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Hoja de Ejercicio 4 Probabilidad, Apuntes de Probabilidad y Procesos Estocásticos

Escuela Politécnica Nacional (EPN)Probabilidad y Procesos Estocásticos

Ejercicios de Probabilidad Hoja 4

Tipo: Apuntes

2019/2020

Subido el 18/02/2022

brandon-ona
brandon-ona 🇪🇨

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
PROBABILI DAD Y ESTADÍSTICA
DISTRIBUC IONES DI SCR ETAS Y CONTINU AS - HOJA 4
Cátedra de Probabilidad y Estadística Enero 2022
1. ¿Qué condiciones para la distribución binomial, si hay alguna, no se cumplen en las siguientes
situaciones?
a) El número de individuos que tienen un resfriado en una reunión familiar a la que asisten
30 personas.
b) Entre los 8 proyectores del departamento, 2 no funcionan de manera adecuada pero no
están marcados como defectuosos. Se seleccionan dos y se registra el número de los que
no funcionan adecuadamente.
Respuesta(s): a) Ensayos no independientes. b) Ensayos no independientes.
2. Se toma una muestra de 5 piezas mecánicas troqueladas en el Taller Mecánico. Se sabe que la
troqueladora arroja 10 % de piezas defectuosas.
a) Determine la probabilidad de que ninguno de los elementos de la muestra esté defectuoso.
b) La probabilidad de que sólo 1 de ellos esté defectuoso.
c) La media y la varianza del número de piezas defectuosas en la muestra.
3. Una variable aleatoria Xtiene una distribución binomial y una variable aleatoria Ytiene una
distribución de Poisson, tanto Xcomo Ytienen medias iguales a 3. ¿Es posible determinar qué
variable aleatoria posee la varianza más grande?. Elija una de las siguientes opciones:
a) Sí, Xtiene una varianza más grande
b) Sí, Ytiene una varianza más grande
c) No, porque se necesitaría conocer la probabilidad de éxito p, para X
d) No, porque se necesitaría conocer el valor de λpara Y
4. Un ingeniero consultor recibe, en promedio, 0.7 solicitudes por semana. Si el número de solici-
tudes sigue un proceso de Poisson, encuentre la probabilidad de que
a) en una semana dada, habrá al menos 1 solicitud;
b) en un periodo dado de 4 semanas, habrá al menos 3 solicitudes.
5. En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar un microcircuito, cada bit tiene la
misma probabilidad de ser 0 o 1. Suponga que los valores de los bits son independientes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean 1?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los bits sean 1?
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¡Descarga Hoja de Ejercicio 4 Probabilidad y más Apuntes en PDF de Probabilidad y Procesos Estocásticos solo en Docsity!

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

DISTRIBUCIONES DISCRETAS Y CONTINUAS - HOJA 4

Cátedra de Probabilidad y Estadística Enero 2022

  1. ¿Qué condiciones para la distribución binomial, si hay alguna, no se cumplen en las siguientes situaciones? a) El número de individuos que tienen un resfriado en una reunión familiar a la que asisten 30 personas. b) Entre los 8 proyectores del departamento, 2 no funcionan de manera adecuada pero no están marcados como defectuosos. Se seleccionan dos y se registra el número de los que no funcionan adecuadamente. Respuesta(s): a) Ensayos no independientes. b) Ensayos no independientes.
  2. Se toma una muestra de 5 piezas mecánicas troqueladas en el Taller Mecánico. Se sabe que la troqueladora arroja 10 % de piezas defectuosas. a) Determine la probabilidad de que ninguno de los elementos de la muestra esté defectuoso. b) La probabilidad de que sólo 1 de ellos esté defectuoso. c) La media y la varianza del número de piezas defectuosas en la muestra.
  3. Una variable aleatoria X tiene una distribución binomial y una variable aleatoria Y tiene una distribución de Poisson, tanto X como Y tienen medias iguales a 3. ¿Es posible determinar qué variable aleatoria posee la varianza más grande?. Elija una de las siguientes opciones: a) Sí, X tiene una varianza más grande b) Sí, Y tiene una varianza más grande c) No, porque se necesitaría conocer la probabilidad de éxito p, para X d) No, porque se necesitaría conocer el valor de λ para Y
  4. Un ingeniero consultor recibe, en promedio, 0.7 solicitudes por semana. Si el número de solici- tudes sigue un proceso de Poisson, encuentre la probabilidad de que a) en una semana dada, habrá al menos 1 solicitud; b) en un periodo dado de 4 semanas, habrá al menos 3 solicitudes.
  5. En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar un microcircuito, cada bit tiene la misma probabilidad de ser 0 o 1. Suponga que los valores de los bits son independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean 1? b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los bits sean 1?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos seis de los bits sean 1? d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los bits sean 1?

