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Probabilidad Conjunta y Condicional

(Probabilidad Conjunta)

• Probabilidad Condicional
• Probabilidad Total
• Teorema de Bayes

1

2

[...] Quiero decir, para

empezar: ¿a quién le importa

si saco una bola blanca o unabola negra de una urna? Y

segundo: si tan preocupado

estás por el color de la bolaque sacas, no lo dejes en

manos del azar: ¡mira en la maldita urna y saca la bola

del color que quieras!

(suponemos) de pasar por un curso^ Stephanie Plum , después

de probabilidad y estadística.

Probabilidad condicional

4

Lanzamos dos dados, uno rojo y otro blanco.

¿Cuál es la probabilidad de que sumen 3?

x x

P ( 3 )  2 / 36

5

Supongamos que hemos lanzado ya el dado rojo y ha salido

un 1. ¿Cuál es ahora la probabilidad de que sumen 3?

x

P ( desuma 3 | dado rojo 1 )  1 / 6

7

B.R sexoH edad 18 C.G^ C.C^ MH 1919 M.P^ G.P^ MM^2021 L.A.^ J.L^ MH^2021 N.D V.C MH 2122 L.L.^ V.F.^ HH^1918 J.N. J.P. MM (^2121) U.P M 18

Sucesos A = ser hombre (H) B = edad 20

A Ac

B Bc Probabilidades P( A ) =

P( B ) = 6/14 = 0.436/14 = 0.

P(A P(A  BB ) =) = 4/14 = 0.

P(A B ) = 4/6 = 0.

P( A ) + P( B ) - P(A  B )

Intuir la probabilidad condicional

8

A

P(A)P(B) = 0,25= 0, P(A ∩ B) = 0,

A

P(A|B)=1^ ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=0,

P(A) P(B) = 0,25= 0, P(A ∩ B) = 0,

B B

Probabilidad condicional

< W ,F , P > Espacio probabilístico A,B  F P(B)  0 Probabilidad de un suceso A sabiendo que se ha producido un suceso B:

10

( )

( | ) ( ) P B

P A B  P A  B

Probabilidad condicional

Es una “auténtica” probabilidad (tres axiomas):

11

(1) No negatividad: 0 ≤ P(A/B) (2) Normalización: (3) Aditividad: P(A  P(C / B) = P(A/B) + P(C/B) S/B ) = P( S ∩ B )/ P( B ) = si A ∩ C = Ø incompatibles (excluyentes) (donde Ø es el conjunto vacío)

 

( )

( ) ( ) ( / ) ( )

luego

( )

ycomo entonces

( )

) ( ( / ) ( )

P B

P C B P B P A C B P A B

A B (C B) A C B

A C

P B

P A B C B P B P A C B P A C B

   ^ 

      

 

        



¿Cuál es la probabilidad de que una carta escogida al azar sea un as sabiendo que es roja?

13

Espacio restringido

Palo (^) Rojo^ Color Negro Total As 2 2 4 No-As 24 24 48 Total 26 26 52

26

2 26 / 52

2 / 52 ( ) ( | )  (  )   P Rojo P As Rojo P As Rojo

¿Y la probabilidad de que una carta escogida al azar sea roja sabiendo que es un as?

Probabilidad Conjunta y Condicional

(Probabilidad Conjunta)

(Probabilidad Condicional)

• Probabilidad Total
• Teorema de Bayes
• Teorema de la multiplicación

14

Partición de un espacio muestral

16

A 3 A 4

A 1

A 2

B = (B  A 1 ) U (B  A 2 ) U ( B  A 3 ) U ( B  A 4 )

< un espacio muestral S ,F , P > Espacio probabilístico ligado a B A1, A2, A3,...... An  F { A1, A2, A3,...... An } es una partición de S si y solo si:

) S

)  1 

     i

n i

i j ii A

B i A A^  i j

Teorema de la probabilidad total

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A 1 A 2

A 3 A 4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistemaexhaustivo y excluyente de sucesos, entonces podemos calcular la probabilidad de B como la suma:

P(B) = P(B  A 1 ) + P(B  A 2 ) + P( B  A 3 ) + P( B  A 4 )

P(B) = P(B|A 1 )P(A 1 ) + P(B|A 2 )P(A 2 ) + P(B|A 3 )P(A 3 ) + P(B|A 4 )P(A 4 )

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Demostración

Teorema de la probabilidad total

        

B A B A B A A B

B B B A B A

i j i j

in i in i

S ( 1 ) 1 ( )

A 1 A 2

A 3 A 4

B

n

P B i P B Ai

1^ i

n i i^

P B  P B A P A



Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son hombres.

De ellos el 10% son fumadores. El 20% de las mujeresson fumadoras.

 ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?

20

Mujeres

Hombres

Fumadores

Podemos aplicar la ley de la probabilidad total: Hombres y mujeres forman un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos.