AF´IN

1. El espacio af´ın

¿Qu´e es un espacio af´ın? Antes de dar una definici´on formal, damos una idea intuitiva. El plano af´ın es... la pizarra (que se prolonga hacia el infinito en dos direcciones). ¿Qu´e es el espacio af´ın (tridimensional)? El aula (que se prolonga hacia el infinito en tres direcciones). La pizarra o el aula est´an formadas por puntos. Dada una pareja ordenada de puntos podemos trazar el segmento orientado limitado por dichos puntos. Es lo que llamamos un vector fijo, que tiene un principio y un fin. Si consideramos todos los vectores fijos que se “originan” a partir de los puntos del plano (la pizarra) o del espacio (el aula) e identificamos entre s´ı todos aquellos que tienen la misma direcci´on (es decir, son paralelos), longitud y sentido (de forma “pr´actica” esto se puede hacer as´ı: identificamos los vectores −→ p 1 p 2 y

−→ q 1 q 2 si y solo si al trasladar paralelamente a s´ı mismo

−→ q 1 q 2 de forma que q 1 coincida con p 1 , q 2 coincide con p 2 ), obtenemos un espacio vectorial (de dimensi´on 2 en el caso del plano y de dimensi´on 3 en el caso del espacio tridimensional; a los elementos de este espacio se les denomina vectores libres). Por ejemplo, la suma de dos vectores libres representados respectivamente por los vectores fijos −→ p 1 p 2 y −→ q 1 q 2 ser´ıa un vector libre representado por el

vector fijo

−→ p 1 q 2 ′ donde q 2 ′ es el fin del vector fijo que se obtiene al trasladar paralelamente

el vector

−→ q 1 q 2 a un vector que comience en p 2.

Por tanto, cuando defininamos de forma rigurosa lo que es un espacio af´ın parece claro que tendremos que hablar por una parte de un conjunto de puntos, por otra parte de un espacio vectorial asociado a ese conjunto de puntos y por ´ultimo de c´omo se relaciona el conjunto de puntos y el espacio vectorial.

Definici´on 1.1. (Definici´on formal de espacio af´ın). Un espacio af´ın sobre un cuerpo k es una terna (A, V, ϕ) donde A es un conjunto no vac´ıo, V es un espacio vectorial sobre k y ϕ es una aplicaci´on ϕ : A × A −→ V (p, q) 7 → ϕ(p, q) :=

→ pq

tal que,

(1) para cada p ∈ A, la aplicaci´on ϕp : A −→ V q 7 →

→ pq es una biyecci´on, y (2) para cualesquiera p, q, r ∈ A, se tiene → pq + → qr = → pr.

A los elementos de A les llamaremos puntos del espacio af´ın y a V lo llamaremos espacio vectorial asociado al espacio af´ın. A veces abreviaremos y hablaremos solo de A al referirnos al espacio af´ın, pero siempre entendiendo que el espacio af´ın no es solamente A sino la terna (A, V, ϕ). Decimos que (A, V, ϕ) (o simplemente A) tiene dimensi´on n si n = dimV. A los espacios afines de dimensi´on 1 les llamaremos rectas afines y a los espacios afines de dimensi´on 2 les llamaremos planos afines.

Observaci´on 1.2. (sobre el cuerpo base): En la definici´on anterior hemos hablado de es- pacios afines sobre un cuerpo k. Desde un punto de vista geom´etrico, el cuerpo “natural” sobre el que modelar nuestros espacios afines es desde luego el cuerpo R de los n´umeros reales (piensa por ejemplo que R se suele representar como la “recta real”). A lo largo del

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Ejemplo 1.8. Sea V un espacio vectorial sobre k. Se puede dotar a V de estructura de espacio af´ın considerando (V, V, ϕ), donde

ϕ : V × V −→ V (v 1 , v 2 ) 7 → v 2 − v 1

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2. Subespacios afines

En la asignatura de Algebra Lineal, casi desde el comienzo, ya os hab´´ eis encontrado con espacios afines. En efecto, imaginemos en el espacio vectorial est´andar An k el conjunto de soluciones de un sistema compatible de ecuaciones lineales

a 11 x 1 +a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = b 2 .. .

am 1 x 1 +am 2 x 2 + · · · + amnxn = bm.

Si el sistema de ecuaciones (2.0.1) es homog´eneo, su conjunto de soluciones tiene estructura de espacio vectorial sobre k (es un subespacio vectorial de kn). En cambio, si el sistema no es homog´eneo, el conjunto de soluciones no es un subespacio vectorial (por ejemplo, no contiene al vector (0,... , 0), que es una condici´on necesaria para que sea subespacio vectorial). Entonces cabe preguntarse qu´e estructura tiene el espacio de soluciones de un sistema no homog´eneo, ya que parece claro que alg´un tipo de estructura tiene. Por ejem- plo parece bastante intuitivo hablar de su dimensi´on, que de manera informal podr´ıamos definir como el n´umero m´ınimo de par´ametros que nos hacen falta para expresar de manera expl´ıcita dicho conjunto (el n´umero m´ınimo de par´ametros que aparecen cuando resolve- mos el sistema). La respuesta a nuestra pregunta de qu´e estructura tiene el conjunto de soluciones S de (2.0.1) es, como vemos en el ejercicio siguiente, que S es un espacio af´ın cuyo espacio vectorial asociado es el espacio de soluciones de su sistema homog´eneo asociado, que es

a 11 x 1 +a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = 0 a 21 x 1 +a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = 0 .. .

am 1 x 1 +am 2 x 2 + · · · + amnxn = 0.

Ejercicio 2.1. Demuestra usando la definici´on de espacio af´ın que, si (2.0.1) es un sistema compatible, el conjunto de soluciones de (2.0.1) es en efecto un espacio af´ın. Indicaci´on: usa la aplicaci´on ϕ del espacio af´ın est´andar (kn, kn, ϕ).