  1. Un prominente médico afirma que 70 % de las personas con cáncer pulmonar son fumadores empedernidos. Si su aseveración es correcta, a) encuentre la probabilidad de que de 10 de tales pacientes con ingreso reciente en un hos- pital, menos de la mitad sean fumadores empedernidos; b) encuentre la probabilidad de que de 20 de tales pacientes que recientemente hayan ingre- sado a un hospital, menos de la mitad sean fumadores empedernidos.
  2. Unas figurillas de porcelana se venden a 10 dólares si no tienen imperfección, y a 3 dólares si la presentan. Entre las figurillas de cierta compañía, 90 % no tiene imperfecciones y 10 % sí tiene. En una muestra de 100 figurillas ya vendidas, sea Y el ingreso ganado por su venta y X el número de éstas que no presenta imperfecciones. a) Exprese Y como una función de X. b) Determine μ Y. c) Determine sY. Respuesta(s): a) Y = 7 X + 300 b) $930 c) $
  3. Cierto cargamento viene con la garantía de que contiene no más de 15 % de unidades defec- tuosas. Si la proporción de unidades defectuosas es mayor a 15 %, aquél será regresado. Se extrae una muestra aleatoria de diez unidades. Sea X el número de unidades defectuosas en la muestra. a) Si, de hecho, 15 % de las unidades en el cargamento está defectuoso (por lo que apenas el cargamento es aceptable), ¿a qué es igual P(X > 7 )? b) Con base en la respuesta del inciso a), si 15 % de las unidades del cargamento está de- fectuoso, ¿siete piezas defectuosas en una muestra de diez es un número inusualmente grande? c) Si se descubre que siete de las diez unidades de la muestra está defectuoso, ¿esto sería una evidencia de que se debe regresar el cargamento? Explique. d) Si, de hecho, 15 % de las unidades en el cargamento está defectuoso, ¿a qué es igual P(X > 2 )? e) Con base en la respuesta al inciso b), si 15 % de las unidades del cargamento está defec- tuoso, ¿dos muestras defectuosas entre diez sería un número inusualmente grande? f ) Si se descubre que dos de las diez unidades de la muestra están defectuosas, ¿ello sería una evidencia de que se debe regresar el cargamento? Explique. Respuesta(s): a) 1.346 · 10 −^4 b) Sí, sólo aproximadamente 13 o 14 de cada 100 000 muestras de tamaño 10 tendrían siete o más unidades defectuosas. c) Sí, debido a que siete unidades en una muestra de tamaño 10 es un número inusualmente

f) No, debido a que seis partículas en una muestra de 1 mL no es un número inusualmente pequeño si la media de la concentración es de siete partículas por mL.

