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Cap´ıtulo 1
Introducci´on a la teor´ıa de conjuntos.
En Matem´aticas, los conjuntos aparecen inevitablemente, bien de forma expl´ıcita o bien de forma impl´ıcita, y podemos encontrar ejemplos en abundancia. Acabamos de examinar una propiedad ‘de los n´umeros naturales’, el principio de inducci´on, que no es una propiedad de cada n´umero natural (del 1, o del 2, o del 46) sino del conjunto de los n´umeros naturales. Igualmente, cuando se dice que hay “infinitos n´umeros primos”, no expresamos una propiedad de cada n´umero primo, sino del conjunto que forman: “el conjunto de los n´umeros primos es infinito”. Muchos objetos geom´etricos son conjuntos: rectas, planos, circunferencias, cualquier figura geom´etrica es un conjunto de puntos; hablamos del “conjunto de soluciones” de una ecuaci´on o de un sistema de ecuaciones; un espacio vectorial es un conjunto en el que se ha definido una suma y un producto por escalares que cumplen unas ciertas reglas, etc. Sin embargo, el estudio de los conjuntos como objetos matem´aticos en s´ı mismos, es decir, la Teor´ıa de conjuntos como disciplina matem´atica, no aparece hasta la segunda mitad del siglo XIX, creada por G. Cantor. La formalizaci´on de la Teor´ıa de conjuntos como una teor´ıa axiom´atica result´o extremadamente dif´ıcil, pese a lo simple y poco problem´atica que parec´ıa la noci´on de conjunto. Sus primeros desarrollos hicieron aparecer las famosas paradojas de Burali-Forti, de Cantor, de Russell; las discusiones sobre el axioma de elecci´on y la hip´otesis del continuo... (ver [GJPR], [C], [Ap])
Pero lo que a nosotros nos interesa de la Teor´ıa de conjuntos es que proporciona un lenguaje b´asico para formular enunciados y argumentos que el lenguaje ordinario har´ıa farragosos o incom- prensibles. No nos vamos a enfrentar a ella como “estudiosos”, sino como “usuarios”: nos vamos a limitar a una Teor´ıa intuitiva de conjuntos, planteando este cap´ıtulo sustancialmente como el texto [D-H]. Para completar las explicaciones y ver m´as ejemplos, son interesantes [D’A-W], [G-H], [Ham], [Lieb], [S-T], [C], as´ı como [Lip], [O.U.], etc., y son esenciales [Fdez] y [GJPR].
1.1. Conjuntos.
1.1.1. Idea intuitiva de conjunto: pertenencia. Igualdad e inclusi´on entre con-
juntos. Conjunto potencia.
En un enfoque intuitivo de la teor´ıa de conjuntos, como el que aqu´ı vamos a emplear, la noci´on de conjunto no difiere esencialmente de lo que por tal se entiende en el lenguaje ordinario: una colecci´on de objetos, reales o abstractos (los elementos del conjunto) agrupados como un todo, percibidos simult´aneamente como un nuevo objeto. Desde el punto de vista matem´atico, esta descripci´on de lo que entendemos como conjunto no sirve como definici´on: es demasiado vaga e imprecisa, y utiliza otras palabras (‘colecci´on’, ‘agrupamiento’) que no son m´as que sin´onimos de la palabra ‘conjunto’.
14 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS
Tampoco nos ayuda recurrir a los diccionarios; en el de la Real Academia Espa˜nola, por ejemplo, encontramos lo siguiente:
conjunto :... ‖ 4. m. Agregado de varias personas o cosas. ‖... ‖ 6. La totalidad de los elementos o cosas poseedores de una propiedad com´un, que los distingue de otros. Por ejemplo, los n´umeros pares. ‖... ‖ 9. (Mat.) La totalidad de los entes matem´aticos que tienen determinada propiedad. El CONJUNTO de los n´umeros primos. ‖...
Pero tambi´en, a su vez, si continuamos buscando,
agregado :... ‖ 7. Conjunto de cosas homog´eneas que se consideran formando un cuerpo. ‖...
totalidad :... ‖ 3. Conjunto de todas las cosas o personas que forman una clase o especie. La TOTALIDAD de los vecinos. ‖...
Es muy dif´ıcil plantear una definici´on de ‘conjunto’ que no recurra a sin´onimos hasta caer en un c´ırculo vicioso: es un concepto tan b´asico que s´olo podemos dar descripciones aproximativas del mismo. De hecho, cuando fue preciso establecer una teor´ıa de conjuntos rigurosa desde el punto de vista matem´atico, una Teor´ıa axiom´atica de conjuntos, la noci´on de ‘conjunto’ qued´o entre los t´erminos no definidos.^1 Proseguiremos, entonces, con nuestras ideas intuitivas de conjunto y de elementos de un con- junto. Si A es un conjunto y a es uno de sus elementos, diremos que a pertenece a A, y escribiremos
a ∈ A,
mientras que la notaci´on a /∈ A
indicar´a que a no pertenece (no es un elemento) de A. Cuando A es un conjunto con pocos elementos, por ejemplo el de los cinco primeros enteros positivos pares, suele indicarse listando sus elementos entre llaves,
A = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 }.
Pero lo m´as habitual es que los conjuntos vengan descritos por una propiedad que caracteriza a sus elementos: por ejemplo, como citaba el diccionario, el conjunto de todos los enteros positivos pares. Este conjunto se escribe
{x : x es un entero positivo par },
y se lee el conjunto de los x tales que x es un entero positivo par. (^1) Cuando una determinada rama de las matem´aticas se estructura axiom´aticamente, se toman como punto de partida (1) unos t´erminos no definidos (2) unas relaciones no definidas (3) unos axiomas que relacionan los t´erminos no definidos y las relaciones no definidas. A partir de ellos, se van definiendo nuevos t´erminos y se desarrollan teoremas basados en los axiomas o en teoremas anteriores. Por ejemplo, en la geometr´ıa plana eucl´ıdea, ‘punto’ y ‘recta’ son t´erminos no definidos, ‘punto que est´a en una recta’ o, lo que es equivalente, ‘recta que pasa por un punto’, es una relaci´on no definida, y son axiomas, entre otros: ‘Dos puntos distintos est´an en una y una sola recta’ (equivalentemente, ‘por dos puntos distintos pasa una recta y una sola’) ‘Dos rectas distintas no pueden tener m´as de un punto com´un’.