Recordemos que kn^ no es solo un espacio vectorial, sino que tambi´en se le puede dotar de estructura de espacio af´ın. Si nos paramos a pensarlo un poco nos daremos cuenta de que la estructura de espacio af´ın que hemos dado al conjunto de soluciones de (2.0.1) es la “heredada” de la estructura de espacio af´ın de kn. Es decir, el conjunto de soluciones de (2.0.1) es un subconjunto del espacio af´ın kn^ que tiene a su vez una estructura de espacio af´ın, compatible con la estructura de espacio af´ın de kn. Por otra parte, recuerda que, dada una soluci´on particular p = (x 1 ,... , xn) de (2.0.1), un elemento q de kn^ es una soluci´on de (2.0.1) si y solo si existe una soluci´on w de (2.0.2) tal que q = p + w. Por tanto, una manera de describir geom´etricamente el conjunto de soluciones de (2.0.1) es la siguiente: si W es el conjunto de soluciones de (2.0.2) y p es una soluci´on particular de (2.0.1), el conjunto de soluciones de (2.0.1) es p + W := {p + w | w ∈ W }, es decir, el subconjunto de kn^ que obtenemos al “trasladar paralelamente a s´ı mismo” el subespacio vectorial W de (0,... , 0) (que pertenece a W ) a p (como al hacer esto (0,... , 0) se convierte en p, p + W no tiene por qu´e contener a (0,... , 0)). Todo esto motiva la siguiente definici´on:

Definici´on 2.2. Sea (A, V, ϕ) un espacio af´ın, sea p un punto de A y sea W un subespacio vectorial de V. Llamamos subespacio af´ın paralelo o con direcci´on W que pasa por p y lo

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Ejercicio 2.9. (1) Demuestra, por medio de alg´un ejemplo, que la uni´on de dos subes- pacios afines no es en general un subespacio af´ın. (2) Sea A un espacio af´ın sobre un cuerpo k 6 = Z 2. Demuestra, que la condici´on necesaria y suficiente para que la uni´on de dos subespacios afines A 1 y A 2 sea un subespacio af´ın es que A 1 ⊆ A 2 o A 2 ⊆ A 1.

Como acabamos de ver en el ejercicio anterior la uni´on de dos subespacios afines A 1 y A 2 no es en general un subespacio af´ın. Lo que s´ı tiene sentido es considerar el subespacio af´ın “m´as peque˜no” que contiene a A 1 y a A 2 (o lo que es lo mismo, a la uni´on de ambos):

Proposici´on 2.10. Sean A 1 = p 1 + W 1 y A 2 = p 2 + W 2 dos subespacios afines de un espacio af´ın A. El subespacio af´ın A′^ = p 1 + (W 1 + W 2 + L( → p 1 p 2 )) es el subespacio af´ın “m´as peque˜no” que contiene a A 1 ∪ A 2 , en el sentido de que si A′′^ es otro subespacio af´ın que contiene a A 1 ∪ A 2 , se tiene que A′^ ⊆ A′′.

Demostraci´on. Vemos que A 1 ∪ A 2 ⊆ A′. En efecto, es claro que A 1 ⊂ A′. Por otra parte, si q ∈ A 2 , q se puede escribir como q = p 2 + w 2 , para alg´un w 2 ∈ W 2. En ese caso q = p 1 +

→ p 1 p 2 + w 2 ∈ p 1 + (W 2 + L(

→ p 1 p 2 )) ⊆ A′. Vemos ahora que si A 1 ∪ A 2 ⊆ A′′, entonces A′^ ⊆ A′′. Es claro que p 1 , p 2 ∈ A′′, por lo que podemos escribir A′′^ = p 1 + W ′′^ = p 2 + W ′′, donde W ′′^ es la direcci´on de A′′. Como A 1 ⊆ A′′, W 1 ⊆ W ′′^ y como A 2 ⊆ A′′, W 2 ⊆ W ′′. Adem´as, como p 1 , p 2 ∈ A′′,

→ p 1 p 2 ∈ W ′′. Por ello A′^ = p 1 +(W 1 +W 2 +L(

→ p 1 p 2 )) ⊆ p 1 +W ′′^ = A′′. 

La proposici´on anterior motiva la siguiente definici´on:

Definici´on 2.11. Sean A 1 = p 1 + W 1 y A 2 = p 2 + W 2 dos subespacios afines de un espacio af´ın A. Entonces A′^ = p 1 + (W 1 + W 2 + L( → p 1 p 2 )) se llama el subespacio af´ın generado por A 1 y A 2 y se denota < A 1 , A 2 >. En general, si S es un subconjunto no vac´ıo de A, < S > es el subespacio af´ın m´as peque˜no entre los que contienen a S, que llamamos el subespacio af´ın generado por S.

Ejercicio 2.12. Demuestra que el subespacio af´ın m´as peque˜no entre los que contienen a un subconjunto S de A existe y es ´unico (indicaci´on: considera la intersecci´on de todos los subespacios afines de A que contienen a S.)

Observaci´on 2.13. Consideramos dos subespacios afines A 1 = p 1 + W 1 y A 2 = p 2 + W 2.

(1) Del ejercicio 2.3 se sigue que < A 1 , A 2 >= p + (W 1 + W 2 + L(

→ p 1 p 2 )) para cualquier p ∈ A 1 ∪ A 2. (2) Es claro que < A 1 , A 2 >=< A 1 ∪ A 2 >.

Ejercicio 2.14. Sean p 1 , · · · , pk puntos de un espacio af´ın A.

(1) Demuestra que si p 1 y p 2 son puntos distintos, entonces < p 1 , p 2 > es una recta af´ın de A. (2) Demuestra que si p 1 , p 2 y p 3 son puntos no alineados (es decir, no contenidos en nunguna recta), < p 1 , p 2 , p 3 > es un plano af´ın de A. (3) Demuestra que el subespacio generado por p 1 , p 2 ,... , pk es < p 1 , p 2 ,... , pk >= p 1 + L(

→ p 1 p 2 ,... ,

→ p 1 pk).

