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ECONOMÍA DE LA INFORMACIÓN Y LA INCERTIDUMBRE. Prof. Raúl López
Soluciones de algunos ejercicios
[Nota: Observe que las soluciones numéricas exactas de algunos ejercicios dependen de cuántos
decimales se tomen]
Ejercicio 1: Sí que la hay. Por ejemplo: U(A) = U (D) = 5; U (B) = 4; U (C) = 3. ¡Y hay infinitas más!
Ejercicio 4: (a) Obviamente, con un único viaje sólo llegan o 0 o 12 huevos, cada consecuencia con probabilidad ½. Si se hacen dos viajes, pueden llegar 0, 6, o 12 huevos, dependiendo de que se rompan en todos, uno, o ningún viaje. Teniendo en cuenta que cada viaje es independiente del otro, se sigue que las probabilidades de estas consecuencias son respectivamente ¼, ½ y ¼. (b) Con ambas loterías, el número medio es 6. (c) El individuo elegirá aquella lotería con mayor utilidad esperada. Para un viaje, ésta es igual a ½·6 + ½·12 =
- La utilidad esperada de hacer 2 viajes, por otro lado, es 0,25·6 + ½·10 + 0,25·12 = 9,5. Por tanto, hará 2 viajes. (d) Observe que hacer tres viajes tiene cuatro consecuencias posibles: 0, 4, 8, y 12 huevos, Las probabilidades respectivas son 1/8, 3/8, 3/8 y 1/8 ‒ para entender esto, note por ejemplo que hay tres maneras diferentes de que lleguen 8 huevos, dependiendo de que los otros cuatro se rompan en el 1º, 2º, o 3er viaje; cada uno de estos tres sucesos tiene probabilidad 1/8= ½·½·½. Se sigue que la utilidad esperada de hacer tres viajes será igual a 9,675, que es mayor que la de hacer 1 o 2 viajes. (e) Si hacer cada viaje tiene un coste de c en términos de utilidad, la utilidad de toda consecuencia será igual a la utilidad previa menos n·c, donde n denota el nº de viajes que se hagan. La utilidad esperada de hacer 1 viaje será por tanto de 9 – c, la de hacer 2 de 9,5 -2·c, etc. Claramente, se preferirá un viaje a dos siempre que se cumpla c > 0,5, y esta condición también asegura que se prefieran 1 viaje a 3.
Ejercicio 5: Consultar el manual.
Ejercicio 6: Z tiene dos opciones o loterías, es decir, apostar o no apostar. La lotería ‘apostar’ tiene dos consecuencias en términos de nivel de riqueza final: 5000- 20 + 200 = 5180 si gana la apuesta (probabilidad p), y 5000- 20 = 4980 si pierde la apuesta (probabilidad 1-p). La lotería ‘no apostar’ es segura, pues la única consecuencia posible es 5000. Ahora, para que decida apostar, se debe cumplir que la utilidad esperada de apostar sea mayor que la de no apostar:
5180݊ܮ ሺ1 െ ሻ 4980݊ܮ 5000݊ܮ↔ 0,
Lo único que cambia en las loterías si el premio son 400 euros es que la consecuencia ‘ganar’ en la primera lotería es ahora igual a 5380. Un razonamiento análogo al anterior lleva a p > 0,052. Para un premio de 40, la probabilidad debería ser mayor que 0,5. La conclusión es que cuanta más pequeña sea la probabilidad de que gane el Atlético o el equipo que sea, más premio habrá que dar en caso de ganar para conseguir que la gente apueste.
Ejercicio 7: Llamaremos A al proyecto de inversión en semillas modificadas, y B a la alternativa de seguir como siempre. La siguiente matriz de pagos indica las consecuencias monetarias de cada lotería, teniendo en cuenta que a los ingresos del proyecto A en cada estado de la naturaleza han de serles restados los costes de la inversión. Note asimismo que siempre sumamos la riqueza inicial de 25: Llueve No llueve
A 85 10
B 65 30
(a) La utilidad esperada del proyecto A es
UE (A) = 0,5 ∙ ln 85 + 0,5 ∙ ln 10 = 3,
Y la del proyecto B:
UE (B) = 0,5 ∙ ln 65 + 0,5 ∙ ln 30 = 3,
Preferirá por tanto no invertir en semillas.