En la Teor´ıa axiom´atica de conjuntos, son t´erminos no definidos ‘elemento’ y ‘conjunto’, la relaci´on no definida es ‘pertenencia de un elemento a un conjunto’, y son axiomas, entre otros, Axioma de extensi´on. Dos conjuntos A y B son iguales si y s´olo si cada elemento que pertenece a A tambi´en pertenece a B y cada elemento que pertenece a B tambi´en pertenece a A. Axioma de especificaci´on. Sea P (x) una afirmaci´on y sea A un conjunto. Existe entonces un conjunto al que pertenecen exactamente los elementos a que pertenecen a A para los que el enunciado P (a) es cierto. Puede verse un comentario m´as amplio sobre los sistemas axiom´aticos en la p´agina web de la asignatura.
16 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS
Ejercicios
1.1. Sea A = { 2 n + 1 : n ∈ N}. Decir si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas, justificando la respuesta:
(i) si x = (2n + 1)^2 para alg´un n ∈ N, entonces x ∈ A.
(ii) si x ∈ A, entonces x = (2n + 1)^2 para alg´un n ∈ N.
(iii) si existen y ∈ A, z ∈ A tales que x = yz, entonces x ∈ A.
(iv) si x ∈ A, entonces existen y ∈ A, z ∈ A tales que x = yz.
1.2. Probar que {a} = {b, c} si y s´olo si a = b = c.
1.3. Probar que {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} si y s´olo si a = c y b = d.
1.4. ¿Cu´ales de los conjuntos A = {x ∈ R : x^2 = 1}, B = {x ∈ R : x^4 = 1}, C = {x ∈ C : x^2 = 1}, D = {x ∈ C : x^4 = 1} son iguales y cu´ales son distintos? ¿Por qu´e? ¿Cu´ales son subconjuntos de otros?
1.5. Demostrar las siguientes igualdades entre conjuntos:
(i) {x ∈ R : x^3 − x > 0 } = {x ∈ R : − 1 < x < 0 o x > 1 }.
(ii) {(x, y, z) ∈ R^3 : x = y, x + y + z = 1} = {(x, y, z) ∈ R^3 : x = t/ 2 , y = t/ 2 , z = 1 − t para alg´un t ∈ R}.
1.6. Dados tres conjuntos A, B, C, si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C.
1.7. ¿Es cierto que A ⊆ B si y s´olo si ℘(A) ⊆ ℘(B)? ¿Por qu´e?
1.8. Sea A 0 = ∅, An = ℘(An− 1 ), n ∈ N. Describir expl´ıcitamente A 1 , A 2 , A 3 , A 4. ¿Cu´antos elementos tiene cada uno de estos conjuntos? ¿Cu´antos elementos crees que tendr´a An para un n arbitrario?
1.1.2. Operaciones con conjuntos: uni´on, intersecci´on, complemento.
Definici´on 1.1.4. Dados dos conjuntos A y B, su uni´on es el conjunto
A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B},
formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos (pueden pertenecer a los dos). La intersecci´on de A y B es el conjunto
A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B},
formado por los elementos que pertenecen simult´aneamente a ambos conjuntos. Si A ∩ B = ∅, diremos que A es disjunto con B (y entonces tambi´en B es disjunto con A). El complementario de B respecto de A es el conjunto
A \ B = {x : x ∈ A y x /∈ B},
formado por los elementos de A que no pertenecen a B. Se le denomina tambi´en la diferencia entre A y B.
1.1. CONJUNTOS. 17
Cuando todos los conjuntos que se manejan son subconjuntos de un conjunto X dado expl´ıci- tamente o inequ´ıvocamente sobreentendido, se pone Ac^ en vez de X \ A, abreviando 〈〈^ el comple- mentario de A respecto de X〉〉^ por el complementario de A, sin m´as.
Diagramas de Venn. Las operaciones con conjuntos permiten realizar “c´alculos” que se intuyen mejor utilizando diagramas de Venn, que consisten en dibujar en el plano regiones, limitadas por circunferencias o curvas adecuadas, que representan a los conjuntos. Por ejemplo, en los diagramas
hemos representado dos conjuntos A y B como las regiones limitadas por una elipse grande y una circunferencia peque˜na. Las zonas rayadas representan, sucesivamente, A, B, A ∪ B, A ∩ B, A \ B.
Los “c´alculos” con conjuntos comparten algunas reglas (¡no todas!) con las operaciones entre n´umeros.
Proposici´on 1.1.5. Dados tres conjuntos cualesquiera A, B y C, se tienen las siguientes igualda- des:
(i) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). (ii) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). (iii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). (iv) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Demostraci´on. Ver [D-H], pp. 10-11. Probaremos, por ejemplo, (iii), es decir, que A ∩ (B ∪ C) y (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) tienen los mismos elementos. Sea x ∈ A ∩ (B ∪ C). Por definici´on, esto significa que x ∈ A y x ∈ B ∪ C. A su vez, esto ´ultimo obliga a que x ∈ B o x ∈ C. En el primer caso, encontramos x ∈ A y x ∈ B simult´aneamente, es decir, x ∈ A ∩ B, y por tanto x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); en el segundo caso, x ∈ A y x ∈ C simult´aneamente, es decir, x ∈ A ∩ C, lo que basta igualmente para que x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). As´ı pues, para todo x ∈ A ∩ (B ∪ C) es tambi´en x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Rec´ıprocamente, sea x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Seg´un la definici´on, esto significa que x ∈ A ∩ B o x ∈ A ∩ C. Si fuese x ∈ A ∩ B, tendr´ıamos x ∈ A y x ∈ B, y si x ∈ B, tambi´en x ∈ B ∪ C, luego x ∈ A y x ∈ B ∪ C simult´aneamente, o sea, x ∈ A ∩ (B ∪ C). Y si fuese x ∈ A ∩ C, razonando an´alogamente vemos que x ∈ A y x ∈ B ∪ C (ahora porque x ∈ C). En cualquier caso, siempre que x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) llegamos a x ∈ A ∩ (B ∪ C).