Definici´on 2.15. Decimos que los puntos p 1 , p 2 ,... , pk de un espacio af´ın A son puntos af´ınmente independientes si el subespacio af´ın < p 1 , p 2 ,... , pk > generado por ellos tiene dimensi´on k − 1.

Ejercicio 2.16. Sea (A, V, ϕ) un espacio af´ın.

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(1) Sean p 1 , p 2 ,... , pk ∈ A. Demuestra que p 1 , p 2 ,... , pk son af´ınmente independientes si y solo si los vectores → p 1 p 2 ,... , → p 1 pk de V son linealmente independientes. (2) Si (A, V, ϕ) tiene dimensi´on n, demuestra que existen conjuntos {p 1 , p 2 ,... , pk} de puntos (distintos) af´ınmente independientes si y solo si 1 ≤ k ≤ n + 1.

Ejercicio 2.17. Estudia si los siguientes puntos de A^3 R son af´ınmente independientes:

(1) {(1, − 1 , 2), (2, 0 , 2), (2, − 2 , 2), (1, − 1 , 3)}; (2) {(1, 2 , 3), (− 1 , 3 , 1), (7, − 1 , 9), (0, 1 , 1)}; (3) {(0, 1 , 1), (1, 1 , 2), (1, 1 , 0), (0, 2 , 1)}.

Para finalizar esta secci´on vemos c´omo podemos describir usando ecuaciones los subespa- cios afines de An k. En realidad, todo subespacio af´ın A′^ de An k es el conjunto de soluciones de un sistema compatible de ecuaciones lineales como (2.0.1). Decimos que las ecuaciones de dicho sistema son unas ecuaciones impl´ıcitas de A′. Por otra parte, si describimos de forma expl´ıcita los puntos de A′^ como el conjunto de soluciones de un sistema compatible de ecuaciones lineales como (2.0.1), expresado de forma param´etrica, diremos que esas ecua- ciones son unas ecuaciones param´etricas de A′. La descripci´on de los subespacios afines por medio de ecuaciones facilita su manejo; nos permite por ejemplo ver m´as f´acilmente si un punto pertenece a un subespacio o expresar m´as f´acilmente la intersecci´on de subes- pacios o describir el subespacio generado por un subconjunto. En el siguiente ejercicio vemos con un ejemplo concreto c´omo se obtienen ecuaciones impl´ıcitas y param´etricas de un subespacio af´ın. Tambi´en vemos que las ecuaciones de un subespacio af´ın no son ´unicas.

Ejercicio 2.18. Consideramos en el espacio af´ın est´andar A^4 k el subespacio af´ın generado por los puntos (1, 0 , 1 , 0), (1, − 1 , 2 , 0) y (0, 1 , 1 , 1).

(1) ¿Cu´al es la dimensi´on de A′? (2) Encuentra al menos dos conjuntos de ecuaciones param´etricas de A′. (3) Encuentra al menos dos conjuntos de ecuaciones impl´ıcitas de A′.

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(1) Sea f una aplicaci´on entre A 1 y A 2. Si existe o ∈ A 1 tal que la aplicaci´on f ′^ : V 1 −→ V 2 → op 7 →

→ f (o)f (p) es lineal, entonces f es una aplicaci´on af´ın y f ′^ es su aplicaci´on lineal asociada. (2) Sea f una aplicaci´on af´ın entre A 1 y A 2 , sea

→ f su aplicaci´on lineal asociada y sea o ∈ A 1. Para todo p ∈ A 1 se tiene que f (p) = f (o) +

→ f (

→ op). De igual forma, para todo v ∈ V 1 , f (o + v) = f (o) +

→ f (v). Por tanto, f queda determinada de forma ´unica si se conoce

→ f y la imagen por f de un punto de A 1. (3) Sea p 1 ∈ A 1 , p 2 ∈ A 2 y sea f ′^ : V 1 −→ V 2 una aplicaci´on lineal. Existe una ´unica aplicaci´on af´ın f : A 1 −→ A 2 tal que (i) f (p 1 ) = p 2 ; y (ii) la aplicaci´on lineal asociada de f sea

→ f = f ′. (4) Sea p 1 + W 1 un subespacio af´ın de (A 1 , V 1 , ϕ 1 ), sea f una aplicaci´on af´ın entre A 1 y A 2 y sea

→ f su aplicaci´on lineal asociada. Entonces f (p 1 + W 1 ) = f (p 1 ) +

→ f (W 1 ). Por ello, (a) las aplicaciones afines transforman subespacios afines en subespacios afines; (b) las aplicaciones afines transforman subespacios afines paralelos en subespacios afines paralelos; (c) las aplicaciones afines transforman puntos alineados en puntos alineados.

Demostraci´on. Dejamos la demostraci´on de (1) como un ejercicio te´orico sencillo. (2) es

simplemente la igualdad

→ f (

→ op) =

−→ f (o)f (p) expresada de otro modo. En (3), para demostrar la existencia consideramos la aplicaci´on f : A 1 −→ A 2 definida as´ı: para cualquier p ∈ A 1 ,

f (p) := p 2 + f ′(

→ p 1 p). En ese caso, si p, q ∈ A 1 ,

→ f (p)f (q) es el vector que comienza en p 2 + f ′( → p 1 p) y termina en p 2 + f ′( → p 1 q), es decir, el vector → p 2 p 2 + f ′( → p 1 q) − f ′( → p 1 p) y, como

f ′^ es lineal, este ´ultimo es igual a f ′( → p 1 q − → p 1 p) = f ′( → pp 1 + → p 1 q) = f ′( → pq). Por tanto f es

una aplicaci´on af´ın y su aplicaci´on lineal asociada es f ′. Adem´as f (p 1 ) = p 2 + f ′(

→ p 1 p 1 ) =

p 2 + f ′(

→ 0 ) = p 2. La unicidad se sigue de (2). (4) se sigue de manera inmediata de (2). En cuanto a (a), (b) y (c), son corolarios inmediatos de (4). 