(b) Sea p la probabilidad de lluvia. Se requiere que la utilidad esperada del proyecto A sea mayor que la del B:
UE (A) = p ∙ ln 85 + (1-p) ∙ ln 10 > UE (B) = p ∙ ln 65 + (1-p) ∙ ln 30 →
p > 0,803.
Ejercicio 8: Antes de implementar ninguna de las políticas, sea W el nivel de riqueza de un conductor cualquiera, p la probabilidad de ser multado por aparcar indebidamente, y M la multa. La lotería ‘aparcar indebidamente’ tiene dos consecuencias en términos de riqueza: (1) W-M, con una probabilidad p; (2) W, con una probabilidad 1-p. La política 1 (aumentar la vigilancia) incrementará la probabilidad de ser multado en un 10%, con lo cual la riqueza esperada (valor esperado si se aparca indebidamente) del conductor será:
U(W1) + U(W4) = U(W2) + U(W3)
Se sigue que las utilidades esperadas (1) y (2) tienen el mismo valor, por lo que el individuo estará indiferente entre una lotería y otra.
Ejercicio 10 : (a) Sea T (G) la lotería plantar trigo (girasol). La utilidad esperada de cada una es:
UE (T) = 0,5 ∙ Ln 28000 + 0,5 ∙ Ln 10000 ≈ 9,725 < UE (G) = 0,5 ∙ Ln 19000 + 0,5 ∙ Ln 15000 ≈ 9,
Claramente, preferirá plantar girasol.
(b) La lotería ‘plantar la mitad de trigo’ tiene dos consecuencias, cada una con probabilidad ½. La consecuencia si llueve es 9500+14000 = 23500, y si no llueve 5000 + 7500 = 12500. La utilidad esperada de esta lotería es:
UE (T/2) = 0,5 ∙ Ln 23500 + 0,5 ∙ Ln1 2500 ≈ 9, Por lo tanto, preferirá diversificar. Nota: Repita los apartados a y b con u(w) = √w y observe las diferencias.
(c) La lotería ‘plantar μ% de trigo’ tiene dos consecuencias con probabilidades ½ ambas. La consecuencia si llueve es 28000·μ + 19000·(1-μ) = 19000 + 9000·μ, y si no llueve es 10000·μ
- 15000·(1-μ) = 15000 - 5000·μ. Se sigue que la utilidad esperada de la lotería tiene la siguiente expresión: UE (T/μ) = 0,5 ∙ Ln (19000+9000· μ) + 0,5 ∙ Ln (15000-5000· μ)
La condición de primer orden es
dUሺT/μሻ dx
ൌ
9000 2ሺ19000 9000 ߤሻ
ሺെ5000ሻ 2ሺ15000 െ 5000 ߤሻ
ൌ 0
Operando se llega a μo^ = 0, 4, que da una utilidad esperada de 9,75.
(d) La lotería trigo + seguro tiene dos consecuencias con probabilidad ½ ambas. La consecuencia si llueve es 28000-4000 = 24000, y si no llueve 10000 + 8000 -4000 = 14000. La utilidad esperada es de 9,816. Por tanto, sí contrataría el seguro.
Ejercicio 11 : (a) Hay dos consecuencias (no/sí se pierde dinero), con probabilidades p y 1-p respectivamente. La utilidad de la primera consecuencia es
Ln[(1-s)· Y 1 ] + 0,6·Ln[Y 2 + (1+r)·s· Y 1 ], y la de la segunda Ln[(1-s)· Y 1 ] + 0,6·Ln[Y 2 + (1-r)·s· Y 1 ]
(b) Con esos datos, la utilidad esperada de la lotería ‘ahorrar s’ es 6,92 si s= 0,5, y 7,21 si s= 0,25. Por tanto, ahorrará el 25%.
(c) Teniendo en cuenta los resultados que habremos obtenido en el apartado previo, para aquel valor p tal que p·6,23 + (1-p)·0,69 = p·6,44 + (1-p)·0,72. Dado que esta igualdad es claramente imposible para cualquier p entre 0 y 1, se sigue que no puede estar indiferente. Siempre preferirá ahorrar el 25% al 50%.