Finalmente, pues, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Comentario. Usualmente las demostraciones como la que acabamos de hacer se presentan en una forma m´as esquem´atica y menos detallada. Por ejemplo, as´ı:
x ∈ A ∩ (B ∪ C) =⇒
=⇒ x ∈ A
=⇒ x ∈ B ∪ C =⇒
o bien: x ∈ B =x∈⇒A x ∈ A ∩ B
o bien: x ∈ C x =∈⇒A x ∈ A ∩ C
=⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
1.1. CONJUNTOS. 19
En ocasiones se manejan ‘conjuntos de ´ındices’ cualesquiera, no solamente N: por ejemplo, C = {Ax : x ∈ R}, donde Ax = (−∞, x) = {y ∈ R : y < x}. En general, si I es un conjunto no vac´ıo arbitrario, y para cada i ∈ I tenemos dado un cierto conjunto Ai, podemos considerar C = {Ai : i ∈ I} y definir
⋃
i∈I
Ai =
C =
{Ai : i ∈ I},
i∈I
Ai =
C =
{Ai : i ∈ I},
de manera que resultar´a ⋃
i∈I
Ai = {x : x ∈ Ai para alg´un ´ındice i ∈ I}, (1.1) ⋂
i∈I
Ai = {x : x ∈ Ai para todos ´ındices i ∈ I}. (1.2)
Cuando C viene dado de este modo, diremos que se trata de una familia de conjuntos parametrizada por I o con conjunto de ´ındices I. Daremos una definici´on m´as ‘formal’ posteriormente.
Ejemplo. Si C = {Ax : x ∈ R}, donde Ax = (−∞, x) = {y ∈ R : y < x}, es
⋃
x∈R
Ax = R,
x∈R
Ax = ∅.
(¿Por qu´e?)
Proposici´on 1.1.8. Leyes de De Morgan. Dado un conjunto X, sea C = {Ai : i ∈ I} una familia de subconjuntos de X [es decir, C ⊆ ℘(X)] con conjunto de ´ındices I. Entonces
(1)
i∈I Ai
)c
i∈I A c i. (2)
i∈I Ai
)c
i∈I A c i.
Demostraci´on. (1) x ∈
i∈I Ai
)c ⇐⇒ x /∈
i∈I Ai^ ⇐⇒^ para cada^ i^ ∈^ I^ es^ x /∈^ Ai^ ⇐⇒^ para cada i ∈ I es x ∈ Aci ⇐⇒ x ∈
i∈I A
c i. (2) Ejercicio.
Ejercicios
2.1. Sea A un subconjunto de un conjunto dado X. Comprobar que (Ac)c^ = A.
2.2. Probar que dados dos subconjuntos A, B de un conjunto X, entonces X \ A = B si y s´olo si A ∪ B = X, A ∩ B = ∅.
2.3. Dados dos conjuntos A, B, demostrar que: (1) A ⊆ B si y s´olo si A ∪ B = B. (2) A ⊆ B si y s´olo si A ∩ B = A. (3) A ⊆ B si y s´olo si A \ B = ∅.
2.4. Sean A, B, C subconjuntos de un conjunto dado X. Probar que
- A ⊆ C y B ⊆ C simult´aneamente si y s´olo si A ∪ B ⊆ C.
- C ⊆ A y C ⊆ B simult´aneamente si y s´olo si C ⊆ A ∩ B.
- A ∪ B =
{C ⊆ X : A ⊆ C y B ⊆ C simult´aneamente }.
20 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS
4. A ∩ B =
{C ⊆ X : C ⊆ A y C ⊆ B simult´aneamente }.
2.5. Sean A, B, C, D conjuntos tales que A ⊆ B y C ⊆ D. Probar que A ∪ C ⊆ B ∪ D y A ∩ C ⊆ B ∩ D.
2.6. Sean A, B, C subconjuntos de un conjunto dado X. ¿Se deduce de
A ∩ C = B ∩ C A ∪ C = B ∪ C
que A = B? Demostrarlo o dar un contrajemplo.
2.7. Dado un conjunto X, sean A, B, C ⊆ X. (1) Probar que A \ B = A ∩ Bc. (2) Aplicando lo anterior y las leyes de De Morgan, dar otra expresi´on de A \ (B \ C). (3) ¿Es lo mismo A \ (B \ C) que (A \ B) \ C? ¿Por qu´e?
2.8. Dados dos conjuntos A, B, probar que (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B) (este conjunto se denomina diferencia sim´etrica o discrepancia de A y B.)
2.9. Para cada k ∈ N, sea Ak = {n ∈ Z : n ≥ k}. Comprobar que
A 1 ⊇ A 2 ⊇... ⊇ Ak ⊇ Ak+1 ⊇...
y, por tanto,
⋂k n=1 An^ =^ Ak^6 =^ ∅^ cualquiera que sea^ k^ ∈^ N. Sin embargo,
n∈N An^ =^ ∅.
2.10. Para cada n ∈ N, sea An =
[
2 n
]
, Bn =
[
3 n
]
. Comprobar que An est´a estricta-
mente contenido en Bn para todo n. ¿Est´a la uni´on de los An estrictamente contenida en la uni´on de los Bn? (No: probar que
n∈N An^ =^
n∈N Bn^ = [0,^ 1).)
Y para discurrir:
2.11. Sea A 0 = ∅, An = An− 1 ∪ {An− 1 }, n ∈ N. Describir expl´ıcitamente A 1 , A 2 , A 3 , A 4. ¿Cu´antos elementos tiene cada uno de estos conjuntos? ¿Cu´antos elementos crees que tendr´a An para un n arbitrario? ¿C´omo probar´ıas tu conjetura?
2.12. Sea A 1 un conjunto arbitrario, y definamos An+1 = ℘(An), n ∈ N, A =
n An. ¿Es cierto que B ⊆ A si y s´olo si ℘(B) ∈ A?