  1. Un semáforo localizado en cierta intersección está en verde 50 % de las veces, en ámbar 10 % y en rojo 40 %. Un automóvil pasa por esta intersección una vez al día. Sea X el número de días que ha transcurrido, incluyendo la primera vez que el automóvil se topa con una luz roja. Suponga que cada día representa un experimento independiente. a) Determine P(X > 3 ). b) Determine P(X 6 3 ). c) Determine μ X. d) Determine s^2 X
  2. Una fuerza de tarea gubernamental sospecha que algunas fábricas infringen los reglamentos federales contra la contaminación ambiental en cuanto a la descarga de cierto tipo de producto. Veinte empresas están bajo sospecha pero no todas se pueden inspeccionar. Suponga que 3 de las empresas infringen los reglamentos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la inspección de 5 empresas no encuentre ninguna infrac- ción? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el plan anterior encuentre a dos que infringen el regla- mento? Respuesta(s): a) 0.3991; b) 0.
  3. Los baches en ciertas carreteras pueden ser un problema grave y tener la necesidad constante de repararse. Con un tipo específico de terreno y mezcla de concreto, la experiencia sugiere que hay, en promedio, 2 baches por milla después de cierta cantidad de uso. Se supone que el proceso de Poisson se aplica a la variable aleatoria “número de baches”. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no más de un bache aparezca en un tramo de una milla? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no más de 4 baches ocurrirán en un tramo dado de 5 millas?
  4. En las revisiones de equipaje en el aeropuerto se sabe que 3 % de la gente inspeccionada lleva objetos cuestionables en su equipaje. ¿Cuál es la probabilidad de que una serie de 15 personas cruce sin problemas antes de que se atrape a un individuo con un objeto cuestionable? ¿Cuál es el número esperado en una fila que pasa antes de que se detenga a un individuo?
  5. Un candidato invitado para una visita tiene probabilidad de 0.6 de ser contratado. Sea X el número de candidatos que visitan antes de contratar a 2. Encuentre a) P(X 6 4 ); b) P(X > 5 ).
  1. En una caja hay 20 pelotas entre las cuales 15 son nuevas y 5 usadas. Para un juego se escogieron al azar dos pelotas que, una vez terminado el juego, se volvieron a colocar en la caja. Luego para un segundo juego se extraen dos pelotas una vez más. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo juego se lleve a cabo con pelotas nuevas? Respuesta(s): 0.
  2. Una empresa elabora ladrillos prensados para acabados de la construcción de los cuales, se sabe, que el 10 % de la producción presenta algún defecto en su fabricación. a) Para un proceso de control de calidad, toman al azar 10 ladrillos, calcule la probabilidad de que al menos 9 ladrillos no tengan defecto alguno. b) La empresa envía lotes empacados de 30 ladrillos a sus clientes. Sabiendo que, si al ins- peccionar el cliente al azar 8 ladrillos de un lote enviado, encuentra 2 o más ladrillos con algún defecto les devuelven el lote, cuál es la probabilidad de que no se rechace el envío. c) El cliente necesita 12 ladrillos sin defectos. Calcule la probabilidad de que tenga que ins- peccionar máximo 14 ladrillos para obtener lo que necesita. d) Para elaborar ladrillos refractarios, estos pasan por un horno de banda a altas tempera- turas a un promedio de 6 ladrillos cada 2 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que no ingrese ningún ladrillo en 1 minuto en el horno?.
  3. Cierto tipo de disco magnético debe funcionar en un ambiente donde está expuesto a gases corrosivos. Se sabe que 10 % de estos discos tiene tiempos de vidas menores que o iguales a 100 horas, 50 % lo tiene mayor a 100 horas, pero menor o igual a 500, y 40 % incluye tiempos superiores a 500 horas. Sea Z el número de horas en tiempo de vida de un disco elegido alea- toriamente. ¿Z es continua o discreta? Determine P(Z 6 500 ). ¿Se pueden calcular todas las probabilidades para Z? Explique.
  4. Un embarque de 8 microcomputadoras similares para una tienda al detalle contiene 3 que están defectuosas. Si una escuela hace una compra al azar de dos de estas computadoras, encuentre la distribución de probabilidad para el número de defectuosas.
  5. Si una agencia automotriz vende 50 % de su inventario de cierto vehículo extranjero equipado con bolsas de aire, encuentre una fórmula para la distribución de probabilidad del número de automóviles con bolsas de aire entre los siguientes 4 vehículos que venda la agencia.
  6. La proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la función de densidad

f (x) =

2 (x + 2 ) 5 si 0^ <^ x^ <^ 1, 0 en cualquier otro caso.

a) Muestre que P( 0 < X < 1 ) = 1. b) Encuentre la probabilidad de que más de 14 pero menos de 12 de las personas contactadas respondan a este tipo de encuesta.

a) Encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de 3 minutos nadie entre a la far- macia. b) Encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de 3 minutos entren más de 5 per- sonas a la farmacia. Respuesta(s): a) 0.0067; b) 0.