(d) Se trata de maximizar la utilidad esperada UE :
p[Ln[(1-s)· Y 1 ] + 0,6·Ln[(1+r)·s· Y 1 ]] + (1-p)· [Ln[(1-s)· Y 1 ] + 0,6·Ln[(1-r)·s· Y 1 ]] = Ln(1-s) + 0,6·p·Ln(1+r) + 0,6·Ln(s) + 1,6·Ln(Y 1 ) + 0,6·(1-p)·Ln(1-r)
La condición necesaria para un máximo es (la condición suficiente puede verificarse simplemente haciendo la segunda derivada y confirmando el signo negativo):
ܷ߲ ߲ா ݏ
ൌ
െ 1 െ ݏ
0, ݏ
ൌ 0 → ݏൌ 0,
Ejercicio 15 : (a) Llamemos Lθ a la lotería correspondiente a la cartera θ. Sus consecuencias y probabilidades respectivas son:
500 + 100·θ·0,125 + 100·(1-θ)·0,03 = 503 + 9,5·θ con probabilidad 0, 500 + 100·θ·(-0,05) + 100·(1-θ)·0,09 = 509 - 14·θ con probabilidad 0,
(b) El valor esperado de Lθ es 0,6·(503 + 9,5·θ) + 0,4·(509 - 14·θ) = 505,4 +0,1·θ Teniendo en cuenta que θ es un número en el intervalo [0, 1], es obvio que el valor esperado se hace máximo para θ = 1. Es decir, la lotería con mayor valor esperado es aquella que invierte todo en X.
(c) La utilidad esperada de Lθ es UE^ = 0,6·Ln(503 + 9,5·θ) + 0,4·Ln(509 - 14·θ). Suponiendo una solución interior, se tiene que cumplir:
ܷ߲ ߲ா ߠ ൌ^
503 9,5 ߠ െ^
509 െ 14 ߠ ൌ 0^ →^ ߠൌ 0,
con probabilidades p y 1-p: 18200 y 17900. Para que prefiera ir a Z, la utilidad esperada de esta lotería debe ser mayor: ሺ1 െ ሻ √17900 √18200 134, 16 → 0,
Ejercicio 21 : Rodríguez tiene 3 alternativas. Primero, puede llevar el vino A, con lo que su utilidad será 30 con seguridad. Segundo, puede llevar un nuevo vino N, sin informarse antes. En ese caso, su utilidad esperada sería 0·0,6 + 80·0,4 = 32. Finalmente, puede informarse antes de comprar un nuevo vino. En ese caso, su utilidad esperada sería de (0-10)·0,3 + (80- 10)·0,7 = 46. Claramente, preferirá la tercera opción. El resto del ejercicio consiste en discutir las distintas variables implícitas en este ejemplo sencillo, en particular sus efectos sobre la demanda de N.
Ejercicio 22 : (a) Hacer una búsqueda es una lotería con cuatro consecuencias: -60-c; -80-c; - 100-c; -120-c; todas ellas con probabilidad ¼. Obviamente, su utilidad esperada es -90-c. Para hallar la utilidad esperada de la lotería ‘dos búsquedas’, debemos calcular previamente la probabilidad de que el precio menor hallado en las dos búsquedas sea 60, 80, 100 o 120 ‒ nótese que el precio menor es el único relevante. Por ejemplo, el precio menor será 120 sólo si en las dos búsquedas ha salido un precio de 120, suceso cuya probabilidad es igual a ¼·¼ = 1/16. Asimismo, el precio mínimo será de 100 si en ambas búsquedas sale un precio de 100 o si sale 100 en una búsqueda y 120 en otra; la probabilidad conjunta sería 1/16 + 1/16 + 1/16 = 3/16. Con razonamientos similares, se deduce que la probabilidad de que el precio mínimo sea 80 es de 5/16, y la de precio mínimo 60 es (por eliminación) 7/16. En consecuencia, hacer dos búsquedas tiene una utilidad esperada de -77,5 –2·c. Si se hacen 3 búsquedas, un razonamiento similar (o la aplicación de análisis combinatorio) nos permite concluir que la probabilidad de que el precio mínimo sea de 120, 100, 80, o 60 es respectivamente de 1/64, 7/64, 19/64, 37/64. La utilidad esperada sería por tanto de -71,25 –3·c.
(b) Para que una búsqueda sea óptima debe cumplirse -90 -c > -77,5 -2·c → c > 12,5. Nota: no hace falta comparar con la utilidad de 3 búsquedas, que es obviamente menor en este caso. Por otro lado, dos búsquedas será mejor que una si c < 12,5, y mejor que tres si además -77,5 -2·c
-71,25 -3·c → c > 6,25.