1.2. Pares ordenados. Producto cartesiano de conjuntos.
El lector ha manejado ya pares ordenados en situaciones concretas: al introducir un sistema de coordenadas en el plano, por ejemplo, cada punto viene representado por un par ordenado (x, y) de n´umeros reales. La diferencia esencial entre el par ‘ordenado’ (x, y) y el conjunto {x, y} (el ‘par sin ordenar’) es que distinguimos (x, y) de (y, x), considerando iguales dos pares (x, y) y (u, v) si y s´olo si x = u, y = v. Ampliando esta idea, podemos considerar pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenezca a un conjunto cualquiera A y su segundo elemento b pertenezca a un conjunto cualquiera B, manteniendo su ‘propiedad caracter´ıstica’:
Criterio de igualdad de pares ordenados. Dados dos conjuntos arbitrarios A, B, y dos pares ordenados (a, b), (a′, b′), con a, a′^ ∈ A, b, b′^ ∈ B, es (a, b) = (a′, b′) si y s´olo si a = a′^ y b = b′.
22 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS
— una traslaci´on por un vector ~v hace corresponder a cada punto P el punto Q tal que
P Q = ~v; — un giro de centro C y ´angulo α ‘transforma’ un punto P del plano en el punto Q tal que los vectores
CP ,
CQ tienen el mismo m´odulo y forman entre s´ı un ´angulo α; — un mapa es una representaci´on de un trozo de la superficie terrestre que hace corresponder a cada punto de ella un punto del mapa; — una funci´on como la ra´ız cuadrada (real), por ejemplo, hace corresponder a cada n´umero real no negativo a otro n´umero real no negativo b cuyo cuadrado b^2 es a; — la relaci´on de paternidad entre personas empareja una persona P con otra persona Q si y s´olo si P es el padre de Q; — la relaci´on de orden ≤ entre n´umeros reales empareja un n´umero real dado a con cada n´umero real b tal que a ≤ b; — ciertos programas inform´aticos (‘procedures’, ‘functions’) asocian a cada input admisible de un determinado tipo de datos, un output del mismo tipo o de otro tipo distinto.
En todos los casos disponemos de un conjunto A del que tomar los objetos (alumnos, n´umeros, puntos, etc.) a los que ‘se hace corresponder’ elementos de un conjunto B (n´umeros, etc.) ‘me- diante un criterio determinado’. Para dar una definici´on matem´aticamente satisfactoria, habr´a que concretar mejor lo que queremos decir con ‘hacer corresponder mediante un criterio determinado’. Y aqu´ı viene en nuestra ayuda el concepto de par ordenado, puesto que, en definitiva, lo que hacemos, eliminando detalles accesorios, es “emparejar cada elemento x de A con cierto (o ciertos) elementos y de B” y “no emparejarlo” con otros: es decir, dentro del conjunto A × B de pares ordenados con primer elemento en A y segundo elemento en B, seleccionamos un subconjunto G de manera que a un x ∈ A corresponda un y ∈ B si y s´olo si (x, y) ∈ G. Por ejemplo, en el caso del NIP, el conjunto A es el de los alumnos de la Universidad de Zaragoza, B puede ser el conjunto de los n´umeros naturales y G = {(x, y) ∈ A × B : y es el NIP de x}; en la traslaci´on por un vector ~v,
A es el conjunto de los puntos del espacio, B tambi´en (B = A), y G = {(P, Q) ∈ A × B :
P Q = ~v}; en la relaci´on de orden entre n´umeros reales, A = B = R, G = {(x, y) ∈ R × R : x ≤ y}, etc.
Como se ve, la noci´on de correspondencia entre conjuntos, dada por un primer conjunto A, un segundo conjunto B y un subconjunto G de A × B, es muy general, casi ‘demasiado’ general. Enseguida se advierten diferencias entre las distintas correspondencias que hemos examinado. En algunas de ellas, un mismo elemento del conjunto A est´a en correspondencia con m´as de un ele- mento de B, por lo que podr´ıamos decir que, en cierto modo, son correspondencias ‘ambiguas’ o ‘indeterminadas’: ¿cu´al es ‘el’ n´umero de tel´efono de un abonado que tenga m´as de un tel´efono? ¿c´omo pensar que una variable f´ısica y ‘depende’ de otra variable f´ısica x si a un mismo valor de x le pueden corresponder varios valores distintos de y? En una correspondencia entre dos conjuntos A y B que evite esa ‘ambig¨uedad’, cada elemento de A tendr´a asociado un solo elemento de B; cuando esto suceda, diremos que la correspondencia es una aplicaci´on. En otras palabras, una aplicaci´on de un conjunto A en un conjunto B es una terna formada por A, B, y un subconjunto G de A × B que cumple la siguiente condici´on: para cada x ∈ A hay un y ∈ B, y s´olo uno, tal que (x, y) ∈ G. (∗) Dicho de otro modo, han de cumplirse dos cosas: (1) a cada x ∈ A, sin excepci´on, le corresponde un elemento y ∈ B tal que (x, y) ∈ G, (2) pero uno nada m´as.
El modelo paradigm´atico de aplicaciones son las funciones, que no son otra cosa que las aplica- ciones entre conjuntos de n´umeros. Buena parte de la nomenclatura y notaciones que usaremos en el estudio de las aplicaciones est´a copiada de las que tradicionalmente empleamos para funciones. Por ejemplo, indicaremos que f es una aplicaci´on entre un conjunto A y un conjunto B poniendo f : A → B, llamaremos a G la gr´afica de f , y en vez de decir que a un x ∈ A le corresponde un y ∈ B mediante la aplicaci´on f , diremos que y es el valor de f en x, escrito y = f (x). Con esta notaci´on, la condici´on (∗) que caracteriza a las correspondencias que son aplicaciones se expresa a veces poniendo que — f (x) est´a definido cuando y s´olo cuando x ∈ A,
1.3. CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES 23
— si x 1 , x 2 ∈ A son tales que x 1 = x 2 , forzosamente f (x 1 ) = f (x 2 ). (Suele decirse que f est´a bien definida en A para indicar abreviadamente que se cumplen estas dos condiciones.)
