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dá .. _ UNIVERSITAT POLITÉCNICA DE CATALUNYA Escola Universitaria 7 A Politécnica de Barcelona a 4 A » Departament de Fisica Aplicada Fisica Y Apuntes de Física 1 de Topografía Optica geométrica Inma Rodríguez Cantalapiedra Ana María Lacasta Septiembre 1997 7 UNIVERSITAT POLITÉCNICA DE CATALUNYA * Biblioteca ass LLL = Rod Ñ 1400262385 a UNIVERSITAT POLITECNICA DE CATALUNYA DEPOSITO LEGAL B-39.656./ SEPTIEMBRE 1.997.- Índice 1. Óptica geoMétTICA ... o oococccccno nor 1 3.1. La velocidad de la lUZ .......0oooooorrrrrorrcrr rar rr 1 1.2. Principio de Fermat 2 1.3. Consecuencias del principio de Fermat: leyes de la reflexión y la refracción. ..... 3 1.4, Difusión de la luz ........oooocoocooconoor rr 6 1.5. Marcha de la luz a través de una lámina de caras paralelas. ................. 6 1.6. Marcha de la luz a través de UN PriSMA ......o.ooooocoocooarcco 8 Problemas Tesueltos ooo ooooonoororo 10 2. DiOptriOS y OSPOjOS ....o.oooooo ooo 13 2.1. DioptriOS ....o.oooooooooororr 13 2.1.1. Dioptrio esféricO .....oooooooroococoorrar orar 14 2.1.2. Dioptrio plano ....oorocoocoororoco rre 19 22. ESPejOs ....o ooo ooo 20 PASS A 20 2.2.2. Espejo plano .....oooococorocoorrcor 21 2.2.3. Aberraciones en los espejos esféricOS ......ooooo.ooooomoo ooo... 21 Problemas resueltos ....oooo.oooomorrorar 23 3. Sistemas Ópticos CENIADOS ...ooooocococccon orar 31 3.1. Sistema centrado 31 3.1.1. Elementos cardinales 31 3.1.2, Ecuaciones generales ......ooooococococroroorromoocmnooooo 35 3.2. Sistemas COMPuEStos ....oocoocoocnococnr rr 37 BB Lemtes. oro rr rr 39 3.3.1. Lentes delgadas. Acoplamiento .......oooocoocoocorccncona co 41 3.3.2, Sistemas convergentes y diVergemtes .....o.oooooooooooommoco.. 41 Problemas resueltos 1. Optica geométrica 1 1. OPTICA GEOMETRICA La óptica es la ciencia que trata de las propiedades y de la naturaleza de la luz y sus interacciones con la materia. La luz es una onda electromagnética visible por el ojo humano, cuyo rango de frecuencias es: 4,3 10 Hz < v<7,5 10! Hz. Un rayo luminoso es la trayectoria que sigue la luz desde un foco luminoso hasta un receptor. La representación de la luz como rayos constituye una rama de la óptica denominada óptica geométrica. Este capítulo y cl siguiente están dedicados a la óptica geométrica y tratan de fenómenos Ópticos que pueden comprenderse en términos de rayos, sin recurrir explícitamente a la naturaleza ondulatoria de la luz. Por supuesto la óptica geométrica tiene sus limitaciones, y existen fenómenos ópticos que requieren para su comprensión de modelos que incorporen las propiedades ondulatorias de la luz. Volveremos sobre estos fenómenos después de haber estudiado el movimiento ondulatorio en general. 1.1. La velocidad de la luz La luz se mueve en el vacío con una velocidad c=3 10%m/s. En cualquier otro medio, la velocidad es siempre menor. La relación entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en un medio se denomina índice de refracción del medio (1) 3 " <|n an Un medio es homogéneo e isótropo cuando la velocidad de la luz es la misma en todos los puntos y direcciones, de manera que su índice de refracción es constante. Si c, v, y v, son respectivamente las velocidades de propagación de la luz en el vacío y en los medios 1 y 2 respectivamente y n, y n, los índices de refracción correspondientes, se 2 Apuntes de Física I denomina índice de refracción relativo al cociente entre los índices de refracción del primer medio respecto al segundo. = (1.2) Y, Un rayo de luz en un medio homogéneo sigue una trayectoria rectilínea. Sin embargo, cuando incide sobre una superficie que separa dos medios distintos, una parte se refleja y otra se refracta. Reflexión es el retorno de la luz por el mismo medio en que se propagaba. Refracción es la penetración en el segundo medio. Al pasar de un medio a otro, la velocidad de la luz experimenta una variación, en este caso se puede hablar de índice de refracción relativo según (1.2) Tanto en el caso de la reflexión como en el caso de la refración se produce un cambio en la dirección de propagación atendiendo a un principio de extremal denominado Principio de Fermat. 