(c) Lo único que variaría en el análisis previo es que el precio mínimo esperado será doble porque hay que comprar dos portátiles. Por tanto, el individuo hará una búsqueda si c > 25, dos si c >12,5, y si c = 8 está claro que hará tres.
(d) Una única búsqueda es claramente lo mismo en modo secuencial o simultáneo. Dos búsquedas en modo secuencial se diferencian del modo simultáneo en que no hace falta realizar
una segunda búsqueda si en la primera se encuentra el precio más bajo posible, es decir, 60. Por tanto, hay que distinguir entre encontrar un precio 60 en la primera búsqueda (probabilidad 1/4), con lo cual la utilidad sería de -60-c, o en la segunda (probabilidad ¾·¼), donde la utilidad sería -60-2·c. Por lo demás, el resto del análisis es idéntico. Para el caso con 3 búsquedas secuenciales tendríamos que proceder haciendo una distinción similar.
Ejercicio 23 : (a) Nótese que los únicos precios que podría tener sentido ofrecer son 0, 2500 o
- Cualquier otro no es óptimo porque supera lo que el informático pide en algunas de las contingencias o es menor de lo que pide en las restantes. Tenemos por tanto tres loterías:
(1) Precio 0: Lotería segura 10000 euros porque o bien no nos venderá el programa (si vale algo) o nos dará algo sin valor. La utilidad esperada es 10000.
(2) Precio 2500: Esta lotería tiene 3 consecuencias posibles. Con probabilidad 20%, el programa carece de valor y nos quedamos con 10000-2500 = 7500. Con probabilidad 30%, el programa rinde beneficios de 5000, con lo cual acabaríamos con una riqueza de 10000-2500+5000 = 12500. Con probabilidad 50%, el programa es realmente bueno y el informático no nos lo vende, con lo cual nos quedamos con la riqueza inicial, 10000. La utilidad esperada de la lotería es por tanto 0,2·7500 + 0,3·12500 + 0,5·10000 =
(3) Precio 5000: Otra lotería con 3 consecuencias posibles. Con probabilidad 20%, el programa carece de valor y nos quedamos con 10000-5000 = 5000. Con probabilidad 30%, el programa rinde beneficios de 5000, con lo cual acabaríamos con una riqueza de 10000-5000+5000 = 10000. Con probabilidad 50%, el programa da beneficios de 10000, con lo cual nos quedamos con una riqueza final de 10000-5000+10000= 15000. La utilidad esperada de la lotería es por tanto 0,2·5000 + 0,3·10000 + 0,5·15000 ≈
Comparando las utilidades esperadas, se sigue que deberá ofrecer un precio de 5000 euros.
(b) Si usted paga c euros por la información, posteriormente ofrecerá justo lo que valga el programa. Pagar la información es por tanto una lotería con 3 consecuencias: (i) Con probabilidad 20%, el programa carece de valor y no pagamos nada por él, con lo que nos quedamos con 10000-c, (ii) con probabilidad 30%, el programa rinde beneficios de 5000; entonces pagamos sólo 2500 y acabamos con una riqueza de 10000-2500+5000-c = 12500-c. Con probabilidad 50%, el programa da beneficios de 10000; entonces pagamos 5000 por él y
Pero en esta nueva sub-matriz la estrategia F4 está dominada por la F3, pues 20 > 14; 8 > 2; 11 > 10. Fila no jugará por tanto F4. Suponiendo ahora que Columna anticipa todo lo anterior ‒ lo cual requiere saber que Fila sabe que Columna es racional‒, Columna inferirá que los únicos resultados posibles son:
En este caso, C2 está dominada por C3, con lo cual Columna no jugará C2. Anticipando esto y suponiendo por resumir que la racionalidad es de conocimiento público, Fila no debería jugar F pues está dominada tanto por F1 como por F3. Bajo el mismo supuesto, se sigue que Columna no debería elegir C1, dominada por C3. Y previendo todo lo anterior, Fila no elegirá F3. Por eliminación, concluimos que Fila elegirá F1 y Columna C3.
Ejercicio 43:
Equilibrios: (D; L) y (U, R)
Equilibrios: (E; A) y (D, B)
Ejercicio 44 : (a) Si A espera 57 de B, debería elegir obviamente 43. Si espera 0, debería elegir
- Si espera 100, cualquier número que elija le va a dar la misma utilidad (0). En este último caso, por tanto, está indiferente entre cualquier número.