  1. En ciudades grandes los administradores de los hospitales se preocupan por la cuestión del tráfico de personas en las salas de urgencias de los nosocomios. Para un hospital específico en una ciudad grande, el personal disponible no puede alojar el tráfico de pacientes cuando hay más de 10 casos de emergencia en una hora dada. Se supone que la llegada del paciente sigue un proceso de Poisson y los datos históricos sugieren que, en promedio, llegan 5 emergencias cada hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora dada el personal no pueda alojar más al tráfico? b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 20 emergencias lleguen durante un turno de 3 horas del personal? Respuesta(s): a) 0.0137; b) 0.
  2. En una sala de cine hay n + k butacas y entran n personas y se sientan al azar. Calcular la probabilidad de que estén ocupados m puestos señalados en la sala, con m 6 n.
  3. Se tienen dos buses de pasajeros. En el primero hay 19 hombres y una mujer. El segundo bus tiene 15 pasajeros hombres. Por motivos de espacio, del primer bus se bajan al azar 5 pasajeros y suben al segundo bus. Sucede luego un imprevisto y al azar bajan 8 pasajeros del segundo bus y regresan al primer bus. ¿Cuál es la probabilidad de que la pasajera mujer continúe en el primer bus?
  4. Hace unos años atrás, se realizó un estudio de prueba de producto dejando la muestra en el hogar para que lo utilicen durante 1 semana. Se calculó una muestra de 200 hogares para la prueba y los análisis, pero, considerando que no todos los hogares lo utilizarían por diferentes razones con una probabilidad de no uso de p = 0.2, se hizo la entrega en 250 hogares. ¿Cuál es la probabilidad de cumplimiento efectivo de la muestra calculada?
  5. Con base en las propiedades de variables aleatorias y la ley normal de probabilidades pruebe que (^) ∫ +∞ −∞^ exp(−^4 x

(^2) + 16 x − 16 ) dx = 2 √ π

  1. El diámetro, x de un círculo mide aproximadamente 5 ≤ x ≤ 6 cm. Considerando el diámetro como una magnitud aleatoria X distribuida uniformemente en el intervalo [5, 6]. Halle a) La probabilidad de que el diámetro sea mayor que 5.8 cm. b) La esperanza y la varianza del área del círculo.
  1. Un científico ecologista está preocupado por la tasa a la que se absorbe cierta solución tóxica en la piel. Sea X el volumen en microlitros de la solución absorbida por 1 pulg^2 de piel en 1 min. Suponga que la función de densidad de probabilidad de X se aproxima bien por la función

f : R −→ R x 7 −→ e

− (x− 810 )^2 2

2 π a) Determine la media del volumen absorbido en 1 min. b) Determine la desviación estándar del volumen absorbido en 1 min. Respuesta(s): a) 10; b) 2

  1. Dada la variable X normalmente distribuida con media 18 y desviación estándar 2.5, encuentre

a) P(X < 15 ); b) el valor de k tal que P(X < k) = 0.2236; c) el valor de k tal que P(X > k) = 0.1814; d) P( 17 < X < 21 ). Respuesta(s): a) 0.1151; b) 16.1; c) 20.275; d) 0.

  1. Un abogado viaja todos los días de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje sólo de ida es 24 minutos, con una desviación estándar de 3. minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos 1/2 hora? b) Si la oficina abre a las 9:00 A.M. y él sale diario de su casa a las 8:45 A.M., ¿qué porcentaje de las veces llegará tarde al trabajo? c) Si sale de su casa a las 8:35 A.M. y el café se sirve en la oficina de 8:50 A.M. a 9:00 A.M., cuál es la probabilidad de que se pierda el café? d) Encuentre la longitud de tiempo por arriba de la cual encontramos e1 15 % de los viajes más lentos. e) Encuentre la probabilidad de que 2 de los siguientes 3 viajes tomen al menos 1/2 hora. Respuesta(s): a) 0.0571; b) 99.11 %; c) 0.3974; d) 27.952 minutos; e) 0.
  2. Se hace una perforación cilíndrica en un molde y se coloca un pistón cilíndrico en la perforación. La holgura es igual a la mitad de la diferencia entre los diámetros de la perforación y el pistón. El diámetro de la perforación se distribuye normalmente con media de 15 cm y desviación estándar de 0.025 cm, y el diámetro del pistón se distribuye con media 14.88 cm y desviación estándar 0.015 cm. a) Determine la media de la holgura. b) Determine la desviación estándar de la holgura.

b) En una escuela secundaria hay 300 chicos de 14 años. Determine la probabilidad de que por lo menos 8 niños tengan un nivel de colesterol que exceda 230. Respuesta(s): a) 0.0228; b) 0.