Ejemplos 3.6. En A^2 R consideramos los puntos p 1 = (0, 0), p 2 = (1, 0), p 3 = (1, 1) y p 4 = (2, 1), los puntos p′ 1 = (0, 0), p′ 2 = (1, 0), p′ 3 = (0, −1) y p′ 4 = (2, −1) y los puntos q = (2, 0) y q′^ = (2, 4).

(1) La aplicaci´on f de A^2 R en A^2 R tal que f (pi) = p′ i para todo i = 1,... , 4 no es una aplicaci´on af´ın porque si lo fuera transformar´ıa la recta < p 1 , p 3 > en la recta < p′ 1 , p′ 3 > y la recta < p 2 , p 4 > en la recta < p′ 2 , p′ 4 >, pero las rectas < p 2 , p 4 > y < p′ 2 , p′ 4 > no son paralelas. (2) La aplicaci´on g de A^2 R en A^2 R que cumple f ((x, y)) = (x, x^2 ) no es una aplicaci´on af´ın pues transforma los puntos p 1 , p 2 y q, que est´an alineados, en los puntos p 1 , p 3 y q′, que no lo est´an.

Investigamos ahora c´omo se comporta la composici´on de aplicaciones afines:

Proposici´on 3.7. Sean A 1 , A 2 y A 3 tres espacios afines, sean g : A 1 −→ A 2 y h : A 2 −→

A 3 dos aplicaciones afines y sean

→ g y

→ h sus aplicaciones lineales asociadas respectivas. La

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composici´on h ◦ g : A 1 −→ A 3 es una aplicaci´on af´ın cuya aplicaci´on lineal asociada es → h ◦

→ g.

Demostraci´on. Se sigue de forma directa de la definici´on de aplicaci´on af´ın, aplicaci´on lineal asociada y del hecho de que g y h sean aplicaciones afines. 

Traslaciones

Vemos a continuaci´on un ejemplo importante de aplicaciones afines de un espacio en s´ı mismo, las traslaciones:

Ejemplo 3.8. (traslaci´on) Sea (A, V, ϕ) un espacio af´ın y sea v ∈ V. La aplicaci´on

tv : A −→ A p 7 → p + v

es una aplicaci´on af´ın y su aplicaci´on lineal asociada es la identidad. A tv la llamamos la traslaci´on de vector v.

Observaci´on 3.9. Se tiene tv ◦tw = tv+w. En particular una traslaci´on tv es una aplicaci´on biyectiva (de forma m´as precisa, un isomorfismo af´ın; v´ease la definici´on 3.15) y t− v 1 = t−v. Esto implica que el conjunto formado por las traslaciones de un espacio af´ın (A, V, ϕ) es un grupo abeliano isomorfo a (V, +)

La proposici´on 3.5 sugiere que la aplicaci´on lineal asociada proporciona mucha informaci´on sobre la aplicaci´on af´ın. Un ejemplo de esto es el siguiente resultado, donde se caracteriza a las traslaciones a partir de su aplicaci´on lineal asociada.

Proposici´on 3.10. Una aplicaci´on af´ın de un espacio en s´ı mismo es una traslaci´on si y solo si su aplicaci´on lineal asociada es la identidad.

Demostraci´on. Que la aplicaci´on lineal asociada a una traslaci´on es la identidad es claro (y adem´as es necesario comprobarlo para demostrar que una traslaci´on es una aplicaci´on af´ın). En efecto, basta comprobar que, para todo p, q ∈ A, el vector que comienza en tv(p)

y termina en tv(q) es

→ pq. Por la definici´on de tv, el vector que comienza en tv(p) y termina

en tv(q) es

→ (p + v)(q + v) y este ´ultimo es, seg´un el ejercicio 1.5 (4), igual a → pq + v − v = → pq. Para ver el rec´ıproco, consideremos un espacio af´ın (A, V, ϕ) y una aplicaci´on af´ın f de

A en A, tal que su aplicaci´on lineal asociada sea

→ f = idV. Sea p ∈ A y sea v =

→ pf (p).

Entonces la proposici´on 3.5 (2) implica que para todo q ∈ A, f (q) = f (p) +

→ pq. La ley del paralelogramo implica que f (q) = q + v. 

Observaci´on 3.11. (estructura de una aplicaci´on af´ın) Sean (A, V, ϕ) y (A′, V ′, ϕ′) dos espacios afines y sea f : A −→ A′^ una aplicaci´on af´ın. El objetivo de esta observaci´on es mostrar c´omo podemos “interpretar” f como la composici´on de una aplicaci´on lineal de V a V ′^ y una traslaci´on de A′^ (hemos puesto interpretar entre comillas porque realmente no es correcto o, m´as bien, no tiene sentido, componer una aplicaci´on lineal de V a V ′^ con una aplicaci´on af´ın de A′^ en A′).

Para ello, fijamos un punto o ∈ A y un punto o′^ ∈ A′. Esto nos permite “ver” A y A′ como espacios vectoriales, ya que ϕo y ϕ′ o′ nos proporcionan sendas biyecciones de A y A′

a V y V ′^ respectivamente (recuerda la observaci´on 1.3). Definimos el vector v =

−→ o′f (o). Definimos g = t−v ◦ f , que es una aplicaci´on af´ın por la proposici´on 3.7. En ese caso f = tv ◦ g. Estudiamos ahora c´omo es g. Usando las identificaciones de A con V y de A′

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tampoco es una aplicaci´on af´ın (¡piensa por qu´e!). En general, si se nos da una aplicaci´on entre dos espacios afines lo m´as probable es que esta no sea una aplicaci´on af´ın.