Las transformaciones geom´etricas tambi´en son ejemplos de aplicaciones, y proporcionan otra manera de interpretar lo que hace una aplicaci´on: una traslaci´on transforma o “convierte” un punto en su trasladado, etc. La idea de transformaci´on o conversi´on aparece tambi´en en contextos no geom´etricos, donde se tienen procesos que pueden representarse mediante un esquema denominado ‘de caja negra’,
entrada −→
caja negra
salida −→
en el que introducimos una ‘entrada admisible’ en la caja negra y obtenemos (sin que nos importe c´omo) una ‘salida’: la ‘caja negra’ puede ser una transformaci´on geom´etrica o una funci´on o una tabla, pero tambi´en puede ser un amplificador, por el que entra una onda y da como respuesta otra onda, o puede ser la cuerda de un instrumento musical, que producir´a al pulsarla, golpearla o frotarla un sonido diferente seg´un sea su longitud, o... (el lector puede inventar sus propios ejemplos). Lo sustancial es la existencia de un conjunto predeterminado de entradas admisibles, y de un emparejamiento de cada uno de ellos con una salida bien definida, perteneciente al mismo o a otro conjunto. Esta interpretaci´on de las aplicaciones tiene su incidencia en el lenguaje: nos referiremos indis- tintamente a f (x) como el valor de f en x o como la imagen de x por f. Con esta nomenclatura, lo que caracteriza de las aplicaciones es (1’) la existencia de imagen para cada elemento de A y (2’) la unicidad de imagen para cada elemento de A.
Por supuesto, hay correspondencias que no son aplicaciones: la correspondencia entre el nombre de una persona y la persona NO es una aplicaci´on (y por eso en el DNI es necesario a˜nadir el n´umero si queremos identificarla); en cambio, S´I es una aplicaci´on la correspondencia entre la persona y su nombre ‘aut´entico’.
La noci´on general de aplicaci´on juega un papel unificador entre las diferentes variantes de la misma que est´an presentes en todas partes de las Matem´aticas: adem´as de las funciones y de las transformaciones geom´etricas, encontramos las aplicaciones lineales en Algebra lineal, las aplica-´ ciones continuas en Topolog´ıa, los homomorfismos en Algebra abstracta, las variables aleatorias en´ Probabilidad, etc. De las propiedades comunes a todas ellas nos ocupamos a continuaci´on.
1.3.2. Aplicaciones: dominio, codominio, gr´afica.
En t´erminos conjuntistas,
Definici´on 1.3.1. Una correspondencia entre dos conjuntos A y B es una terna (A, B, G) formada por el conjunto A, el conjunto B y un subconjunto G del producto cartesiano A × B.
Definici´on 1.3.2. Una aplicaci´on f : A → B es una terna (A, B, Gf ), donde A, B son conjuntos dados, llamados respectivamente el dominio o conjunto inicial y el codominio o conjunto final de f , y Gf , denominado gr´afico o gr´afica de f , es un subconjunto del producto cartesiano A × B tal que para todo x ∈ A existe un elemento ´unico y ∈ B de modo que (x, y) ∈ Gf.
El elemento y un´ıvocamente asociado a x suele denotarse por f (x) y se llama valor de la aplicaci´on f en el punto x o imagen de x por f. En lo sucesivo, pondremos como es costumbre y = f (x) en vez de (x, y) ∈ Gf. Informalmente, dar una aplicaci´on f supone dar:
su dominio de definici´on A = dom f ;
su codominio B;
1.3. CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES 25
1.3.3. Imagen y antiimagen de un conjunto.
La idea visual del ejercicio anterior se acomoda perfectamente con la nomenclatura que vamos a introducir a continuaci´on.
Definici´on 1.3.3. Sea f : A → B una aplicaci´on y sean S ⊆ A, T ⊆ B. Llamamos conjunto imagen de S por f al conjunto
f (S) = {f (x) : x ∈ S} , o, m´as expl´ıcitamente, f (S) = {y ∈ B : existe x ∈ S tal que y = f (x)},
y conjunto antiimagen de T por f al conjunto
f −^1 (T ) = {x : f (x) ∈ T },
que ser´a un subconjunto (eventualmente vac´ıo) de A. Visto elemento a elemento, podemos formularlo abreviadamente as´ı: y ∈ f (S) ⇐⇒ ∃x ∈ S tal que y = f (x); x ∈ f −^1 (T ) ⇐⇒ f (x) ∈ T. El conjunto imagen del dominio de f suele denominarse, simplemente, conjunto imagen de f o rango de f , y se denota a veces im f o rang f ; por tanto, se tiene
im f = f (A) = f (dom f ) = {f (x) : x ∈ dom f }.
Proposici´on 1.3.4. Dada f : A → B, sean A 1 , A 2 ⊆ A, B 1 , B 2 ⊆ B. Entonces:
(i) si A 1 ⊆ A 2 , tambi´en f (A 1 ) ⊆ f (A 2 );
(ii) si B 1 ⊆ B 2 , tambi´en f −^1 (B 1 ) ⊆ f −^1 (B 2 ).
Demostraci´on. (i) Dado y ∈ B, y ∈ f (A 1 ) si y s´olo si existe x ∈ A 1 tal que y = f (x); como A 1 ⊆ A 2 , dicho x pertenecer´a igualmente a A 2 , luego y = f (x) ∈ f (A 2 ). (ii) Ejercicio.
Proposici´on 1.3.5. Dada f : A → B, sean A 1 , A 2 ⊆ A, B 1 , B 2 ⊆ B. Entonces:
(i) f (A 1 ∪ A 2 ) = f (A 1 ) ∪ f (A 2 ).
(ii) f (A 1 ∩ A 2 ) ⊆ f (A 1 ) ∩ f (A 2 ), pudiendo ser f (A 1 ∩ A 2 ) 6 = f (A 1 ) ∩ f (A 2 ).
(iii) f −^1 (B 1 ∪ B 2 ) = f −^1 (B 1 ) ∪ f −^1 (B 2 ).
(iv) f −^1 (B 1 ∩ B 2 ) = f −^1 (B 1 ) ∩ f −^1 (B 2 ).