  1. Una prueba de opción múltiple tiene 200 preguntas, cada una de las cuales con 4 respuestas posibles de las que sólo 1 es la correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que solamente adivinando se obtengan de 25 a 30 respuestas correctas para 80 de los 200 problemas, sobre los que el estudiante no tiene conocimientos? Respuesta(s): 0.
  2. Un par de dados se lanza 180 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra un total de 7 al sumar los valores de sus caras en un lanzamiento a) al menos 25 veces? b) entre 33 y 41 veces inclusive? c) exactamente 30 veces?
  3. Si una variable aleatoria X tiene una distribución gamma con α = 2 y β = 1, encuentre P(1.8 < X < 2.4). Respuesta(s): 0.
  4. La longitud de tiempo para que un individuo sea atendido en una cafetería es una variable alea- toria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabi- lidad de que una persona sea atendida en menos de 3 minutos en, al menos, 4 de los siguientes 6 días? Respuesta(s): 0.
  5. Cierta masa radiactiva emite partículas alfa periódicamente. El tiempo entre emisiones, en se- gundos, es aleatorio, con función de densidad de probabilidad:

f (t) =

0.1e−0.1t^ si x > 0, 0 si x ≤ 0.

Determine la esperanza, varianza y la mediana del tiempo entre emisiones. Determine el 60avo. percentil de los tiempos.

  1. En una actividad de investigación biomédica se determinó que el tiempo de supervivencia, en semanas, de un animal cuando se le somete a cierta exposición de radiación gamma tiene una distribución gamma con α = 5 y α = 10. a) ¿Cuál es el tiempo medio de supervivencia de un animal seleccionado al azar del tipo que se utilizó en el experimento? b) ¿Cuál es la desviación estándar del tiempo de supervivencia? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un animal sobreviva más de 30 semanas? Respuesta(s): a) 50; b)

500; c) 0.

  1. El tiempo de respuesta de una computadora es una aplicación importante de las distribuciones gamma y exponencial. Suponga que un estudio de cierto sistema de computadoras revela que el tiempo de respuesta, en segundos, tiene una distribución exponencial con una media de 3 segundos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta exceda 5 segundos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta exceda 10 segundos? Respuesta(s): a) 0.1889; b) 0.
  2. Un sistema usa un componente cuya duración en años es una variable aleatoria con distribución exponencial con media de 4 años. Si se instalan 3 de estos componentes y trabajan independien- temente, determine la probabilidad que al cabo de 6 años, dos de ellos sigan funcionando.
  3. La llegada de los barcos a un puerto tiene distribución de Poisson con media de 4 por día. Calcule la probabilidad que el tiempo transcurrido entre la llegada de dos barcos consecutivos en algún día sea menor a 4 horas.
  4. Se sabe que históricamente la concentración de contaminantes producidos por plantas quími- cas exhiben un comportamiento que se parece a una distribución logarítmica normal. Esto es importante cuando se consideran problemas respecto de la obediencia de las regulaciones gu- bernamentales. Suponga que la concentración de cierto contaminante, en partes por millón, tiene una distribución logarítmica normal con parámetros μ = 3.2 y σ = 1. ¿Cuál es la probabili- dad de que la concentración exceda 8 partes por millón? Respuesta(s): 0.
  5. El número de automóviles que llegan a cierta intersección por minuto tiene una distribución de Poisson con una media de 5. El interés se centra alrededor del tiempo que transcurre antes de que 10 automóviles aparezcan en la intersección. a) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 automóviles aparezcan en la intersección du- rante cualquier minuto dado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se requieran más de 2 minutos antes de que lleguen 10 automóviles? c) ¿Cuál es la probabilidad de que transcurra más de 1 minuto entre llegadas? d) ¿Cuál es el número medio de minutos que transcurren entre llegadas?
  6. Se sabe que un satélite controlado tiene un error (distancia del objetivo) que se distribuye nor- malmente con media cero y desviación estándar de 4 pies. El fabricante del satélite define un “éxito” como un disparo en el cual el satélite llega a 10 pies del objetivo. Calcule la probabilidad de que el satélite falle. Respuesta(s): 0.
  7. Suponga que la proporción de embarques defectuosos de un proveedor, que varía un poco de embarque a embarque, puede considerarse como una variable aleatoria que tiene la distribu- ción beta con α = 1 y β = 4.