Isomorfismos afines

Una aplicaci´on af´ın no conserva necesariamente la dimensi´on de los subespacios afines. El ejemplo m´as sencillo de esto es si consideramos una aplicaci´on constante desde un espacio af´ın de dimensi´on positiva. De la proposici´on 3.5 (3) se deduce que una condici´on necesaria y suficiente para que una aplicaci´on af´ın conserve la dimensi´on de los subespacios afines es

que

→ f sea inyectiva (pi´ensalo, es solo ´algebra lineal). Como comentamos antes, la aplicaci´on

lineal asociada

→ f de una aplicaci´on af´ın f nos dice mucho sobre f. Veremos ahora que

→ f es inyectiva si y solo si f es inyectiva; no solo eso, se da tambi´en el resultado an´alogo para aplicaciones sobreyectivas y biyectivas:

Proposici´on 3.13. Sea f una aplicaci´on af´ın entre dos espacios afines (A 1 , V 1 , ϕ 1 ) y

(A 2 , V 2 , ϕ 2 ) y sea

→ f su aplicaci´on lineal asociada.

(1) f es inyectiva si y solo si

→ f es inyectiva; (2) f es sobreyectiva si y solo si

→ f es sobreyectiva; (3) f es biyectiva si y solo si

→ f es biyectiva; (4) si A 1 y A 2 tienen la misma dimensi´on (por ejemplo, si A 1 = A 2 ), f es inyectiva si y solo si f es biyectiva si y solo si f es sobreyectiva.

Demostraci´on. Demostramos primero (1). Supongamos primero que f es inyectiva y

probemos que en ese caso

→ f tambi´en lo es. Sean v 1 y v 1 ′ dos vectores de V 1 , sea p ∈ A 1

y sean p 1 = p + v 1 y p′ 1 = p + v′ 1. Supongamos que

→ f (v 1 ) =

→ f (v′ 1 ). Entonces f (p 1 ) =

f (p) +

→ f (v 1 ) = f (p) +

→ f (v 1 ′) = f (p′ 1 ) y como f es inyectiva, p 1 = p′ 1. Como (ϕ 1 )p es una

biyecci´on entre A 1 y V 1 , se sigue que v 1 = v′ 1. Ahora suponemos que

→ f es inyectiva. Sean

q 1 , q′ 1 ∈ A tales que f (q 1 ) = f (q 1 ′). Entonces

→ (^0) V 2 =

→ f (q 1 )f (q 1 ′) =

→ f (

→ q 1 q′ 1 ), por lo que, al ser → f inyectiva,

→ q 1 q′ 1 =

→ (^0) V 1. Entonces, se sigue del ejercicio 1.5 (1) que q 1 = q 1 ′.

La afirmaci´on (2) se sigue de la proposici´on 3.5 (4).

La afirmaci´on (3) se sigue de (1) y (2).

La afirmaci´on (4) se sigue de (1), (2) y (3) y del resultado an´alogo de ´algebra lineal. 

Corolario 3.14. Una aplicaci´on af´ın inyectiva transforma puntos af´ınmente independi- entes en puntos af´ınmente independientes.

Demostraci´on. Sea f una aplicaci´on af´ın entre dos espacios afines (A 1 , V 1 , ϕ 1 ) y (A 2 , V 2 , ϕ 2 ). Sean p 1 ,... , pk puntos de A 1 af´ınmente independientes. En ese caso se sigue del ejerci- cio 2.16, (1) que los vectores

→ p 1 p 2 ,... ,

→ p 1 pk de V 1 son linealmente independientes. Si f es

inyectiva, se sigue de la proposici´on 3.13, (1) que

→ f es inyectiva, por lo que

→ f (

→ p 1 p 2 ),... , → f ( → p 1 pk), o lo que es lo mismo,

→ f (p 1 )f (p 2 ),... ,

→ f (p 1 )f (pk), son linealmente independientes. De nuevo el ejercicio 2.16, (1) implica que f (p 1 ),... , f (pk) son puntos af´ınmente indepen- dientes de A 2. 

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Definici´on 3.15. (1) A una aplicaci´on af´ın biyectiva la llamamos isomorfismo af´ın. (2) Si existe un isomorfismo af´ın entre dos espacios afines A 1 y A 2 , decimos que A 1 y A 2 son isomorfos.

Observaci´on 3.16. Es un resultado conocido de ´algebra lineal que dos espacios vectoriales son isomorfos (es decir, existe un isomorfismo de espacios vectoriales entre ellos) si y solo si tienen la misma dimensi´on. Esto y las proposiciones 3.5, (3) y 3.13 nos dicen que dos espacios afines son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensi´on.

Investigamos ahora c´omo se comportan las inversas de las aplicaciones afines biyectivas:

Proposici´on 3.17. (1) El inverso de un isomorfismo af´ın es una aplicaci´on af´ın, de hecho, es de nuevo un isomorfismo af´ın. En particular, la inversa de una isomor- fismo af´ın es de nuevo una isomorfismo af´ın. (2) El conjunto de los isomorfismos afines de un espacio af´ın en s´ı mismo es un grupo, en general no abeliano, con respecto a la composici´on de aplicaciones.

Demostraci´on. La dejamos como un (sencillo) ejercicio te´orico. 

M´as ejemplos

De los ejemplos que hemos visto hasta ahora, es claro que la identidad y las traslaciones son ejemplos de isomorfismos afines de un espacio af´ın en s´ı mismo. Obviamente, una aplicaci´on constante no es inyectiva salvo que el espacio de partida sea un punto (ya lo vimos antes cuando observamos que en general las aplicaciones afines no conservaban las dimensiones). Vemos a continuaci´on m´as ejemplos de aplicaciones afines y de isomorfismos afines.

