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GRADIENTES EN FLUJO DE EFECTIVO
GRADIENTE ARITMÉTICO
5.1 Un gradiente aritmético G o uniforme es una serie de flujos de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme. Es decir, que el flujo de caja, ya sea ingreso o desembolso, cambia en la misma cantidad cada año. La cantidad de aumento o disminución es el gradiente. Al desarrollar una fórmula que se pueda utilizar para gradientes aritméticos o uniformes es conveniente suponer que el primer flujo de la serie se encuentra al final del período 1 y no involucra un gradiente, sino un pago base. G =Cambio uniforme aritmético en la magnitud de las entradas o en los ingresos o desembolsospara un período de tiempo.El valor de G puede ser positivo o negativo. Si ignoramos el pago base, podríamos construir un diagrama generalizado de flujo de caja de gradiente creciente uniforme como se muestra en la siguiente figura: Determinación del presente de la serie gradiente uniforme (aritmético): Multiplicando ambos lados de la ecuación por (1+i), resulta:
Restando la ecuación (2) menos la ecuación (1): Despejando: La expresión entre llaves es el valor presente de una serie uniformes de 1 a n años. Factorizando, se determina la fórmula para obtener el valor presente equivalente de un gradiente aritmético conocido, como:
Ejemplo 5.1 : Una persona deposita en una cuenta de ahorros una cantidad anual que va disminuyendoa una cantidad constante de $ 500 por año. La magnitud del primer depósito que se hace es de $ 10,000 y el último de $ 5,500. Si en la cuenta de ahorros se gana un 15% anual ¿de qué magnitud debe ser un deposito anual constante durante el mismo tiempo para que el monto acumulado sea el mismo? Elaborando el diagrama de egresos queda de la siguiente manera: Aplicando la fórmula correspondiente se encuentra lo que pide el ejercicio; pero no está demás recalcar que el caso que se presenta es: Por lo tanto, para que el monto acumulado sea el mismo, se debería realizar un depósito anual constante de $3,808.40 durante los 10 años.
GRADIENTES DESPLAZADOS:
Un valor presente de gradiente aritmético (gradiente lineal) siempre está localizado:
- Un periodo a la izquierda del primer flujo de efectivo de la serie (flujo de efectivo gradiente “0”
- Dos periodos a la izquierda del flujo de efectivo “1G”
- Un gradiente desplazado es aquél cuyo punto de valor presente está removido del tiempo t= El punto de valor presente para la anualidad base y el gradiente (t=3) Un gradiente convencional es aquél cuyo punto de valor presente es t= Ejemplo 5.2: Encuentre el valor presente, de una serie de anualidades a partir del periodo 3 hasta el 5,con una tasa del 10% y cuya anualidad base es de $150 con un gradiente de $25.
GRADIENTES DECRECIENTES:
Dado el siguiente gradiente decreciente desplazado determine el valor presente VP en t=
GRADIENTE GEOMÉTRICO:
Generalmente el tipo más común de gradiente en todo flujo es el gradiente aritmético, sin embargo, en algunas ocasiones podemos encontrarnos con un gradiente aritmético. El gradiente aritmético a diferencia del geométrico no crece de forma lineal en el tiempo, sino que lo hace exponencialmente, como se puede observar en el siguiente esquema:
Los gradientes geométricos pueden ser positivos o negativo (crecientes o decrecientes) y existen fórmulas para encontrar los valores de P yF en cada uno de los casos. En los gradientes exponenciales o geométricos no es necesario separar el gradiente del costo anual base, el cálculo se realiza de una vez incluyendo el costo anual.
