Matem´aticas. Grado en Ciencias Ambientales
Hoja de problemas 5. Curso 2011/12
C´alculo de primitivas.
1. Calcular las siguientes primitivas inmediatas:
a)Zx3
3−2
x2dx b)Z1
x2−4
x√x+ 2 4
√xdx
c)Z√3x−2dx d)Z(5x−1)3dx
e)Zsen(3x−2) dx f)Zsen2xcos x dx
g)Zcos(ln x)
xdx h)Zx
x2+ 1 dx
2. Usando la integraci´on por partes,
calcular las siguientes primitivas:
a)Zxsenx dx b)Z(x+ 1) cos x dx
c)Zx2ln x dx d)Zxexdx
e)Zsen(3x−2) dx f)Zsen2xcos x dx
g)Zarctan x dx h)Zx
cos2xdx
3. Usando la t´ecnica de cambio de vari-
able, calcular las siguientes primitivas:
a)Z√ln x
xdx b)Zex−e2x
1 + exdx
c)Zx
√x−1dx d)Z4
√x
1 + √xdx
e)Zsen3x
cos xdx f)Zcos x
sen2x−2senx+ 1 dx
g)Ze−x
1−e−2xdx h)Zdx
px(4 −9x)dx
Propiedades b´asicas de la integral definida.
1. En los ejercicios siguientes esbozar la gr´afica de la
regi´on cuya ´area representa la integral y calcular su
´area
a) Z3
1
4dx b) Z3
0
(x+ 2) dx
c) Z3
1
(2x−1) dx d) Z2
0
(x+ 4) dx
e) Z4
3
(x2−9) dx f) Z2
−1
(−x2+x+ 2) dx
2. Sabiendo que Z3
0
f(x)dx = 4 y Z6
3
f(x)dx =−1,
hallar:
a) Z6
0
f(x)dx b) Z3
6
f(x)dx
c) Z3
3
f(x)dx d) Z6
3−5f(x)dx
3. Sabiendo que Z6
2
f(x)dx = 10 y Z6
2
g(x)dx =−2,
hallar:
a) Z6
2
[f(x) + g(x)] dx b) Z6
2
[g(x)−f(x)] dx
c) Z6
2
2g(x)dx d) Z6
2
3f(x)dx
4. La gr´afica de y=x4−2x2+ 1 y la de y= 1 −
x2se cortan en tres puntos. Sin embargo, el ´area
entre ellas se puede calcular con s´olo una integral.
Explicar por qu´e y escribir esa integral.
5. El ´area de la regi´on comprendida entre las gr´aficas
de y=x3ey=xno se puede calcular mediante
la integral ´unica Z1
−1
(x3−x)dx. Explicar la raz´on.
Usando las simetr´ıas de las dos fuciones, calcular el
´area mediante una ´unica integral.
C´alculo de ´areas, longitudes y vol´umenes.
6. Calcular las siguientes ´areas
(a) ´
Area limitada por la funci´on f(x) = exy el eje
OX, entre las abcisas x= 0 y x= log 2.
(b) ´
Area limitada por y=x2, la recta y=−x+ 2
y el eje de abcisas.
(c) ´
Area comprendida entre la par´abola x= 8 +
2y−y2y el eje OY, entre las ordenadas y=
−1e y = 3.
(d) ´
Area limitada por las curvas f(x) = x2exy
g(x) = ex.
(e) ´
Area limitada por las curvas y=x2+ 2x, y =
x2+ 4xey=−x.
(f) ´
Area limitada por f(x) = ex(1 −x), g(x) =
x−1 y el eje OY.
7. Calcular las longitudes de las curvas que se indican.
(a) Longitud de la circunferencia de radio r.
(b) Longitud del segmento de recta que une los
puntos (a, A) y (b, B).
(c) Longitud del arco de par´abola y=x2compren-
dido entre x=−1 y x= 1. Utilizar la f´ormula
de los trapecios para aproximar el valor con 3
cifras decimales exactas.
(d) La forma de un cable que cuelga suspendida de
sus extremos situados en x=−Myx=M
viene dada por la curva llamada catenaria,
c(x) = eax+e−ax
2a, siendo auna constante pos-
itiva. Calcular la longitud del cable requerido
por la v´ıa del AVE de Sevilla a Madrid, sabi-
endo que M= 50m, y a= 0.03.
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