Ejemplo 3.18. Sean V 1 y V 2 dos espacios vectoriales y sea f una aplicaci´on lineal de V 1 a V 2. Entonces f da lugar de manera obvia a una aplicaci´on af´ın entre los espacios afines que asociamos a V 1 y V 2 (v´ease el ejemplo 1.8).

Ejemplo 3.19. (homotecia) Sea (A, V, ϕ) un espacio af´ın, sea λ ∈ k r { 0 , 1 } y sea o ∈ A. La aplicaci´on f de A en A que deja o fijo (es decir, f (o) = o) y que tiene por aplicaci´on lineal asociada una homotecia vectorial de raz´on λ es un isomorfismo af´ın de A en s´ı mismo que llamamos homotecia af´ın de raz´on λ y centro o. Equivalentemente, h es una homotecia de de raz´on λ y centro o si, para todo p ∈ A, h(p) = o + λ ·

→ op.

Proposici´on 3.20. (1) Una homotecia tiene un ´unico punto fijo (el punto al que hemos llamado centro). (2) Una aplicaci´on af´ın de un espacio af´ın en s´ı mismo es una homotecia af´ın si y solo si su aplicaci´on lineal asociada es una homotecia vectorial.

Demostraci´on. (1) Sea h una homotecia de raz´on λ, sea o ∈ A tal que h(o) = o y sea

p ∈ A. Supongamos que h(p) = p. Entonces p = h(p) = h(o) + λ ·

→ op = o + λ ·

→ op, de donde

(1 − λ) ·

→ op =

→

1. Como λ 6 = 1,

→ op =

→ 0 , que equivale a o = p.

(2) La aplicaci´on lineal asociada de una homotecia es una homotecia vectorial por la

definici´on de homotecia. Rec´ıprocamente, si la aplicaci´on lineal asociada

→ h de una apli- caci´on af´ın h es una homotecia vectorial (de raz´on λ 6 = 0, 1) solo nos falta comprobar que h tiene alg´un punto fijo (que, por (1), a posteriori ser´a ´unico y el centro de h). Esto lo veremos en el ejercicio 4.16 (2), cuando hayamos ya hablado de la matriz asociada a una aplicaci´on af´ın. 

16 FRANCISCO JAVIER GALLEGO RODRIGO

es la proyecci´on vectorial sobre W paralelamente a U , que es una aplicaci´on lineal. Por tanto, π es en efecto una aplicaci´on af´ın y la aplicaci´on lineal asociada a π es la proyecci´on vectorial sobre W paralelamente a U. 

Definici´on 3.26. (proyecci´on) A la aplicaci´on π de la proposici´on 3.25 la llamamos proyecci´on (af´ın) sobre L con direcci´on U (o paralelamente a U ).

Proposici´on 3.27. Una aplicaci´on af´ın π de un espacio af´ın en s´ı mismo es una proyecci´on si y solo si π^2 = π.

Demostraci´on. Ejercicio. 

Proposici´on 3.28. Sea (A, V, ϕ) un espacio af´ın sobre un cuerpo k de caracter´ıstica dis- tinta de 2. Consideramos un subespacio af´ın L de A con direcci´on W y un subespacio U de V complementario de W. Consideramos la aplicaci´on σ

σ : p 7 → π(p) +

−→ pπ(p)

donde π es la proyecci´on sobre L paralelamente a U (observa que π(p)+

−→ pπ(p) = p+

−→ pπ(p)). La aplicaci´on σ es una aplicaci´on af´ın y su aplicaci´on lineal asociada es la simetr´ıa vectorial respecto de W con direcci´on U (o paralelamente a U ).

Demostraci´on. Damos un esbozo del argumento. Fijamos o ∈ L. Razonando como en el caso de las proyecciones, vemos que dado p ∈ A, el vector → op se escribe como → op =

−→ oπ(p) +

−→ π(p)p.

Como

−→ oπ(p) ∈ W y

−→ π(p)p ∈ U , la imagen de → op por la simetr´ıa vectorial respecto de W

con direcci´on U es

−→ oπ(p) −

−→ π(p)p. Por otra parte,

−→ σ(o)σ(p) se escribe como −→ σ(o)σ(p) =

→ oσ(p) =

−→ oπ(p) +

−→ pπ(p) =

−→ oπ(p) −

−→ π(p)p,

es decir, la aplicaci´on → op 7 →

−→ σ(o)σ(p)

es la simetr´ıa vectorial respecto de W con direcci´on U. 

Definici´on 3.29. (simetr´ıa) A la aplicaci´on σ de la proposici´on 3.28 la llamamos simetr´ıa (af´ın) respecto de L con direcci´on U (o paralelamente a U ). A L lo llamamos base de σ.

Si la base de σ es un punto decimos que σ es una simetr´ıa central. Si la base de σ es una recta decimos que σ es una simetr´ıa axial. Si la base de σ es un plano decimos que σ es una simetr´ıa especular.

Proposici´on 3.30. Una aplicaci´on af´ın σ de un espacio af´ın A en s´ı mismo es una simetr´ıa si y solo si σ^2 = idA.

Demostraci´on. Ejercicio. 

Asociada a una proyecci´on y generalizando a una simetr´ıa (y tambi´en a las homotecias) tenemos otro ejemplo interesante de aplicaci´on af´ın:

Ejercicio 3.31. (dilataci´on) Sea f : A −→ A una proyecci´on de base L y direcci´on W y

sea λ ∈ k r { 0 }. Definimos la aplicaci´on g : A −→ A como g(p) = f (p) − λ

−→ pf (p). (1) Demuestra que g es una aplicaci´on af´ın y halla su aplicaci´on lineal asociada.