(b) Cualquier par de números (nA , n (^) B) tal que n (^) A + n (^) B = 100 y nA , nB ∈ ሾ0, 100ሿ es un equilibrio porque ningún jugador puede mejorar su utilidad cambiando unilateralmente su estrategia. Asimismo, el vector (100, 100) también es equilibrio de Nash, por la misma razón (ambos
C1 C2 C
F1 7, 0 10, 100 15, 104
F2 0, 16 10, 0 0, 15
F3 20, 9 8, 0 11, 10
L R
U 0,0 2,
D 10,11 -1,
A B
D 0,1 5,
E 3,6 -1,
obtienen 0 de utilidad y no pueden mejorar este resultado con una desviación unilateral). En total, por tanto, hay 102 equilibrios. (c) El equilibrio (50, 50) parece la predicción más intuitiva en este juego; un punto focal derivado de la igualdad de pagos.
Ejercicio 45 : (a) Debería siempre escribir las que piense que no han sido elegidas por A. En el primer caso, ‘Oviedo’. En el segundo ‘Bilbao, Córdoba, Jaén, Lugo, Murcia y Oviedo’.
(b) Un equilibrio será cualquier par de listas, una para cada jugador, donde la lista de A contenga ‘Sevilla’, la de B contenga ‘Oviedo’, y en conjunto las dos listas sean exhaustivas y no solapadas.
(c) Podría argumentarse que el equilibrio en el que A elige ‘Córdoba, Jaén, Murcia y Sevilla’ y B elige ‘Bilbao, Lugo y Oviedo’ es una solución intuitiva hacia la que tenderán a coordinarse los jugadores (un punto focal). Nótese que la primera lista sólo incluye ciudades del sur, mientras que la segunda contiene ciudades del norte. De todos modos, se trata de una cuestión empírica y que probablemente dependerá de cada persona.
Ejercicios 46 y 47 : La solución se entregará manuscrita, en un archivo diferente a éste y que también se podrá encontrar en la web del profesor.
Ejercicio 48 : (a) Situamos al partido P1 en filas. En cada celda, su pago es el de la izquierda. Si por ejemplo P1 eligiera el programa A y P2 el programa B, 80 electores votarían por P1 pues prefieren el programa A al B, mientras que el resto de electores (120) votarían a P2 dado que prefieren el programa B al A. En esta situación, en consecuencia, ganaría P2 y perdería P1. Esto explica los pagos (-1, 1) en la celda correspondiente de la matriz de pagos:
(b) Obviamente, ningún partido racional elegirá el programa C, que está estrictamente dominado por el programa B. Asumiendo que la racionalidad es de conocimiento público, los partidos anticiparán que el contrario nunca elegirá C. En ese caso, A está a su vez estrictamente dominada por B. Por tanto, ambos partidos elegirán el programa B. Esta solución es intuitiva, pues el programa B es preferido a cualquier otro por una mayoría de los electores, y asumimos que a los partidos sólo les interesa sacar la mayor cantidad de votos posible.
A B C
A 0, 0 -1, 1 1, -
B 1, -1 0, 0 1, -
C -1, 1 -1, 1 0, 0
Ejercicio 50 : (a) La matriz de pagos es la siguiente (en cada celda, el pago izquierdo corresponde al jugador fila), donde los pagos han sido determinados aplicando la función indicada de beneficios a cada vector de estrategias:
El único equilibrio es (5, 5).
(b) Claramente no es una situación muy buena, en particular si comparamos con los beneficios si ambos llevasen 1 o 3 vacas. Llevando sólo una vaca cada uno, ganarían más. El problema es que cada par de vacas adicional suele beneficiar al vaquero que las lleva, pero perjudica al otro al tener éste menos espacio para pastar sus vacas. Además, el daño al otro por llevar más vacas es mayor que el beneficio propio. Pero como son egoístas, no tienen esto en cuenta.