Demostraci´on. Probaremos solamente (ii), dejando la demostraci´on de (i), (iii), (iv) como ejercicio. De acuerdo con las definiciones anteriores, ser´a:
y ∈ f (A 1 ∩ A 2 ) ⇐⇒ existe x ∈ A 1 ∩ A 2 tal que f (x) = y; (1.3)
y ∈ f (A 1 ) ∩ f (A 2 ) ⇐⇒ y ∈ f (A 1 ) e y ∈ f (A 2 ) ⇐⇒
existe a ∈ A 1 tal que f (a) = y, existe b ∈ A 2 tal que f (b) = y.
A su vez, (1.3) significa que existe un mismo x, que est´a tanto en A 1 como en A 2 , tal que f (x) = y. Por tanto, comparando vemos que (1.3) =⇒ (1.4) sin m´as que tomar a = b = x. As´ı pues, y ∈ f (A 1 ∩ A 2 ) =⇒ y ∈ f (A 1 ) ∩ f (A 2 ), o lo que es lo mismo,
f (A 1 ∩ A 2 ) ⊆ f (A 1 ) ∩ f (A 2 ) como quer´ıamos probar.
Por contra, no est´a claro que funcione la implicaci´on inversa, ya que (en principio al menos) podr´ıamos encontrar f (a) = y = f (b) sin que a = b.
26 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS
'
&
$
%
'
&
$
%
'
&
$
%
'
&
$
%
A f
A 1
A 2
a
c
b
y
y′
XXX B
XXX Xz PP PP PPPq
*
¿Tenemos alg´un contraejemplo sencillo a (1.4) =⇒ (1.3)? S´ı: cualquier aplicaci´on que tenga al menos dos elementos a 6 = b para los que f (a) = f (b); tomando A 1 = {a}, A 2 = {b}, es A 1 ∩ A 2 = ∅, f (A 1 ∩ A 2 ) = ∅, f (A 1 ) = {f (a)} = {f (b)} = f (A 2 ), por lo que
f (A 1 ) ∩ f (A 2 ) = {f (a)} 6 ⊆ ∅ = f (A 1 ∩ A 2 ).
Si queremos dar ejemplos concretos, f puede ser una aplicaci´on constante en un conjunto con m´as de un elemento, o puede ser f : x ∈ R → f (x) = x^2 ∈ R, y entonces podr´ıamos tomar incluso A 1 y A 2 con infinitos elementos e intersecci´on no vac´ıa: por ejemplo, A 1 = (−∞, 1), A 2 = (− 1 , +∞), f (A 1 ∩ A 2 ) = f ((− 1 , 1)) = [0, 1), f (A 1 ) ∩ f (A 2 ) = [0, +∞).
Ejercicio. Con las notaciones de la proposici´on anterior, ¿qu´e relaciones hay entre f (A 1 \ A 2 ) y f (A 1 ) \ f (A 2 )? ¿y entre f −^1 (B 1 \ B 2 ) y f −^1 (B 1 ) \ f −^1 (B 2 )?
1.3.4. Aplicaciones inyectivas, suprayectivas, biyectivas.
Definici´on 1.3.6. Una aplicaci´on f se dice inyectiva si elementos distintos de su dominio tienen im´agenes distintas: es decir, si dados x, y ∈ dom f , de x 6 = y se sigue f (x) 6 = f (y); o, equivalente- mente, si dados x, y ∈ dom f , de f (x) = f (y) se sigue x = y.
Una aplicaci´on inyectiva ‘distingue puntos’, hay unicidad del original (de la antiimagen). Como para toda aplicaci´on f , de x = y se sigue que f (x) = f (y), en definitiva resulta que f es inyectiva cuando y s´olo cuando f (x) = f (y) ⇐⇒ x = y (y por tanto, equivalentemente, cuando y s´olo cuando f (x) 6 = f (y) ⇐⇒ x 6 = y).
Definici´on 1.3.7. Una aplicaci´on f : A → B se dice suprayectiva si f (A) = B (si el conjunto final y el conjunto imagen de f coinciden) ; dicho de otra forma, si cada elemento de B es imagen de alg´un (o algunos) elemento(s) de A, o sea, si para todo b ∈ B existe al menos un a ∈ A tal que f (a) = b. Una aplicaci´on se dice biyectiva si es simult´aneamente inyectiva y suprayectiva. Equivalente- mente, si para todo b ∈ B existe un a ∈ A , y uno s´olo, tal que f (a) = b.
Ejemplos. Si ponemos y = f (x) cuando y sea la madre de x para los x de un cierto conjunto de personas, f s´olo ser´a inyectiva si cada x es hijo ´unico (dos hermanos romper´ıan la inyectividad). Ya dentro de las matem´aticas: para cualquier conjunto A, la aplicaci´on identidad idA : x ∈ A → idA(x) = x ∈ A es trivialmente biyectiva. La aplicaci´on f : N → N tal que f (x) = x^2 para cada x ∈ N es inyectiva, pero no suprayectiva (¿por qu´e?); sin embargo, la aplicaci´on g : Z → Z dada por la misma f´ormula no es inyectiva. La aplicaci´on F : R → R tal que F (x) = ex^ para cada x ∈ R es inyectiva pero no suprayectiva:
28 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS
(iii) Si f es inyectiva,
f
i∈I
Ai
i∈I
f (Ai).
En caso contrario, el contenido del apartado anterior puede ser estricto. (iv) f −^1
i∈I Bi
i∈I f^ − (^1) (Bi).
(v) f −^1
i∈I Bi
i∈I f^ − (^1) (Bi).
Demostraci´on. Examinemos con detalle el caso m´as delicado, la imagen de la intersecci´on (los dem´as se dejan como ejercicios). Seg´un las definiciones,
f
i∈I
Ai
= {f (x) : x ∈
i∈I
Ai} = {f (x) : x ∈ Ai para todos ´ındices i ∈ I},
mientras que ⋂
i∈I
f (Ai) = {y : y ∈ f (Ai) para todos ´ındices i ∈ I}
= {y : hay un x ∈ Ai tal que y = f (x), para todos ´ındices i ∈ I}.
