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Universidad Aut´onoma de Chile Ingenier´ıa Civil Industrial Sede Talca C´alculo III Facultad de Ingenier´ıa Septiembre 2021
Gu´ıa 3 - U1: Funciones vectoriales
- Determinar r′(t) en cada caso: (a) r(t) = (^1) t i + 16tj + t 22 k (b) r(t) =
ti + t
tj + ln tk (c) r(t) = e−ti + tetj + 4k (d) r(t) = t sin ti + cos tj + tk
(e) r(t) = arccos ti + arcsin tj + tk (f) r(t) = a cos^3 ti + a sin^3 tj + k
- Determinar el o los intervalos en los que la curva dada por la funci´on vectorial es suave. (a) r(t) = (^) t−^11 i + 3tj (b) r(θ) = (θ + sin θ)i + (1 − cos θ)j (c) r(θ) = (θ − 2 sin θ)i + (1 − 2 cos θ)j (d) r(t) = (t − 1)i + (^1) t j − t^2 k
(e) r(t) = eti − e−tj + 3tk (f) r(t) = ti − 3 tj + tan tk
- Sea r(t) = eti + et^ cos tj + et^ sin tk, una curva en el espacio. (a) Muestre que r(t) · r′(t) = 2e^2 t. (b) Determine el ´angulo que forman los vectores r(0) y r′(0). (c) Determine ecuaciones sim´etricas de la recta tangente a la curva en t = 0.
- Si C una curva plana dada por x = x(t), y = y(t), su curvatura est´a dada por
κ(t) = |x
′y′′ (^) − x′′y′| |(x′)^2 + (y′)^2 |^3 /^2. (a) Muestre que si C es cualquier recta en el plano, entonces su curvatura es κ(t) = 0, para todo t. (b) Muestre que la curvatura en cualquier punto del c´ırculo con centro (0, 0) y radio r es κ(t) =^1 r.
(c) Calcule la curvatura para la elipse x
2 a^2 +^
y^2 es m´axima en los extremos del eje mayor y m´^ b^2 = 1. En particular, probar que la curvaturaınima en los del eje menor para la elipse x^2 + 4y^2 = 4.
- Si r(t) = x(t)i + y(t)j es una curva en el plano, su curvatura est´a dada por
κ(t) = |x
′(t)y′′(t) − x′′(t)y′(t)| [(x′(t))^2 + (y′(t))^2 ]^3 /^2
Intuitivamente, la curvatura en un punto P de la curva nos da una medida de cu´anto se curva la curva en ese punto. (a) Determine una parametrizaci´on para la circunferencia x^2 + y^2 = 9 y compruebe que su curvatura es constante igual^13.
(b) Considere la elipse x
2 25 +^
y^2 9 = 1. i. Muestre que r(t) = 5 cos ti − 3 sin tj, con 0 ≤ t ≤ 2 π, es una parametrizac´on de la elipse. Eval´ue r(t) en t = 0, π 2 , π, 32 π y 2π. Dibuje la elipse indicando c´omo es recorrida la curva seg´un esta parametrizaci´on. ii. Determine la curvatura de la elipse. Eval´ue la curvatura en los puntos donde la curvatura es m´axima y en los puntos donde es m´ınima.
- Para la h´elice circular r(t) = a cos ti + a sin tj + btk, donde a y b son constantes no nulas, determine:
(a) La longitud de arco s para 0 ≤ t ≤ 2 π, dada por s =
∫ (^2) π 0 ||r′(t)||dt.
(b) El vector tangente unitario T(t) = r
′(t) ||r′(t)||. (c) El vector normal unitario principal N(t) = T
′(t) ||T′(t)||. (d) La curvatura de r dada por
κ(t) = ||r
′(t) × r′′(t)|| ||r′(t)||^3.
- La funci´on r(t) describe la trayectoria de un objeto que se mueve en el espacio. Determinar su velocidad, rapidez y aceleraci´on. (a) r(t) = ti + tj +
9 − t^2 k (b) r(t) = t^2 i + tj + 2t
tk
(c) r(t) = 4ti + 3 cos tj + 3 sin tk (d) r(t) = et^ cos ti + et^ sin tj + etk
- Consideremos una part´ıcula que se mueve sobre un c´ırculo de radio b descrito por
r(t) = b cos ωti + b sin ωtj, donde ω = dθ/dt es la velocidad angular constante. (a) Encontrar el vector velocidad y comprobar que es ortogonal a r(t). (b) Demostrar que la rapidez de la part´ıcula es bω. (c) Hallar el vector aceleraci´on y verificar que apunta siempre hacia el centro del c´ırculo. (d) Probar que la magnitud del vector aceleraci´on es ω^2 b.
- Calcular la longitud de la curva r(t) = cos ti + sin tj + 3tk entre los puntos en los que t = 1 y t = 4.
- Para curva en el espacio dada por
r(t) = (3 cos t + 3t sin t)i + (3 sin t − 3 t cos t)j + 3 t
2 2 k (a) Determine el largo de la curva para 0 ≤ t ≤ 2 π. (b) Encuentre la torsi´on de la curva en t = π 2. Ayuda: La torsi´on de una curva podemos entenderla como una medida del cambio de direcci´on del vector binormal. As´ı, cuanto m´as r´apido cambia la torsi´on, m´as r´apido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y entonces m´as retorcida aparece la curva. La torsi´on τ de una curva r, en el instante t, viene dada por
τ (t) = (r
′(t) × r′′(t)) · r′′′(t) ||r′(t) × r′′(t)||^2.