1,2 Principio de Fermat. En un determinado medio, la luz se propaga con velocidad v = c/n. El espacio s recorrido en un cierto tiempo £ es por tanto (1.3) ps " < e " 5/0 Se denomina camino óptico 5 al espacio que recorrería la luz en el vacío en igual tiempo d=ct=ns (14) Si la luz atraviesa varios medios distintos, el camino óptico total es la suma de caminos ópticos de cada medio 4 Apuntes de Física I y diferenciando e igualando a cero obtendremos la condición para que el tiempo transcurrido sea un extremo dt=0 = dó=0 = dísts')=0 (17) llamando d y ¿' alos vectores unitarios en las direcciones de los rayos incidente $ y reflejado $' , la condición de extremo será, ds 1)-0 > Pas+sdi+i ds /+5"di'=0 (1.8) / dú dá? serán ndicularesa E ii” respectivamente, puesto que estos últimos son y perpel unitarios y por tanto dá y dil” serán endiculares a 3 3' respectivamente, y por yP y perp: y p yp tanto dies=diH"5'=0 ; si además tenemos en cuenta que ds=-ds” , -di=0 (1.9) esto significa que (-é') tiene que ser perpendicular a d5 y por tanto tener la misma dirección que la normal, Ñ , a la superficie de separación de los dos medios en el punto de incidencia del rayo. Esto sólo se verificará si los vectores E ¿”y Ñ son coplanarios. Esto demuestra que el rayo incidente, el reflejado y la normal, están en un mismo plano. Además formando un triángulo isósceles con ¿ H' y Ñ se demuestra que los ángulos de incidencia y de reflexión son iguales. 3%) Ley de la refracción: Cuando un rayo luminoso se refracta en la superficie de separación de dos medios, el rayo incidente, la normal a la superficie en el punto de incidencia y el rayo refractado están en un mismo plano, que es el de incidencia. La relación entre los senos de los ángulos de incidencia y los de refracción es una cantidad constante, igual al cociente entre el índice de refracción del segundo medio y el índice de refracción del primero (LEY DE SNELL). Supongamos un rayo que parte de P, situado en un medio homogéneo e isótropo de índice de refracción n, que incide sobre la superficie de separación de otro medio, análogo al anterior, con índice de refracción n, y se refracta pasando por P*. El camino óptico correspondiente será 1. Optica geométrica 5 (1.10) siendo 3 el rayo incidente y 3” el rayo refractado. En este caso la condición de extremo implica que do=n dir? + nirdí + ndi*s! + n 2 d3> (LID Qu, ¡ - nú?) «ds =0 Por tanto el rayo incidente con la dirección y sentido del vector unitario ¿ ,el rayo refractado con la dirección y sentido del vector unitario fi” y el vector unitario normal a la superficie de > separación de ambos medios en el punto de incidencia Ñ ,son coplanarios. Además, utilizando el teorema del seno en un triángulo de lados: Ñ , ná, Fig. 1.2 Refracción de la luz n 2! , y llamando ¿ al ángulo que forma el haz incidente con la normal y 8 al ángulo que forma el rayo refractado con la normal, se obtiene la Ley de Snell sni_'% = n, seni = n, sen O (1.12) sen 0 La ley de Snell indica que si el índice de refracción del segundo medio es mayor que el del primer medio (n,>n/), el ángulo 6< i, de modo que el rayo se desvía acercándose a la normal. 1. Optica geométrica 7 Fig 1. 4 Marcha de la luz a través de una lámina plano paralela Si colocamos un objeto en un punto A, éste será visto a través de la lámina plano paralela a una distancia h sen(i-0) AA! = q - cos0 - m1 208, (1.15) seni seni tani si el ángulo i es pequeño, 8 será todavía más pequeño, con lo que tani tani=sení ; tan9=send; =n, (1.16) tanO y por tanto 1 An! = (O (L17) 8 Apuntes de Física I 1.6 Marcha de la luz a través de un prisma. Un prisma es un medio transparente limitado por dos dioptrios planos, llamados caras, que se cortan en la arista del prisma. Tomando una sección principal (plano perpendicular a la arista) se determina el ángulo refringente 0%. Mirando la figura (1.5) y aplicando la ley de Snell a cada cara resulta r+ri=a 1 . senr=-—seni n Ñ (1.18) sene=a1 senr'=n sen(a-r) Óx=xir+e-a siendo este último el ángulo de desviación 3 formado por las direcciones de propagación de los rayos incidente y emergente. Si r' fuese superior al ángulo límite 1, respecto al medio que le rodea, sufriría reflexión total y no emergería. Siendo l el valor máximo de r' y también el de r (¿=90 por tanto r=f) entonces el valor máximo de «a es 2/ para que haya emergencia. En este caso un rayo incidente Fig 1. 