APUNTES DE GEOMETR´IA LINEAL 17

Decimos que g es una dilataci´on de base L, direcci´on W y raz´on λ (el nombre es autoexplicativo desde un punto de vista geom´etrico, ya que si k = R y λ > 1, g “dilata” el espacio af´ın desde L en la direcci´on W. (2) Demuestra que toda simetr´ıa es una dilataci´on. ¿De qu´e raz´on? (3) Demuestra que toda homotecia es una dilataci´on. ¿De qu´e raz´on?

En los ´ultimos ejemplos hemos visto que, para varios tipos de aplicaciones afines f de un espacio af´ın A en s´ı mismo, existen puntos p ∈ A que cumplen f (p) = p. Tambi´en es f´acil ver en dichos ejemplos la existencia de subespacios afines L tales que f (L) ⊆ L. Esto motiva la siguiente definici´on:

Definici´on 3.32. (1) Decimos que un punto p de un espacio af´ın A es un punto fijo por una aplicaci´on af´ın f de A en A si f (p) = p. (2) Decimos que un subespacio af´ın L de A es invariante por una aplicaci´on af´ın de A en A si f (L) ⊆ L.

Proposici´on 3.33. Sea (A, V, ϕ) un espacio af´ın y sea f una aplicaci´on af´ın de A en A.

(1) Si el conjunto de puntos fijos de f no es vac´ıo, es un subespacio af´ın de A. (2) Un subespacio af´ın p + W de A es invariante por f si y solo si W es invariante por

→ f (es decir,

→ f (W ) ⊆ W ) y

−→ pf (p) ∈ W. (3) Una recta af´ın p + L(v) de A es invariante por f si y solo si v es un vector propio de

→ f y

−→ pf (p) es un m´ultiplo de v.

Demostraci´on. Ejercicio (indicaci´on para (1): demuestra que si p es un punto fijo de f , el

conjunto de puntos fijos de f es p + ker(

→ f − IdV ), donde

→ f es la aplicaci´on lineal asociada a f ). 

Observaci´on 3.34. Ya vimos que el ´unico punto fijo de una homotecia es su centro. Una

traslaci´on de vector v no tiene puntos fijos salvo si v =

→ 0 , en cuyo caso la traslaci´on es la aplicaci´on identidad y el conjunto de puntos fijos es todo es espacio af´ın. El subespacio de puntos fijos de una proyecci´on sobre L es L (¡demu´estralo!). El subespacio de puntos fijos de una simetr´ıa y, en general, de una dilataci´on, de base L es L (¡demu´estralo!).

Ejercicio 3.35. Consideramos la aplicaci´on af´ın

f : A^3 k −→ A^3 k (x, y, z) 7 → (^12 + 12 x + y − 32 z, −^12 y + 32 z, −y + 2z).

Demuestra que f es una dilataci´on y halla su base, su direcci´on y su raz´on.

Observaci´on 3.36. Los subespacios que contienen al centro de una homotecia h son in- variantes por h. Los subespacios cuya direcci´on contiene al vector de una traslaci´on t son invariantes por t. Los subespacios contenidos en la base de una proyecci´on π (respectiva- mente de una simetr´ıa σ; respectivamente de una dilataci´on g) son, obviamente, invariantes por π (respectivamente por σ; respectivamente por g).

Ejercicio 3.37. Demuestra que si la direcci´on de un subespacio L′^ contiene la direcci´on de una proyecci´on π (idem de una simetr´ıa σ; idem de una dilataci´on g), L′^ es invariante por σ.

Observaci´on 3.38. ¡Cuidado! En general existen otros espacios invariantes por las proyec- ciones, simetr´ıas y dilataciones adem´as de la base de las mismas y los que se describen en el ejercicio 3.37. ¿Puedes dar alg´un ejemplo m´as?

APUNTES DE GEOMETR´IA LINEAL 19

Observaci´on 3.43. Sean p 1 , p 2 y p 3 tres puntos alineados tales que p 1 6 = p 2.

(1) (p 1 p 2 p 3 ) = 0 si y solo si p 3 = p 1 y (p 1 p 2 p 3 ) = 1 si y solo si p 3 = p 2. (2) Si k = R, la raz´on simple nos dice la posici´on del punto p 3 respecto de p 1 y p 2 : (a) (p 1 p 2 p 3 ) < 0 si y solo si p 3 est´a fuera del segmento p 1 p 2 y “m´as cerca” de p 1 que de p 2. (b) (p 1 p 2 p 3 ) = 0 si y solo si p 3 = p 1. (c) 0 < (p 1 p 2 p 3 ) < 1 si y solo si p 3 est´a en el interior del segmento p 1 p 2. (d) (p 1 p 2 p 3 ) = 1 si y solo si p 3 = p 2. (e) (p 1 p 2 p 3 ) > 1 si y solo si p 3 est´a fuera del segmento p 1 p 2 y “m´as cerca” de p 2 que de p 1.

Las aplicaciones afines conservan la raz´on simple como veremos en la siguiente proposici´on. De hecho, aunque no veremos la demostraci´on, las aplicaciones afines se caracterizan, cuando la caracter´ıstica de k no es 2, por llevar puntos alineados a puntos alineados y conservar la raz´on simple (ve´ase, por ejemplo, la proposici´on X.3.7 de “ Algebra Lineal y´ Geometr´ıa”, de M. Castellet e I. Llerena o el teorema 1.41 de “Geometr´ıa”, de S. Xamb´o). Si k = R, algo m´as fuerte (y m´as sorprendente) es cierto: una biyecci´on entre dos espacios afines de dimensi´on mayor que 1 que transforma rectas en rectas es una aplicaci´on af´ın (es decir, en el caso real no hace falta comprobar que se conserva la raz´on simple, aunque as´ı ocurra a posteriori). Este resultado recibe a veces el nombre de teorema fundamental de la geometr´ıa af´ın (v´ease por ejemplo el teorema 1.42 y el corolario 1.43 de “Geometr´ıa”, de S. Xamb´o).

