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Matemáticas II
TEMA 8 : Cálculo de primitivas
- Primitiva de una función.
En este tema vamos a ver el proceso contrario al cálculo de la derivada de una función.
Este proceso se conoce como cálculo de la primitiva de una función.
Definición.
Dada una función f definida en un intervalo, la función F(x) es una primitiva de la
función f si se cumple que: F ´( ) x = f ( ) x , para cualquier número x de ese intervalo.
F ( ) x es primitiva de f ( ) x si F ´( ) x = f ( ) x
Nota.
La función primitiva de una función no es única, puesto que si F ( ) x es una primitiva
de f ( ) x , se verifica que la función F ( ) x + C también lo es, siendo C un número real
cualquiera.
Así, como la constante C puede tomar cualquier valor real, hay infinitas primitivas
F ( ) x + C de la función f ( ) x dada. Para identificar una de las primitivas es necesario conocer
el valor de la constante C.
Ejemplo. f ( ) x = x Las primitivas serán ( ) C
x F x = + 2
2 , C R
Para hallar la primitiva que pasa por el punto ( 2 , 8 )sustituimos x por 2 y F ( ) x por 8 y
calculamos C. ( ) 8 2 8
2
2 2 8
2 F = → + C = → + C = C = 6.
- Integral indefinida.
El conjunto de todas las primitivas de una función f ( ) x se representa por ( )
f xdx
y
se denomina integral indefinida de f. f ( ) xdx = F ( ) x + C
El símbolo
se denomina símbolo de integral. Tras el símbolo aparece el integrando,
compuesto por la función que deseamos integrar y el símbolo dx, que nos indica la variable de
la función que se integra.
Ejemplo. xdx = senx + C cos
Matemáticas II
Propiedades de la integral indefinida.
Las propiedades que se cumplen para las derivadas se mantienen para las integrales, así:
- ( ( ) ( )) ( ) ( ) f x +^ gx dx = f xdx + gxdx
- ( ) ( ) k ^ f xdx = k f xdx - ( ) ( ) ( ) ( ) f x ^ gx dx f xdx gxdx -
^ gxdx
f xdx dx gx
f x
Primitivas o integrales inmediatas.
Tipos Simple Compuesta
Potencial C n
x x dx
n n
=
1
1 C n
f f fdx
n n
1
1
Logarítmica dx x C x
=ln +
dx f C f
f =ln +
Exponencial
e dx e C
x x = + e^ fdx e C
f f ´ = +
C
a
a a dx
x x = + ln
C
a
a a f dx
f f = + ln
Seno cos xdx = senx + C cos( f ) f ´ dx = sen ( f )+ C
Coseno senxdx^ =−cos x + C sen (^^ f )^ f ´ dx =−cos(^ f )+^ C
Tangente
xdx = tgx + C
2
sec ( f ) fdx = tg ( f )+ C
sec ´
2
(^ + tg^ x ) dx = tgx +^ C
2 (^1) ( 1 + tg ( f )) f ´ dx = tg ( f )+ C
2
dx tgx C x
2 cos
dx tg (^ f ) C
f
f 2 = + cos
Arco seno
dx arcsenx C x
= + −
(^2) 1
1
dx arcsen ( f ) C
f
f = + −
(^2) 1
C
a
x dx arcsen a x
(^22)
C
a
f dx arcsen a f
f +
(^22)
Arco tangente
dx arctgx C x
2 1
dx arctg ( f ) C
f
f = +
2 1
C
a
x arctg a
dx a x
2 2 C
a
f arctg a
dx a f
f +
2 2
Cotangente
cos^ ec^ xdx =−cot gx + C
2 cos^ ec^ (^ f )^ f ´ dx =−cot g (^ f )+^ C
2
(^1 +cot g^ x ) dx =−cot gx +^ C
2 (^1 +cot g^ x ) f ´ dx =−cot g^ (^ f )+^ C
2
dx gx C sen x
=−cot +
2
dx g ( f ) C
sen f
f =− +
cot
2
Matemáticas II
- Integración por partes.
El método de integración por partes se basa en la utilización de la siguiente fórmula:
u ^ dv = u v − v du
Demostración.
Según la derivada del producto: d ( u v )= du v + u dv ,
de donde: u dv = d ( u v ) − du v = d ( u v )− v du. Integrando en ambas partes tenemos:
u ^ dv = d ( u^ v )− v du = u v − v du
Ejemplo. ( ) = − =
− =
(^) dv e dx v e dx e u v v du
u x du dx x e dx x x x
x
( x ) e edx ( x ) e e C ( x ) e C
x x x x x = − − = − − + = − +
Nota.
