Guias Matematica III, Ejercicios de Matemáticas Aplicadas

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Matemáticas III

GUIA No. 2

Unidad I: La Integral Definida y sus Aplicaciones

Catedrático:

Ing. Ramiro Puentes

Integrante:

David Antonio Melgar Sosa 2945322013

Objetivo :

Generar conocimientos realizando la resolución de integrales definidas. Para la

aplicación correcta en el tema del Teorema fundamental del cálculo.

Ejercicio 1.

3

1

Ejercicio 3.

3

1

Ejercicio 5.

2

3

1

2

Derivamos cada término.

2

𝑎

𝑎 + 1

2 + 1

3

Continuamos con el Segundo término

∫ 5 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐸𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑢𝑡𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ∫ 𝑎. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

1 + 1

Continuamos con el tercer término

Nos queda definida de la siguiente manera:

Ejercicio 9.

∫ ( 3 𝑥 − 2 )²𝑑𝑥

2

1

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑢 = 3 𝑥 − 2

Tenemos que:

∫

𝑢²

3

𝑑𝑢 Sacamos la constante donde ∫ 𝑎. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

1

3

2

𝑎

𝑥

𝑎 + 1

𝑎 + 1

2 + 1

Tenemos

2+

3

3

2

1

Sustituimos en el teorema

3

3

Ejercicio 11.

2

−

Desarrollamos el siguiente producto notable.

Tenemos el siguiente término : 2𝑥

2

Operamos para encontrar la integral indefinida mediante la regla de la

suma

2

∫ 2𝑥

2

𝑑𝑥 = 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2 ∫ 𝑥

2

= 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 ∫ 𝑥

𝑎

𝑑𝑥

𝑥

𝑎 + 1

𝑎 + 1

= 𝑎 ≠ − 1

2+

Continuamos con el siguiente término

∫ 9𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 9 ∫ 𝑥 = 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 ∫ 𝑥

𝑎

𝑑𝑥

𝑥

𝑎 + 1

𝑎 + 1

= 𝑎 ≠ − 1

1 + 1

Desarrollamos el siguiente término

Tenemos entonces:

2

2

−

Sustituimos en el teorema = 𝑭

𝐹 (

2

( 2

)

3

3

−

9

( 2

)

2

2

− 5 ( 2 )) =

16

3

− 18 − 10 =

16

3

−

− 28

1

=

16 − 84

3

−

− 68

3

= −

68

3

2

3

−

2

2

2

3

−

9

2

5

1

=

6

=

30 − 4 − 27

6

=

− 1

6

= −

1

6

Ejercicio 13.

𝐹 (

𝑒

2

)

− 𝐹 (

1

2

)

=

1

2

(𝑒

2

− 1 ) =

1

2

𝑒 − 1

2

=

7. 3890 − 1

2

=

6. 3890

2

= 𝟑. 𝟏𝟗𝟒𝟓

Ejercicio 17.

∫

𝑥

2

• 3

√

𝑥

4

1

𝑑𝑥 𝐷𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎

2

√

𝑎

𝑛

= 𝑎

1

𝑛

=

𝑥²

√

𝑥

√

1

2

𝑥²

𝑥

1

2

𝑥

𝑎

𝑥

𝑏

= 𝑥

𝑎−𝑏

=

1

2

= 𝑥

2−

1

2 = 𝑥

3

2

√

∫ 𝑥

3

2

3

√𝑥

𝑑𝑥 = ∫ 𝑥

3

2 𝑑𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 ∫ 𝑥

𝑎

𝑑𝑥

𝑥

𝑎 + 1

𝑎 + 1

= 𝑎 ≠ − 1

3

2

• 1

5

2

−

1

2

−

1

2 𝑑𝑥 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 ∫ 𝑥

𝑎

𝑑𝑥

𝑥

𝑎 + 1

𝑎 + 1

= 𝑎 ≠ − 1

−

1

2

• 1

∫

𝑥

2

• 6√𝑥 𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠

𝐹 (

5

2

• 6 √( 4 )) =

√( 4

)

5

2

Ejercicio 19.

𝜋/

0

∫ 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ∫ 𝑥

𝑎

𝑑𝑥

𝑥

𝑎 + 1

𝑎 + 1

= 𝑎 ≠ − 1

1 + 1

2

2

2

2

𝜋/ 2

0

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2𝑥

−𝑥

2

−𝑥

2𝑥

2𝑥

2𝑥

𝑢

1

2

𝑑𝑢 =

𝑢

𝑢

𝑢

𝑢

2𝑥

−𝑢

𝑢

𝑢

𝑢

𝑢

−𝑥

Tenemos que

2 𝑥

1

0

−𝑥

𝑬𝒗𝒂𝒍𝒖𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔

2 𝑥

− 1

2

− 1

2

2 ( 0 )

− 0

1. 2

𝟐

Segunda parte Guía No 2

Ejercicio 1.

5

2

0

5

5

5

5

𝑎

𝑑𝑥

𝑥

𝑎 + 1

𝑎 + 1

= 𝑎 ≠ − 1

5 + 1

5 + 1

6

6

6

6

6

2

0

6

6

6

6

2

6

2

5

2

1

2

243

4

𝟏𝟖𝟐

𝟑

Ejercicio 3.

2

5

2

9

2

13

2

Ejercicio 5.

2

1

3

= 2 ∫

1

𝑢³

𝑑𝑢 =

1

𝑢³

= 𝑢

− 3

= 2 ∫ 𝑢

− 3

𝑑𝑢 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 ∫ 𝑥

𝑎

𝑑𝑥

𝑥

𝑎 + 1

𝑎 + 1

= 𝑎 ≠ − 1

− 3 + 1

− 3 + 1

2

2

2

2

2

1

2

2

=−

1

9

− (−

1

16

) = −

𝟕

𝟏𝟒𝟒

Ejercicio 7.