Proposici´on 3.44. Sea f : A −→ A′^ una aplicaci´on af´ın y sean p 1 , p 2 , p 3 tres puntos alineados de A tales que p 1 6 = p 2. Entonces, cuando (f (p 1 ) f (p 2 ) f (p 3 )) tenga sentido, (p 1 p 2 p 3 ) = (f (p 1 ) f (p 2 ) f (p 3 )) (recuerda que, seg´un la proposici´on 3.5 (4c), f lleva puntos alineados a puntos alineados, por lo que (f (p 1 ) f (p 2 ) f (p 3 )) tiene sentido salvo cuando f (p 1 ) = f (p 2 )).

Demostraci´on. Sea (p 1 p 2 p 3 ) = λ. Entonces

→ p 1 p 3 = λ

→ p 1 p 2. Por otra parte

−→ f (p 1 )f (p 3 ) = → f ( → p 1 p 3 ) = λ

→ f ( → p 1 p 2 ), por ser

→ f una aplicaci´on lineal. Como

→ f ( → p 1 p 2 ) =

−→ f (p 1 )f (p 2 ), se tiene el resultado. 

Como aplicaci´on de la proposici´on 3.44 demostramos la siguiente formulaci´on del teorema de Tales:

Proposici´on 3.45. Sea A un plano af´ın sobre k. Sean r 1 , r 2 y r 3 tres rectas paralelas distintas de A y sean l y l′^ dos rectas no paralelas a r 1 , r 2 y r 3. Sea pi el punto de intersecci´on de ri y l y sea p′ i el punto de intersecci´on de ri y l′. Entonces (p 1 p 2 p 3 ) = (p′ 1 p′ 2 p′ 3 ).

Demostraci´on. El resultado se sigue de aplicar la proposici´on 3.44 a la proyecci´on sobre l′ paralelamente a la direcci´on de r 1. 

20 FRANCISCO JAVIER GALLEGO RODRIGO

4. Sistemas de referencia cartesianos y coordenadas

Aunque hemos estado hablando de espacios afines con toda generalidad, lo cierto es que, hasta ahora, en la mayor´ıa de ejemplos y ejercicios solo hemos trabajado con el espacio af´ın est´andar y con sus subespacios afines. Podemos justificar que estos ejemplos de espa- cios afines son los ejemplos m´as importantes y que no estamos perdiendo generalidad al referirnos casi exclusivamente a ellos por el hecho de que cualquier espacio af´ın sobre k de dimensi´on n es isomorfo al espacio af´ın est´andar An k, como se sigue de la observaci´on 3.16. Sin embargo, para problemas concretos necesitamos dar isomorfismos expl´ıcitos entre un espacio af´ın y An k. ¿C´omo lo haremos? Inspir´andonos en la cuesti´on an´aloga para espacios vectoriales. En ese caso, dado un espacio vectorial V de dimensi´on n sobre k, podemos dar isomorfismos expl´ıcitos entre V y el espacio vectorial est´andar kn^ gracias a la existencia de bases en V. En efecto, una vez fijada una base B de V , podemos asignar a cada vector v ∈ V , de forma ´unica, una n–upla de kn: las coordenadas de v con respecto a B. Esa asignaci´on es un isomorfismo (no can´onico) entre V y kn. V´ıa ese isomorfismo, podemos tratar los vectores de V “como si fueran” n–uplas del espacio vectorial kn. En este tema vamos a realizar el proceso an´alogo para espacios afines. Nuestro objetivo ser´a, dado un espacio af´ın A de dimensi´on n, encontrar una manera de asignar a cada punto p ∈ A una n–upla de coordenadas, de manera que esa asignaci´on sea un isomorfismo af´ın entre A y el espacio af´ın est´andar An k. Recordemos que en la observaci´on 1.3 ya vimos que si fij´abamos un punto o en A, A se “transformaba” en un espacio vectorial. Como en un espacio vectorial ya sabemos c´omo asignar coordenadas a cada vector, a saber, mediante la elecci´on de una base, lo que haremos en el espacio af´ın (A, V, ϕ) es fijar un punto de A (un origen) y una base de V. Esto motiva la definici´on que daremos a continuaci´on.

Referencias cartesianas, coordenadas y cambios de coordenadas

Definici´on 4.1. Sea (A, V, ϕ) un espacio af´ın de dimensi´on n sobre k. Un sistema de referencia cartesiano de (A, V, ϕ) o, simplemente, una referencia cartesiana es un conjunto R = {o; B} donde o es un punto de A y B = {v 1 ,... , vn} es una base de V. Dado p ∈ A,

sus coordenadas cartesianas respecto de R son las coordenadas del vector

→ op respecto de B.

Proposici´on 4.2. Sea (A, V, ϕ) un espacio af´ın sobre k, de dimensi´on n y sea R una referencia cartesiana de A. La aplicaci´on

ψR : A −→ An k,

que env´ıa cada punto p ∈ A a las coordenadas de p respecto de R es un isomorfismo af´ın.

Demostraci´on. Ejercicio. 

Ejemplo 4.3. (referencia can´onica) La referencia cartesiana can´onica del espacio af´ın est´andar An k es Rc = {(0,... , 0); Bc}, donde Bc es la base can´onica del espacio vectorial est´andar kn. Las coordenadas del punto (x 1 ,... , xn) ∈ An k con respecto a la referencia cartesiana can´onica son (x 1 ,... , xn).

Ejemplo 4.4. (1) R = {(1, 0); (1, 1), (1, −1)} es una referencia cartesiana de A^2 R. El punto (2, 3) tiene coordenadas (2, −1) respecto de R. (2) R′^ = {(1, 1 , 1); (1, 0 , 0), (1, 1 , 0), (1, 1 , 1)} es una referencia cartesiana de A^3 k. El punto (0, 0 , 0) tiene coordenadas (0, 0 , −1) respecto de R′.