MATEM´
ATICAS( 1oGRADO EN BIOLOG´
IA). CURSO 2013-14.
Hoja de PROBLEMAS 3
1. Se administra a un paciente una sustancia cada 4 horas. Llamaremos S(n) la cantidad de sustancia en el
cuerpo en el intervalo n(cada intervalo es de 4 horas); el cuerpo elimina una fracci´on pde la sustancia en
cada intervalo. Si durante cada periodo se administra una dosis D0de sustancia:
a) Determina la ecuaci´on que describe la cantidad de sustancia en el cuerpo en el tiempo.
b) Determina la cantidad total se sustancia en el cuerpo a largo plazo en funci´on dela capacidad del
organismo para eliminarla.
2. En una planicie cercana a un bosque hay dos lagunas a las que van a alimentarse a diario los individuos de
una colonia de p´ajarosque habita en el bosque. Llamaremos A(n) u B(n) la cantidad de p´ajaros que van
el d´ıa na las lagunas A y B, respectivamente. Algunos ejemplares est´an anillados y despu´es de controlar
sus movimientos, los bi´ologos han determinado que en un d´ıa cualquiera
a) La mitad de los p´ajaros que se alimenta en la laguna Air´a al d´ıa siguiente a la laguna B.
b) Un cuarto de p´ajaros que se alimenta en la laguna Bir´a al d´ıa siguiente a la laguna A.
Se pide
a) Determina las ecuaciones que describe la cantidad de p´ajaros en cada una de las lagunas en el tiempo.
b) Escribe el sistema de forma matricial.
c) Si un determinado d´ıa (llamado d´ıa 0) acudieron A(0) = 100 y B(0) = 400 a cada laguna, determina
c´omo se repartir´an entre las dos lagunas en los d´ıas 1,2,3.
d) Relaciona los c´alculos que has hecho en el apartado anterior con las potencias de la matriz de
coeficientes obtenida en el apartado 2.
3. Razona si las siguientes afirmaciones son ciertas:
a) La funci´on arctan(2x) es continua en el x=π/4, pero discontinua en x=−π/4.
b) Los l´ımites laterales de la funci´on cos(3πx + 5) son diferentes en x=pi.
c) Sabemos que l´ımx→∞ f(x) = l´ımx→∞ e−3x= 0 y que l´ımx→∞ g(x) = l´ımx→∞ e−10x= 0, por lo tanto
cualquier funci´on h(x) tal que g(x)< h(x)< f (x) nunca puede ser cero cuando x→ ∞.
d) La funci´on |sin(x)|es discontinua en x= 0.
e) l´ımx→∞ (e−x+ 5arctan(x)·sin(x)) 6= l´ımx→∞ e−x+ 5 l´ımx→∞ arctan(x)·l´ımx→∞ sin(x)
4. Comprueba si la funci´on
f(x) =
ln(x), x > 0
0, x = 0
ln(−x), x < 0
(1)
es continua en todo su dominio.
5. Resuelve las siguientes inecuaciones:
(a)x2+ 3
x−1<2x(b)|2x2−8x+ 3|<3
6. En un experimento metab´olico la masa Mde glucosa decrece de acuerdo con la f´ormula
M= 4,5−0,03t2(ten horas)
Encuentra la velocidad de reacci´on en t= 0, en t= 2, y en el intervalo [0,2].
7. La temperatura del aire T, en grados centigrados, un cierto d´ıa viene dada por
T= 14 + 8sen(π(t−8)
12 )
donde tes el tiempo en horas medido desde medianoche. Encuentra la velocidad de crecimiento de la
temperatura entre las 2.00 y las 14.00 horas. Calcula la tasa de cambio instant´aneo de Ta las 2.00, a las
8.00 y a las 14.00 horas.
