¡Descarga I2 ejercitación cálculo y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity!
Pontificia Universidad Cat´olica de Chile
Facultad de Matem´aticas
Departamento de Matem´aticas
Primer semestre de 2016
MAT1610 ⋆ C´alculo I
Interrogaci´on N
◦
- De todos los rect´angulos que tienen diagonal que mide 2
p 2 cm; determine las dimensiones del que tiene per´ımetro m´aximo.
Soluci´on
Sea x e y los lados del rect´angulo, entonces su per´ımetro es
P = 2x + 2y
Dado que y =
p 8 x^2 entonces
P = 2x + 2
p 8 x^2 ; 0 x 2
p 2
1,0 pts.
Luego P ′^ = 2
2 x p 8 x^2
p 8 x^2 2 x p 8 x^2
2,5 pts. Por lo tanto P ′ = 0 , x =
p 8 x^2 $ x = 2 e y = 2
Dado que P (x = 2) = 8 y P (x = 2
p
- = 4
p 2 ; P (x = 0) = 4
p 2 y esos son los puntos cr´ıticos, obtenemos que el m´aximo per´ımetro se produce con el cuadrado de lado 2 cm: 2,5 pts.
- Haga un estudio completo de la funci´on f (x) = x +
x
: Indique intervalos de crecimiento y de-
crecimiento, as´ıntotas,extremos locales, concavidad y convexidad, puntos de inflexi´on y gr´afico.
Soluci´on
El dominio de la funci´on es R f 0 g y la funci´on es impar, por lo tanto basta con estudiarla en R
: Adem´as el l´ım x! 0 +^
f (x) = 1 ; y l´ım x! 0 +^
f (x) = 1;con lo cual el eje Y es as´ıntota vertical y no
tiene as´ıntota horizontal. 1,0 pts.
f ′(x) = 1
x^2
por lo tanto
f ′ (x) > 0 , x 2
1
Es decir:
a) f es creciente en ( 1; 1) [ (1; 1 ) 0,5 pts.
b) f es decreciente en ( 1 ; 0) [ (0; 1): 0,5 pts.
c) Los puntos cr´ıticos son f 1 ; 1 g y dado que a la izquierda de x = 1 la funci´on crece y luego decrece, en x = 1 hay un m´aximo local. 0,5 pts.
d ) Dado que a la izquierda de x = 1 la funci´on decrece y luego crece, en x = 1 hay un m´ınimo local. 0,5 pts.
Adem´as:
f ′ ′ (x) =
x^3 entonces
e) f es c´oncava hacia arriba en (0; 1 ) 0,5 pts.
f ) f es c´oncava hacia abajo en ( 1; 0) 0,5 pts.
g) y como 0 no est´a en el dominio de la funci´on, entonces no hay punto de inflexi´on. 1,0 pts.
1,0 pts. por el gr´afico correcto.
Dado que no se sabe si f ′(x) es continua en x = 1, entonces este l´ımite no se puede calcular. 1,0 pts.
- Determine los valores de a, b y c de manera que la funci´on f (x) = ax^3 + bx^2 + c tenga un punto
de inflexi´on en (1; 1) y la pendiente de la tangente a la curva y = f (x) en ese punto sea 2.
Soluci´on f (x) = 5ax 3
′ (x) = 3ax 2
- 2bx. La condici´on de la recta tangente nos dice que f ′(1) = 2 es decir
3 a + 2b = 2
2,0 pts. Adem´as f ′ ′ (x) = 6ax + 2b y f ′ ′ ′ (x) = 6a, entonces requerimos que a ̸= 0 y que
3 a + b = 0
2,0 pts. De las dos ecuaciones , obtenemos que
a =
; b = 2
1,0 pts. Adems el punto de inflexi´on debe estar en la curva, por lo tanto
a + b + c = 1
Es decir
c =