5 Prisma óptico rasante emerge rasante, La desviación mínima 6,, se obtiene para ¿=e. By =2ia - is - o r=r S (1.19) Si conocemos 5,, y e podemos hallar n: 10 Apuntes de Física l PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Un rayo de luz incide normalmente sobre el agua. Determinar el ángulo $ que debe formar con la horizontal un espejo plano situado en el interior del líquido para que el rayo = 1.33). reflejado experimente la reflexión total ( Pogua Í aire | — Tal como vemos en el dibujo, el rayo no sufre desviación al penetrar en el agua, ya que incide de forma perpendicular a la superficie de separación. Al alcanzar el espejo plano, se refleja formando con la normal al espejo un ángulo A continuación, el rayo llega a la superficie de separación agua-aire formando con la normal un ángulo i, = ¿+ r= 24 yserefracta. Según la Ley de Snell: sen l, = My; SNE. Bagua aire El rayo experimenta reflexión total, así que impondremos que sene =1, con lo que se obtiene: $ = 2430 1. Optica geométrica 11 2.- A una de las caras de un prisma de índice de refracción n = 1.3 llega un rayo de luz con un ángulo de incidencia de 45 *. Se observa que el rayo emergente es normal a la cara de entrada. Obtener el valor del ángulo del prisma. Que el rayo emergente sea normal a la cara de entrada es equivalente a imponer que (ver dibujo): Aplicamos la ley de Snell a las dos caras del prisma: sen 30 sení =p senr => senr = => r= 32.95% n senrí = sene = sena Utilizando que 1 + r'=«: send = n sen(a - r) = n sena cos r - n cosa senr => sena(nm cosr - 1) = n cosa sen r > tana 38M" a 8267 13 cos r - 1 2. Dioptrios y espejos 13 2. DIOPTRIOS Y ESPEJOS. 2.1 Dioptrios Dioptriocs la superficie de separación de dos medios con distinto índice de refracción. Se llama Sistema Óptico a un conjunto de superficies de forma geométrica sencilla que separan medios transparentes de distintos índices de refracción; si están formados por superficies esféricas con los centros alineados los llamaremos Sistema Óptico Centrado. A la recta que une los centros la denominaremos eje del sistema. A partir de ahora nos referiremos a este tipo de sistemas. Imagen y objeto real y viriual, ”m mm ” Un haz de rayos procedentes de un A a punto objeto real (O en la Fig. 2.2) después de atravesar el sistema óptico, forma un haz que emerge de este. Si los rayos concurren en un punto, en él se forma una imagen real, (punto O' de la Fig. 2.2) la cual se puede Fig. 2. 1 Sistema óptico centrado hacer visible colocando una pantalla en dicho lugar. Si los rayos no concurren, pero lo hacen sus prolongaciones en sentido contrario al de propagación, el ojo, recogiendo el haz que sale del sistema, ve una imagen en la intersección de los rayos salientes, imagen virtual (Fig.2,2). Existe un objeto virtual cuando la luz incidente sobre el sistema óptico es convergente. Suponiendo que la luz se propaga de izquierda a derecha, el espacio anterior a la superfície del dioptrio se llama espacio objeto real. El espacio a partir de dicha superfície se llama espacio objeto virtual. El espacio a partir de la superfície que limita el sistema óptico por donde sale la luz que lo atraviesa se llama espacio imagen real y el espacio anterior a esta superfície espacio imagen virtual. Un sistema óptico se dice que es estigmático cuando la imagen real o virtual de un punto 14 Apuntes de Física 1 es otro punto (los rayos que parten (0) NN o Os, o A de un punto después de atravesar el sistema Óptico convergen en un punto). Si la luz parte del segundo punto nos dará el primero. Esta propiedad se llama principio de o retorno inverso de los rayos. Estos dos puntos se llaman conjugados respecto al sistema. | A Así, la condición de estigmatismo equivale a decir que el camino óptico punto luminoso-imagen sea Fig. 2. 2. )Obj. e imag. real. 2)0bj. real e imag. virtual. 3)0bj. . virtual e imag. real. 4)0bj e imag. virtual. constante para cualquier rayo que parta de dicho punto. En general, las figuras no son estigmáticas y sólo con determinadas restricciones consideraremos al sistema como estigmático. (La región en que el sistema es prácticamente estigmático se le llama zona paraxial o de Gauss). 2.1.1 Dioptrio esférico. El dioptrio esférico es una superficie esférica que separa dos medios transparentes con distinto índice de refracción. Convenio de signos DIN. Vamos a suponer que la luz se propaga de izquierda a derecha, El origen de coordenadas es O, intersección del eje de simetría con la superficie esférica; a partir de este punto contaremos las distancias en sentido de la luz incidente: -Distancias: Las distancias serán positivas si van en sentido de propagación de la luz a partir del origen. Así, puntos a la izquierda de O tienen abcisa negativa y a la derecha de O tendrán abcisa positiva. Puntos por encima del eje principal tienen ordenada positiva y por debajo negativa, El radio del dioptrio es positivo si el centro de la esfera está a la derecha del origen y negativo cuando está a la izquierda. 
