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Funciones Vectoriales
Definición: Sean F1, F2 y F3, tres funciones reales de una variable real “t”. Entonces para todo número “t”, en el dominio común a F1, F2 y F3, existe un vector R definido por:
R(t) = F1(t) i + F2(t)j + F3(t)k, a R(t) se le denomina: Función Vectorial.
Grafica de Funciones vectoriales: Cuando “t” toma todos los valores en el dominio de R, el punto terminal de la representación de posición del vector R(t) forma el trazo de la curva C y a esta gráfica se le denomina gráfica de R.
Un punto en la curva C tiene la representación cartesiana (x, y, z) donde:
x = F1(t), y = F2(t), z = F3(t), a éstas se les denomina ecuaciones paramétricas. Eliminando la variable t de las ecuaciones paramétricas, se obtienen dos ecuaciones en x, y, z, éstas expresiones se conocen como ecuaciones cartesianas de C. Cada una de estas es la ecuación de una superficie, y la curva C es la intersección de dos superficies.
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES VECTORIALES
Sean R1 = F1(t) i + G1(t)j + H1(t)k y R2 = F2(t) i + G2(t)j + H2(t)k, dos funciones vectoriales y sea C un escalar.
a. Suma de Funciones Vectoriales
R1 + R2 = (F1(t) i + G1(t)j + H1(t)k) + (F2(t) i + G2(t)j + H2(t)k)
R1 + R2 = (F1(t) + F2(t)) i + (G1(t) + G2(t)) j + (H1(t) + H2(t)) K
b. Resta de Funciones Vectoriales
R1 - R2 = (F1(t) i + G1(t)j + H1(t)k) - (F2(t) i + G2(t)j + H2(t)k)
R1 - R2 = (F1(t) - F2(t)) i + (G1(t) - G2(t)) j + (H1(t) - H2(t)) K
c. Multiplicación por un escalar
C R1 = C (F1(t) i + G1(t)j + H1(t)k)
C R1 = C F1(t) i + CG1(t)j + CH1(t)k
LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Definición de Límite: si R(t) es una función vectorial tal que:
R(t) = F(t) i + G(t)j + H(t)k, entonces:
(t) a
k (t) a
Lim H(T) j (t) a
Lim G(T) i (t) a
Lim F(T) Lim R(T)
Siempre que existan los límites de F, G y H cuando ( t)a.
Continuidad de una Función Vectorial : Una función vectorial R(t) es continua
para un punto dado t=a, si: (t) a
Lim R(T) R(a)
Una función vectorial R(t) es continua en un intervalo “I” si es continua en todos los puntos del intervalo. De acuerdo con esta definición una función vectorial es continua en t = a, si y solo sí, cada una de sus funciones componentes es continua en t = a.
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
La Derivada de una función vectorial R(t), representada por R’(t), se define como:
t 0
t
Rt t Rt R'(t) Lim
, para todo “t” para el cual existe el límite.
Si R’(c) existe para todo “C” en un intervalo abierto “I”, entonces R(t) es derivable en “I”. La derivabilidad de funciones vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados considerando límites unilaterales.
Notación de la Derivada de Funciones Vectoriales:
dt
dr R(t) dt
d R' (t)Dt R(t)
TEOREMA: Si R(t) = F(t) i + G(t)j + H(t)k, donde F, G y H son funciones derivables en “t”, entonces R’(t) = F’(t) i + G’(t)j + H’(t)k.
Derivadas de Orden Superior: Las derivadas de orden superior se obtienen por derivación sucesiva de cada una de las componentes de la función vectorial.
Propiedades de la Derivada de Funciones Vectoriales:
Sean R(t) y U(t) funciones vectoriales derivables en “t”, F(t)una función real derivable en “t” y C un escalar, se tiene:
- Dt CR (t) CR '(t)
- Dt R (t)U(t) R '(t) U '(t)
- Dt F (t)R(t) F '(t)R (t) F (t)R '(t)
- Dt R (t)U(t) R (t)U '(t) R '(t)U (t)
- Dt R (t)U(t) R (t) xU '(t) R '(t) xU (t)
- Dt R (F(t)) R 'F (t)F '(t)
- Si R ( t)R(t) C, entonces:R ( t)R'(t) 0
2
2
dt
dr dt
dv a( t)
- El vector unitario V(t)
V(t) es la dirección del movimiento en el tiempo “t”.
Se puede expresar la velocidad de una partícula en movimiento como el producto de su rapidez y dirección, es decir,
Rapidez*Dirección V(t)
V(t) V( t) V(t)*
VECTOR TANGENTE UNITARIO, VECTOR NORMAL UNITARIO, VECTOR
BINORMAL.
Vector Tangente Unitario:
Sea C una curva en el espacio representada por el vector r(t). Sea C una curva suave en el intervalo I, el vector tangente unitario T(t), esta dado por:
; r'(t) 0 ; T(t) 1 r'(t)
r'(t) T( t)
La curva es suave en un intervalo si r’(t) es continua y distinta de cero en el intervalo, la “suavidad” es suficiente para garantizar que una curva tenga vector tangente unitario.
Vector Normal Unitario
Si T’(t) es distinta de cero el vector unitario normal principal en t se define como:
; T'(t) 0 ; N(t) 1 T'(t)
T'(t) N( t)
Vector Unitario Binormal
Es un vector unitario ortogonal a T(t) y N(t), está dado por:
B( t)T(t)xN(t)
Los tres vectores ortogonales T(t), N(t) y B(t) de una curva C, constituyen el triedro móvil de C en el punto P.
T(t)
N(t)
B(t)
C
LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA
Podemos definir la longitud de arco de una curva C en el espacio tridimensional de la misma forma que definimos la longitud de arco en el plano.
Si R(t) = F1(t) i + F2(t)j + F3(t)k, la longitud de arco “L” de la curva C para a tb^ está dada por:
L F '(t) F '(t) F '(t) dt
b
a
2 3
2 2
2 1
Si S es la medida de la longitud de arco de C desde un punto fijo
F 1 to, F 2 to, F 3 to , hasta el punto F 1 t, F 2 t, F 3 t, y si S se incrementa
cuando t lo hace, entonces S es una función de t y esta dada por:
S F '(u) F '(u) F '(u) du
t
to
2 3
2 2
2 1 , A la longitud de arco S se le llama
parámetro de la longitud de arco.
La longitud de arco de una curva también puede determinarse por medio de:
L R'(t)dt
b
a
CURVATURA
Sea C una curva en el plano o en el espacio dada por r(s), donde S es el parámetro de la Longitud de arco, la curvatura K en S está dada por:
T'(s) dS
dT K
Teorema: Si C es una curva suave dada por r(t), entonces la curvatura K de C en t está dada por:
3 r'(t )
r'(t)xr''(t) r'(t)
T'(t) K
RADIO DE CURVATURA Y CIRCULO OSCULADOR
El círculo de curvatura o círculo osculador es el círculo del plano de la curva tal que:
- Es tangente a la curva en el punto P.
- Tiene la misma curvatura que la curva tiene en el punto P.
El radio de curvatura de la curva en P es el radio del círculo de curvatura:
