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Matem´aticas Curso 2013-
Primero de Biol´ogicas
Hoja 1: Algebra lineal y din´´ amica de poblaciones
- Resolver los siguientes SEL usando el m´etodo de Gauss:
2 x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 + x 2 − x 3 = 0 3 x 1 + 2x 2 − x 3 = 2
{ x 1 + x 3 − x 4 = 5 x 2 + x 3 + x 4 = 2
x 1 + x 2 − x 3 = 1 x 1 − x 2 + x 3 = 0 x 2 − x 3 = 2
−x 1 + x 2 + x 3 = − 5 x 1 + x 2 − x 3 = 1 x 1 − x 3 = 1
- Realizar las siguientes multiplicaciones de matrices:
( 1 2 1 3 − 1 5 2 − 2
)
;
( 3 2 0 7 − 3 1 − 1 − 2 1 − 3
) .
- Sea A la matriz (^)
Realiza la siguientes multiplicaciones de matrices
A; A
;
A; A
.
- Calcula la matriz ( a b c d
)
tal que: (^) ( a b c d
) ( 3 2 0 − 2 1 4
)
( 5 1 − 4 4 5 4
) .
- Hallar la matriz inversa de: (^) ( 1 2 − 1 4
)
- Las hembras de una poblaci´on se pueden clasificar en dos grupos de edad (hembras j´ovenes y hembras adultas). La matriz de Leslie que describe la evoluci´on de esta poblaci´on es la siguiente: L =
( 2 4 0 , 11 0
)
(a) Si inicialmente hay 100 hembras de cada clase, ¿cu´antas habr´a en el siguiente per´ıodo de tiempo? (b) A largo plazo, ¿cu´al ser´a la tasa de variaci´on de cada uno de los grupos? ¿Se extinguir´a la poblaci´on? (c) A largo plazo, ¿cu´al ser´a la proporci´on de hembras j´ovenes y adultas?
- En cierta especie animal, las hembras se clasifican en juveniles (hasta 1 a˜no de edad) y adultas (de 1 a 2 a˜nos de edad). Solamente el 40% de las hembras j´ovenes sobreviven cada a˜no y pasan a adultas. Tienen una descendencia de 1,1 hembras al a˜no. Las hembras adultas no sobreviven al a˜no siguiente, y tienen una descendencia media de 1,6 hembras cada a˜no. (a) Construir la matriz de Leslie correspondiente a este modelo de evoluci´on. (b) Calcular la tasa de crecimiento o decrecimiento a largo plazo. (c) Calcular la proporci´on aproximada de hembras j´ovenes que formar´an parte de la poblaci´on a largo plazo.
- Se lleva a cabo un estudio sobre una poblaci´on de ballenas azules. Las hembras son clasificadas en cuatro grupos de edad, y sobre cada grupo se obtiene la siguiente informaci´on en t´erminos de fertilidad (n´umero medio de cr´ıas hembras en cada per´ıodo) y en terminos de mortalidad:
grupo de edad: 0 a 3 4 a 7 8 a 11 12 a 15 no. medio de cr´ıas: 0 0’63 1’00 0’ mortalidad: 43% 43% 43% 100%
Formular un modelo matricial para la evoluci´on de esta poblaci´on. Si en un deter- minado momento, la poblaci´on est´a formada por 20, 30, 40 y 20 ballenas hembra de cada tipo de edad, ¿cu´al ser´a la composici´on de la poblaci´on (aproximadamente) al cabo de dos per´ıodos de tiempo?
- En una granja de cr´ıa de cerdos, los animales son clasificados seg´un sus edades de la siguiente forma: - Cochinillos: De 0 a 1 a˜no. - Lechones: De 1 a 2 a˜nos. - J´ovenes: De 2 a 3 a˜nos. - Adultos: De 3 a 4 a˜nos.
El procedimiento de gesti´on de las hembras de la granja es el siguiente:
- Se sacrifica al 60% de las que van naciendo para su consumo como cochinillos.
- Se sacrifica para su consumo a todas las hembras cuando llegan a los 4 a˜nos. No se sacrifica a ninguna de las dem´as, y se supone que ning´un animal muere por otras causas.
10% de la que hay en la balsa. Una depuradora opera en la balsa y trata cada hora el 0′1% del contenido de la balsa con una efectividad del 85% sobre el lodo que trata. Aguas abajo otra depuradora trata todo el caudal de la corriente con una efectividad del 40%. Formula un modelo que estudie cuento tardar´a en reducirse la concentraci´on de t´oxicos en un factor 10 a la salida de la segunda depuradora.
- Supongamos que
A =
( 0 1
- 6 0. 8
)
es la matriz de transici´on de una poblaci´on de cotorras, dividida para su estudio en j´ovenes y adultas.
a) Demuestra que, a la larga, la poblaci´on crecer´a por un factor aproximado de 1.27. b) Los granjeros y otras personas del ´area no quieren que la poblaci´on crezca. Pueden controlarla permitiendo la caza de cotorras adultas. Si h es la pro- porci´on de adultas cazadas en cada per´ıodo, ¿cu´al ser´a ahora la matriz de transici´on? (Observaci´on: La proporci´on h se considera sobre el total de adul- tas al final del periodo, una vez que ya se ha tenido en cuenta la natalidad y la mortalidad debida a otras causas distintas a la caza) c) Prueba que h = 0.6 es una caza demasiado intensiva, es decir, la poblaci´on de cotorras se extinguir´ıa. d) Es posible seleccionar h de manera que la poblaci´on no crezca ni desaparezca. ¿Cu´al ser´ıa ese valor de h? e) Responder a las preguntas anteriores cambiando la matriz A por
A′^ =
(
- 8 1
- 6 0
)
- La oficina de antiguos alumnos de la Universidad observa que, de los alumnos que pagan la cuota anual un a˜no, el 80 % tambi´en la paga el a˜no siguiente mientras que, de los que no la han pagado un a˜no, un 30 % s´ıla pagar´a al siguiente. Estudiar el comportamiento a largo plazo del pago de cuotas.
- En cierto r´ıo hay tres peque˜nas lagunas del mismo tama˜no. Una f´abrica vierte cada semana en la primera de ellas una cantidad c de contaminante altamente soluble en el agua. Si cada laguna desagua semanalmente un 10% de su volumen hacia la siguiente, aguas abajo, encontrar cual ser´a la situaci´on de equilibrio.