A simple vista, los dos conjuntos parecen iguales, pero hay una diferencia fundamental: le´ıdo con todo cuidado, observamos que el primer conjunto consta de los elementos y de B que son de la forma y = f (x) para un mismo x que est´a simult´aneamente en todos los conjuntos Ai cualquiera que sea i ∈ I, mientras que el segundo consta de los elementos y de B tales que para cada i ∈ I hay un x ∈ Ai, posiblemente distinto para cada i, con y = f (x); empleando cuantificadores en vez del lenguaje ordinario, expresemos de manera m´as clara la ‘peque˜na’ diferencia: dado y ∈ B,
y ∈ f
i∈I
Ai
si y s´olo si ∃x ∈ A tal que y = f (x) y ∀i ∈ I, x ∈ Ai ;
y ∈
i∈I
f (Ai) si y s´olo si ∀i ∈ I, ∃xi ∈ Ai tal que y = f (xi).
La conclusi´on entonces es que se verifica siempre el contenido de (ii). ¿Qu´e a˜nade la condici´on de que f sea inyectiva? Que, desde el momento en que se verifique f (xi) = f (xj ) con xi ∈ Ai, xj ∈ Aj , necesariamente xi = xj ; ahora s´ı podr´ıamos asegurar que si y ∈
i∈I f^ (Ai), existe^ un solo^ x^ tal que^ x^ ∈^ Ai^ e^ y^ =^ f^ (x), y los dos conjuntos son iguales. Pero si suprimimos la inyectividad, ya hemos visto contraejemplos sencillos para familias {A 1 , A 2 } de dos conjuntos.
1.3.6. Composici´on de aplicaciones.
Definici´on 1.3.11. Sean A, B, C conjuntos arbitrarios. Dadas dos aplicaciones f : A → B y g : B → C, la composici´on de f y g, denotada g ◦ f , es la aplicaci´on g ◦ f : A → C dada por
(g ◦ f )(x) = g (f (x))
para cada x ∈ A.
N´otese que, efectivamente, es una aplicaci´on bien definida. En palabras poco precisas, podr´ıamos decir que es el resultado de hacer actuar primero a f y luego a g.
1.3. CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES 29
Gr´aficamente, podr´ıamos reflejar la construcci´on de g ◦ f en el siguiente diagrama:
'
&
$
%
'
&
$
%
'
&
$
%
A (^) f B C
s
g s
x r^ y^ =^ f^ (x)
r
rz = g(y) = g(f (x))
g ◦ f
Nota. En otros contextos, especialmente en An´alisis matem´atico, se usa una definici´on m´as general de la composici´on: dadas dos aplicaciones f : A → B y g : C → D, se define g ◦ f como la aplicaci´on con dominio
dom(g ◦ f ) = f −^1 (C) = f −^1 (dom g)
y codominio D dada por
(g ◦ f )(x) = g (f (x))
para cada x ∈ dom(g ◦ f ). Obs´ervese que tales x son justamente aquellos elementos de A para los que g (f (x)) “tiene sentido”, x ∈ dom(g ◦ f ) ⇐⇒ f (x) ∈ dom g.
Ejemplo. Si f : R → R est´a dada por f (x) = x^2 y g : R → R por g(x) = x √ x^2 + 1
, g ◦ f y f ◦ g
son las aplicaciones de R en R dadas respectivamente por
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x^2 √ x^4 + 1
, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x^2 x^2 + 1
distintas. Hay que ser cuidadoso, por tanto, con el orden de escritura en la composici´on.
1.3.7. Inversa de una aplicaci´on biyectiva. Inyectividad e inversa parcial.
Consideraciones previas
Una correspondencia entre un conjunto A y un conjunto B puede ser “le´ıda al rev´es” para obtener una correspondencia entre B y A. Por ejemplo, si A es un conjunto de mujeres, B el conjunto de todos sus parientes femeninos, y a cada x ∈ A asociamos un y ∈ B si y s´olo si x es hija de y, la correspondencia inversa asociar´ıa un y ∈ B con un x ∈ A si y s´olo si y es la madre de x. Este ejemplo pone de manifiesto que a´un cuando la correspondencia inicial sea una aplicaci´on, no siempre la correspondencia inversa es tambi´en una aplicaci´on: para y ∈ B, es posible que en A encontremos m´as de una hija de y o, en el extremo contrario, puede que no haya en A ninguna hija de y. Vemos as´ı que, si queremos hablar de la aplicaci´on inversa de una aplicaci´on dada f : A → B puede haber dificultades por partida doble: bien porque un elemento y de B aparezca como imagen por f de m´as de un elemento de A (es decir, porque f no sea inyectiva), o bien porque alg´un y de B no sea imagen por f de ning´un elemento de A (es decir, porque f no sea suprayectiva). Hace falta, pues, que f sea biyectiva, y en tal caso podemos construir la aplicaci´on inversa, que denotaremos por f −^1 , con dominio B = codom f y codominio A = dom f , ‘deshaciendo’ la acci´on de f , como mostramos en el siguiente esquema.
1.3. CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES 31
(ii) An´alogamente, la funci´on arco seno no es la inversa de la aplicaci´on f : x ∈ R → f (x) = sen x ∈ R, sino de la aplicaci´on g : x ∈ [−π/ 2 , π/2] → g(x) = sen x ∈ [− 1 , 1].
Proposici´on 1.3.13. Dadas una aplicaci´on f : A → B y una aplicaci´on g, entonces f es biyectiva y g es la inversa de f si y s´olo si se cumplen las siguientes condiciones:
- dom g = B y codom g = A, es decir, g : B → A;
- g(f (a)) = a para todo a ∈ A, es decir, g ◦ f = idA;
- f (g(b)) = b para todo b ∈ B, es decir, f ◦ g = idB.
Demostraci´on. =⇒ Hemos de probar que dadas una aplicaci´on biyectiva f : A → B y la aplicaci´on g = f −^1 inversa de f , han de cumplirse las condiciones 1, 2, 3. De acuerdo con la definici´on previa, g = f −^1 ha de tener dominio B y codominio A, es decir, se cumple la condici´on 1. Para ver que se cumple tambi´en 2 , tomemos un a ∈ A arbitrario: f (a) ser´a un cierto elemento b de B, y g(b) = f −^1 (b) ser´a el ´unico elemento de A cuya imagen por f sea b, es decir, el a de partida. Por tanto g(f (a)) = g(b) = a,
como quer´ıamos probar. En t´erminos de composiciones, g ◦ f = idA (ambas son aplicaciones de A en A que transforman cada a ∈ A en el mismo a). Veamos ahora que es cierto 3. Para b ∈ B arbitrario, g(b) = f −^1 (b) ser´a el ´unico elemento a ∈ A cuya imagen por f sea b, es decir, aqu´el para el que tengamos f (a) = b. Entonces
f (g(b)) = f (a) = b,
y as´ı f ◦ g = idB puesto que ambas son aplicaciones de B en B que transforman cada b ∈ B en el propio b.