Los cuál se reduce a: o a la siguiente expresión: Independientemente de quej sea igual o diferente ai, las últimas dos ecuaciones anteriores se representan en forma general de acuerdo a la expresión siguiente: Ejemplo 5.4.1: Un padre de familia ha destinado un cierto fondo de dinero para que su hijo estudie una carrera universitaria en la Universidad Nacional. La carrera en esta institución dura 9 semestres y debido a la inflación, la colegiatura aumenta el 8% semestral. Si el padre de familia deposita este fondo en una cuenta bancaria que paga el 6% semestral, ¿cuánto tendría que depositar si la colegiatura del primer semestre es de $10,000? Suponga que el pago de la colegiatura ocurre al fmal del semestre. Sustituyendo esta información en la ecuación (5.4.3), se obtiene: Lo cual significa que este padre de familia tiene que depositar ahorita $91,603, con los cuales se pagaría la colegiatura de los próximos nueve semestres. Un flujo de efectivo en forma de gradiente aritmético sería aquel que aparece en la figura 2A. Como puede observarse en esta figura, el flujo del primer año es A 1 , y del según
Un flujo de efectivo en forma de gradiente aritmético sería aquel que aparece en la figura 5.4.3. Como puede observarse en esta figura, el flujo del primer año es A1 , y del segundo año en adelante el flujo se incrementa en una cantidad constante g. Por consiguiente, si quisiéramos transformar el flujo de efectivo de la figura 2.4 a uno parecido al de la figura 5.4.4, el cual es completamente equivalente, una alternativa es considerar que en el período dos empieza una serie uniforme de flujos de efectivo de tamaño g. También otra serie uniforme de flujos de efectivo empieza en el período tres y así sucesivamente hasta llegar al último período. De acuerdo con esta lógica, la cantidad A2 se puede obtener al multiplicar la suma de los valoes futuros de estas series por (A/F, i%, n), esto es, A2 se puede determinar por medio de la siguiente expresión:
Pasos:
- Trace y rotule correctamente el diagrama de flujo de efectivo que defina el problema
- Localice los puntos de valor presente y futuro para cada serie
- Escriba el valor tiempo de las relaciones de equivalencia de dinero
- Sustituya por lo valores correctos de los factores y resuelva Ejemplo 5.4.2.1: Encuentre la ecuación de valor presente neto (VPN)del siguiente diagrama de flujo, considere i = 10% A simple vista este diagrama puede parecer complicado, pero nos ayuda a comprender mejor el uso de factores y de diagramas de flujo de efectivo. La técnica recomendada es transformar uno a uno cada elemento en VP (o CAU si nos lo pidieran). Para analizar este problema consideraremos los egresos como positivos y los ingresos negativos. Esto es solo para simplificar los cálculos pues habrá mayor cantidad de números postivos. En el año cero tenemos el valor P, el cual ya es un valor presente y por lo tanto solamente se sumará al VPN.
- VPN = 20, Del periodo 1 al seis nos encontramos con un costo anual de $5,000. Utilizaremos el factor P/A para llevarlo al origen y convertirlo en un valor presente, así podremos sumarlo al valor existente.
1. VPN = 20,000 + 5,000(P/A, 10%, 6)
En los siguientes seis periodos, tenemos un costo anual que crece de acuerdo a un gradiente. Convertiremos el gradiente y el costo base en un valor presente. Recordemos que el P encontrado estará ubicado un periodo antes del periodo en el cual inicial el gradiente, es decir en el periodo seis, nosotros necesitamos que este valor llegue al origen para poder agregarlo al VPN así que utilizamos el factor P/F para mover la cantidad PA + PG al periodo cero. Para los siguientes seis periodos tenemos un ingreso anual de $10,000, llevaremos la cantidad al origen y la convertiremos en un valor presente, recuerde que este valor se restara de la ecuación por ser un ingreso.
- VPN = 20,000 + 5,000(P/A, 10%, 6) + 36,778.92(P/F, 10%, 6) – 10,000(P/A, 10%, 6)(P/F,10%,12) La última parte consiste en un gradiente exponencial con una A base de $9,000 y que decrece al 10%, utilizaremos las formulas de la tabla número 2, y luego llevaremos el valor al origen.