La dificultad de la integración por partes se encuentra en la asignación correcta de las
funciones u y dv. Así, conviene llamar u aquella que nos interese derivar, y sobre todo, llamar
dv a una función que sea fácil de integrar. Muchas veces es necesario aplicar reiteradas veces el
método de integración por partes.
Este método es útil para calcular integrales de los tipos siguientes:
Función u dv
x^ ^ edx
n x xn exdx
x^ ^ a dx
n x n x a dx
x
x senxdx
n xn senxdx
x ^ xdx
n cos
n x cos xdx
e ^ senxdx
x senx edx
x
e ^ xdx
x cos
cos x exdx
a senxdx
x senx axdx
a xdx
x cos cos x a dx
x
x ^ xdx
n ln
n x ln xdx
x ^ arctgxdx
n arctgx xndx
Matemáticas II
Observación.
Para elegir “u” podemos usar el siguiente orden:
A L P E S
arc sen, arccos… logaritmo Polinomio exponencial Seno y coseno
Integración por partes en un paso.
Se aplica directamente el método por partes y se obtiene el resultado.
Ejemplo.
u v v du dv dx v xdx senx
u x du dx x xdx cos cos
cos
= x senx − senxdx = x senx − x + C
cos
Integración simple por partes.
Son integrales que aparentemente no parecen un producto y se resuelven por partes; uno
de los factores es simplemente dx.
Ejemplo.
u v v du
dv dx v dx x
dx x
u x du xdx
1
ln ln
= x x − dx = x x − x + C = x ( x − )+ C
ln 1 ln ln 1
Integración por partes en dos pasos.
Se aplica una vez el método por partes reduciendo la integral a otra más sencilla. A la
parte que queda sin integrar se le vuelve a aplicar el método por partes.
Ejemplo.
= x e x e dx x e x e dx dv e dx v e dx e
u x du x dx x edx
x x x x x x x
x 2 2
2 2
2 2
x e e dx x e e C dv e dx v e dx e
u x du dx x e dx
x x x x x x x
x = − = − +
=
1
Sustituyendo: x edx x e ( x e e ) C e ( x x ) C
x x x x x = −^2 − + = −^2 +^2 +
2 2 2
Matemáticas II
El denominador tiene raíces reales simples.
Si el denominador q ( ) x tiene todas las raíces reales simples: x = a, x = b, x = c,…,
la descomposición es de la forma:
x c
C
x b
B
x a
A
qx
px
Para calcular los números A, B, C,… hallamos el mcm en la descomposición y al eliminar los
denominadores damos valores a x (lo mejor es dar los valores a, b, c,…). Se escribe la integral
como suma de integrales. Cada una de dichas integrales es un logaritmo neperiano.
Ejemplo.
dx x x
x
6
2 3
2
x x x
B
x
A
x x
x
Así, dx x x C x
dx x
dx x x
x = − + + +
^5 ln^27 ln^3 3
2
El denominador tiene solo una raíz real.
Si el denominador q ( ) x tiene una única raíz múltiple x = a, la descomposición es
de la forma:
( )
( ) (^) ( ) ( )
2 3 +^ ...
x a
C
x a
B
x a
A
qx
px
Para calcular los números A, B, C,… hallamos el mcm en la descomposición y al eliminar los
denominadores damos valores a x. Se escribe la integral como suma de integrales. La primera
integral es un logaritmo neperiano y las restantes son potencias.
Ejemplo. − + −
− + dx x x x
x x
6 12 8
3 11 15 3 2
2
3 2 2 3
2
x
C
x
B
x
A
x x x
x x
Así,
dx x
dx x
dx x
dx x x x
x x 3 2 2 3
2
C
x x
x + −
3 ln 2
- Integración por cambio de variable.
El método de integración por cambio de variable o por sustitución, está basado en la
regla de la cadena. Así, dada la integral ( ( )) ( )
F f x f ´ xdx conviene, a veces, hacer un cambio
de variable y sustituir la función f ( ) x por t y la expresión f ´( ) x dx por dt, con lo que quedaría
F ( ) tdt^ que puede ser más fácil de calcular.
Matemáticas II
Ejemplos.
tdt edt e C e C t
e
dx tdt
x t x t dx x
e (^) t t x
x t
= = = + =^ +
=^ ^2 ^222
2
=(^ + ) =^ (^ + ) = + =
− = t tdt t t tdt t dt t dt dx dt
x t x t x x dx^2
1 2
3
1
C t t C ( x ) ( x ) C
t t = + + = + + = − + − +
5 3 5 3
2
3 2
5
dt t C x C t
xdt dx dt dx xdt x t x
x t
dx x x
=^ ^5 ln^5 lnln
ln
ln