6

= 2 ∫

𝑢 + 5

𝑢

𝑑𝑥 =

𝑢 + 5

𝑢

𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑

𝑎 + 𝑏

𝑐

=

𝑎

𝑐

𝑏

𝑐

= 2 ∫ 1 +

5

𝑢

𝑑𝑢 𝑃𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎

5

𝑢

∫ 1𝑑𝑢 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ∫ 𝑎𝑑𝑥 = 𝑎𝑥

5

𝑢

𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒐𝒔 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔 ∫ 2 ( 𝑥 − 5 + 5 ln │𝑥 − 5│)

8

6

lim

𝑥

8 = (2 ( 𝑥 − 5 + 5 ln │𝑥 − 5│) = (2 ( 8 − 5 + 5 ln(8 − 5)) = 2 (5 ln(3) + 3)

lim

𝑥

6 = = (2 ( 6 − 5 + 5 ln │6 − 5│) = 5 ln(6 − 5) = 0 = 2(0 + 6 − 5) = 2

𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 2 ( 5 ln( 3 ) + 3 ) − 2 = 4 + 10 ln( 3 )

Ejercicios 9.

𝑥

2

+2𝑥

1

0

lim

𝑥

−

−

−

−

−

lim

𝑥

0 (−𝑒

−

∙ 0 − 𝑒

−

) = −

Ejercicio 13

2

ln

2

1

∫ 𝑥

2

ln 𝑥 𝑑𝑥 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑢 = ln(𝑥) , 𝑣

′

= ln

( x

)

3

− ∫

3

=

1

3

3

ln(x) − ∫

2

2

2

𝑎

𝑑𝑥

𝑥

𝑎 + 1

𝑎 + 1

= 𝑎 ≠ − 1

2 + 1

3

1

3

3

ln

x

2

1

lim

𝑥

2 (

1

3

3

ln( 2 ) −

) =

1

3

∙ 2

3

ln( 2 ) =

1 ∙ 2

3

3

ln( 2 ) =

ln( 2 ) −

lim

𝑥

3

ln

3

3

ln

3

ln

∙ 1 ln

𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) =

ln( 2 ) −

− (−

) =

8 ln

−

Ejercicio 15.

2

0

= ∫ −

1

2√𝑢

𝑑𝑢 = −

1

2

∫

1

√𝑢

𝑑𝑢 = −

1

2

∫ 𝑢

−

1

2 𝑑𝑢 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ∫ 𝑥

𝑎

𝑑𝑥

𝑥

𝑎 + 1

𝑎 + 1

= 𝑎 ≠ − 1

=

∙

−

1

2

1

2

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑢 = 16 − 𝑥²

=

1

2

∙

16 − 𝑥²

−

1

2

• 1

=

16 − 𝑥 ²

−

1

2

= 16 − 𝑥 ²

−

1

2

=

1

2

=

√16−𝑥²

1

2

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑

𝑎

𝑏

𝑐

=

𝑎 ∙𝑐

𝑏

= −

√

16 − 𝑥

2

∙ 1 = −

√

16 + 𝑥

2

• 𝑐

𝑬𝒗𝒂𝒍𝒖𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔 ∫ − √16 + 𝑥

2

2

0

lim

𝑥

2( − √16 + 2

2

) = −√16 + 4 = −√12 = 2√

𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒊𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝟎

lim

𝑥

0( − √16 + 0

2

) = −

𝐹(𝑏) − 𝐹

( 𝑎

) = 𝟐

√

𝟑 - 4

Ejercicio 17.

3

2 𝑑𝑥 𝐷𝑒𝑏𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎

4

1

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

∙

1

8

(

2

7

(2𝑥 + 1) 2 −

4

5

(2𝑥 + 1) 2

2

3

(2𝑥 + 1) 2 ) 𝑑𝑣 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑣 = 𝑢 + 1, 𝑢

= 2𝑥

7

2

5

2

3

2

7

2

5

2

3

2

7

2

5

2

3

2

=

1

16

(

(2𝑥 + 1)

7

2

(2𝑥 + 1)

5

2

(2𝑥 + 1)

3

2

)

= 7 (

1

2

2

(2𝑥 + 1)

3

2

1

16

(

6

7

(2𝑥 + 1)

7

2

12

5

(2𝑥 + 1)

5

2

5

2

(2𝑥 + 1)

3

2

) )+ c

𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 ∫ 7𝑥(2𝑥 + 1)

3

2

4

1

lim

𝑛

4 = 7 (

1

2

4

2

(2(4) + 1)

3

2 −

1

16

(

6

7

(2(4) + 1)

7

2 −

12

5

(2(4) + 1)

5

2

5

2

(2(4) + 1)

3

2 ) )

=

4617

5

lim

𝑛

2

3

2 −

7

2 −

5

2

3

2 ) )

=

36√

5

Ejercicio 19.

𝑒

1

ln 𝑥 𝑑𝑥 𝐷𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎

𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑢 = ln 𝑥 , 𝑣

′

= ln 𝑥

3

2

3

2

2

ln

= ∫

2 √𝑥

3

𝑑𝑥 =

2

3

∙ ∫ √

𝑥 𝑑𝑥 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ∫ 𝑥

𝑎

𝑑𝑥

𝑥

𝑎 + 1

𝑎 + 1

= 𝑎 ≠ − 1

1

2

• 1

3

2

3

2

3

2

3

2

ln 𝑥 −

3

2

𝑒

1

ln 𝑥 𝑑𝑥

lim

𝑛

3

2

ln 𝑒 −

3

2

3

2

lim

𝑛

3

2

ln 1 −

3

2

3

2

2

9

4

9

2

9

3

2