⇐= Rec´ıprocamente, supongamos ahora que tenemos aplicaciones f : A → B y g que satisfacen las condiciones 1,2,3. Veamos que f es biyectiva y que su inversa es g. f es inyectiva.- Pues sean a 1 , a 2 ∈ A tales que f (a 1 ) = f (a 2 ). Entonces, aplicando 2 ,
a 1 = g(f (a 1 )) = g(f (a 2 )) = a 2 ,
y as´ı efectivamente f es inyectiva. f es suprayectiva.- Pues sea b ∈ B cualquiera. ¿De qu´e elemento de A ser´a imagen por f? Obviamente, de a = g(b) ∈ A, ya que por la elecci´on de a resulta de 3 que
f (a) = f (g(b)) = b.
g es la inversa de f .- Como acabamos de probar, f es biyectiva, luego tiene aplicaci´on inversa f −^1. ¿Coinciden f −^1 y g? Para ello han de tener el mismo dominio, el mismo codominio, y la misma regla de correspondencia (es decir, tiene que ser f −^1 (x) = g(x) para cada x del dominio). Por definici´on de inversa, f −^1 tiene dominio B y codominio A, igual que g seg´un la condici´on 1 ; y para cada b ∈ B, como f (g(b)) = b (condici´on 3 ), g(b) es el (´unico) elemento de A cuya imagen por f es b, o sea, f −^1 (b): g(b) = f −^1 (b) para cada b ∈ B,
y finalmente g = f −^1.
Cualitativamente, este resultado viene a decir que lo que hace una aplicaci´on (biyectiva) lo deshace su inversa. Adem´as, como los papeles de f y g son intercambiables, se sigue que si f es biyectiva y g es la inversa de f , tambi´en g es biyectiva y f es la inversa de g.
32 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS
Ejercicio. Estudiar para qu´e valores de x ∈ R es
(
x)^2 = x;
x^2 = x;
sen(arc sen x) = x; arc sen(sen x) = x. ¿C´omo encajan los resultados obtenidos con los de la proposici´on anterior?
Ejercicio. Sea E un espacio vectorial de dimensi´on 2 sobre un cuerpo K, {~i,~j} una base de E, y a cada ~v ∈ E de la forma ~v = x~i + y ~j (x, y ∈ K) hagamos corresponder el vector w~ = y~i + x~j. Probar que esta correspondencia es una aplicaci´on bien definida de E en E, que es biyectiva, y hallar su inversa. Si E es el plano real e ~i, ~j son vectores perpendiculares de m´odulo 1, ¿cu´al ser´ıa la interpretaci´on geom´etrica de f?
Concluimos esta secci´on probando un resultado que nos sirve de excusa para presentar uno de los axiomas m´as controvertidos de la Teor´ıa de conjuntos, el axioma de elecci´on.
Proposici´on 1.3.14. Una aplicaci´on f : A → B es suprayectiva si y s´olo si existe una aplicaci´on g : B → A tal que f ◦ g = idB.
Demostraci´on. ⇐= Todo b ∈ B es imagen por f de alg´un elemento a ∈ A: en efecto, bastar´a tomar a = g(b) para obtener f (a) = f (g(b)) = idB (b) = b.
=⇒ Para todo b ∈ B es f −^1 ({b}) = {a ∈ A : f (a) = b} 6 = ∅ por ser f suprayectiva. Dado, pues, b ∈ B, elegimos un a ∈ f −^1 ({b}) que denotamos g(b). Tenemos as´ı bien definida una aplicaci´on g : B → A, tal que para cada b ∈ B es f (g(b)) = b por la propia construcci´on de g, luego f ◦ g = idB para esta aplicaci´on g.
Nota importante: el Axioma de Elecci´on. Esta “inocente” elecci´on de un elemento determi- nado en cada conjunto f −^1 ({b}), b ∈ B, comporta m´as dificultades de tipo l´ogico de las que parece (cf. [C, pp. 50–51, 218–223], [G-H, pp. 96 y ss.]). De hecho, en la Teor´ıa axiom´atica de conjuntos se requiere un nuevo axioma para llevar a cabo este proceso, el llamado AXIOMA DE ELECCI ON´ (abreviado AC, Axiom of Choice en ingl´es), una de cuyas m´ultiples formulaciones es:
Axioma de elecci´on. Dada una familia {Ai : i ∈ I} de conjuntos no vac´ıos disjuntos dos a dos, existe un conjunto S que consiste exactamente en un elemento de cada Ai.^3
Por evidente que parezca este enunciado, se deducen de ´el (en Algebra, en An´´ alisis, en Topolog´ıa, en... ) una serie de consecuencias tan sorprendentes que a su utilizaci´on por Zermelo en 1904 sigui´o una discusi´on que no se aplac´o hasta los resultados de G¨odel en 1940 y de Cohen en 1966. Ver una excelente explicaci´on en [C-H], pp. 241 y ss.; m´as conciso, [Ap], pp. 312–313 y [GJPR], pp. 66–67. Buscando en Internet “Axiom of Choice” se obtiene una lista inacabable de referencias. Para empezar, recomendamos [1], [2].
Ejercicios
4.1. Dados dos conjuntos X e Y , expresar como subconjuntos de X × Y las aplicaciones definidas de la siguiente manera: (1) la aplicaci´on que hace corresponder a todos los x ∈ X un ´unico punto b ∈ Y (la aplicaci´on constante con valor fijo b).
(^3) Es decir, S ⊆ ⋃ i∈I Ai y, para cada i ∈ I, S ∩ Ai es unipuntual.
