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U N I V E R S I D A D
D E M U R C I A
DEPARTAMENTO DE MATEM ATICAS´
CONJUNTOS Y N UMEROS 2012/2013.´
Hoja 4
- Demostrar que todo subconjunto de Z acotado superiormente (resp. inferior- mente) tiene m´aximo (resp. m´ınimo). Este hecho es conocido como el principio del m´aximo (resp. m´ınimo) en Z.
- Demostrar que Z no est´a acotado superiormente (resp. inferiormente) ni en Q ni en R
- Demostrar que N no est´a acotado superiormente en R. Deducir que R satisface la propiedad arquimediana: dados r, s ∈ R, con r > 0, existe un n´umero natural n ∈ N tal que nr > s.
- Sea r ∈ R. Demostrar que, para un n´umero entero m ∈ Z, las dos siguientes afirmaciones son equivalentes:
a) m ≤ r < m + 1 b) m es el m´aximo del conjunto {a ∈ Z : a ≤ r}.
Deducir que dicho entero m existe siempre y es ´unico. Es llamado la parte entera de r.
- Expresar los n´umeros complejos siguientes en la forma binomial a + bi:
a) (1 + i)^2 b) 1/(1 + i) c) (1 + i)/(1 − 2 i) d ) 1 + i + i^2 + i^3 e) 12 (1 + i)(1 + i−^8 ).
- Calcular el m´odulo y el argumento de los siguientes n´umeros complejos y ex- presarlos entonces en la forma exponencial:
a) − 1 b) −3 +
3 i
c) (− 1 − i)^3 d ) (1 + i)−^2 e) (1 + i)/
- En cada uno de los siguientes apartados, encontrar los n´umeros reales x, y ∈ R que satisfacen las igualdades dadas:
a) x − iy = xx+−iyiy b) |x + iy| = |x − iy| c) x + iy = |x + iy| d )
0 ≤k≤ 100 i
k (^) = x + iy.
- Interpretando los n´umeros complejos como puntos del plano eucl´ıdeo, represen- tar geom´etricamente las regiones del plano dadas por los siguientes subconjuntos de C:
a) {z ∈ C : z + ¯z = 1} b) {z ∈ C : z − z¯ = i} c) {z ∈ C : z + ¯z = |z|^2 } d ) {z ∈ C : | 2 z + 3| < 1 } e) {z ∈ C : |z − i| ≤ |z + i|}
- Sea f (x) = a 0 + a 1 x + · · · + anxn, con an 6 = 0, un polinomio real en la variable x. Demostrar que si z es un n´umero complejo no real tal que f (z) = 0, entonces n > 1 y f (¯z) = 0. Deducir que los ceros complejos no reales de un polinomio real se presentan por pares de complejos conjugados.
- Probar que los ceros en C del polinomio real f (x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 son precisamente las ra´ıces quintas de la unidad que son distintas de 1.
- Pongamos a = cos(^25 π ) y b = sen(^25 π ), de manera que ξ := a + bi es una ra´ız quinta de 1. Demostrar:
a) ξ¯ = ξ^4 y ξ^2 = ξ^3 b)
1 ≤i≤ 4 ξ
i (^) = 2a + 2(a (^2) − b (^2) )
c) 4a^2 + 2a − 1 = 0 d ) Deducir el valor del coseno y el seno del ´angulo de 72o.
- (Problema del primer control, Curso 2010-11) Sea n > 1 un entero positivo fijo y, para cualquier conjunto num´erico K que aparezca en el ejercicio, denotemos por K∗^ el subconjunto de sus elementos no nulos.
donde E(r) denota la parte entera de r, para cualquier n´umero real r. Se pide:
a) Demostrar que R es una relaci´on de equivalencia en A y calcular las clases de equivalencia con respecto a la misma. b) Probar que la relaci´on ≤ en A/R dada por
[z] ≤ [w] ⇐⇒ E(|z|) divide a E(|w|) en N∗
est´a bien definida y es una relaci´on de orden. c) Para el subconjunto X = {[1+2i], [10+12i], [13+16i], [2+3i], [4+4i], [43+ 43 i]} de A/R, calcular, si existen: i) sus cotas superiores e inferiores en A/R; ii) su extremo superior e inferior en A/R; iii) sus elementos maxi- males y minimales; iv) su m´aximo y su m´ınimo.