Ejercicio 51 : a) Respuesta : NO. El jugador 1 obtendría una utilidad de -200 en este caso y podría mejorarla pujando menos por el bien. En ese caso no lo obtendría, y su utilidad sería 0. No tiene sentido pagar por un bien más de lo que lo valoras.
b) Respuesta : NO. El jugador 2 (o el 3, o el 4) obtiene una utilidad de 0 y podría obtener utilidad 1 si pujase 999, llevándose el bien. Nótese que las desviaciones indicadas son siempre unilaterales.
c) Respuesta : NO. El jugador 3 obtiene utilidad 0 y podría mejorar con una desviación unilateral como, por ejemplo, pujar 999 (en general, cualquier puja menor que 1000 pero mayor que 600 le daría una utilidad estrictamente positiva, dado lo que se espera que hagan los demás).
d) Respuesta : Sí, porque ningún jugador puede aumentar su utilidad de 0 cambiando unilateralmente su puja (nótese que pujar más de 1000 conllevaría una utilidad negativa). Todos están jugando una mejor respuesta a lo que se espera que hagan los demás.
e) Respuesta : Sí. 1 no puede mejorar reduciendo la puja (perdería el bien) ni aumentándola, y los demás obtendrían utilidad negativa o como mucho 0 (la que obtienen con este vector) si variasen la puja.
f) Respuesta : Cualquier vector de pujas donde al menos 2 jugadores pujen 1000, o al menos 2 jugadores pujen 999 (entre ellos el jugador 1), y donde los otros jugadores pujen menos o como mucho igual. También cualquier vector de pujas donde un jugador con ID X (X ≠
- puje 1000, al menos otro jugador con ID < X puje 999, y los demás pujen 999 o por debajo. Ejemplo: (999, 500, 1000, 999).
g) Respuesta : Cualquier vector de pujas donde el jugador 2 puja un euro más que 1, y las pujas de ambos están en el intervalo [V 1 , V 2 ].
Ejercicio 52: La solución se entregará manuscrita, en un archivo diferente a éste y que también se podrá encontrar en la web del profesor.
Ejercicio 53: El árbol de decisión es el siguiente
Para la matriz de pagos, situamos por ejemplo al jugador 1 en filas. Nota: Las estrategias del jugador 2 indican primero el movimiento en su nodo izquierdo (es decir, lo que haría 2 si 1 eligiese A) y luego el movimiento en el nodo derecho (es decir, lo que haría 2 si 1 eligiese NA). Así, la estrategia (A, NA) significa que 2 ayudaría (A) si 1 hubiese elegido ayudar, y que no ayudaría (NA) si 1 hubiese elegido no ayudar.
Sólo hay un equilibrio de Nash: [NA; (NA, NA)]. Nota: Entre paréntesis la estrategia de equilibrio de 2.
A, A A, NA NA, A NA, NA
A 10, 10 10, 10 0, 15 0, 15
NA 15, 0 1, 1 15, 0 1, 1
A NA
NA
A NA
A
Ejercicio 55: La solución se entregará manuscrita, en un archivo diferente a éste y que también se podrá encontrar en la web del profesor.
Ejercicio 57: (b) Toda estrategia de un jugador debe indicar un movimiento para cada conjunto de información de ese jugador. El jugador 1 tiene dos conjuntos de información (en este juego son ambos uninodales), por lo que una estrategia suya deberá contener dos movimientos. Sus estrategias son cuatro: (T1, T3), (T1, P3), (P1, T3), (P1, P3). Por ejemplo, la estrategia (T1, T3) significa que el jugador 1 movería T1 en el nodo inicial (terminando por tanto el juego) y que en el caso hipotético de que hubiera tenido que mover en el tercer nodo, habría movido T3. Las estrategias del jugador 2 deben, por razones análogas, también indicar dos movimientos, uno para cada nodo de este jugador. Son también cuatro: (T2, T4), (T2, T5), (P2, T4), (P2, T5). Por ejemplo, la estrategia (T2, T4) significa dos cosas: (i) En el caso hipotético de que 2 hubiera tenido que mover en el segundo nodo, habría movido T2, y (ii) en el caso hipotético de que 2 hubiera tenido que mover en el último nodo, habría movido T4.
c) Solución : Obsérvese que situamos al jugador 1 en filas.
d) Solución : Examinando la matriz confirmamos que son los siguientes: [(T1, T3); (T2, T4)]; [(T1, T3); (T2, T5)]; [(T1, P3); (T2, T4)]; [(T1, P3); (T2, T5)]. e) Solución : Considere por ejemplo el equilibrio [(T1, P3); (T2, T5)]. En el hipotético caso de que 2 tuviera que elegir en el nodo final, nunca elegiría T5 porque T4 le da una utilidad mayor. T5 es por tanto una amenaza no creíble en este equilibrio no perfecto. f) Solución : En cada nodo distinto del inicial comienza un subjuego. En total hay tres. g) Solución : Comenzamos el análisis por los nodos finales. Hay uno sólo, correspondiente al jugador 2. Si 2 tuviera que mover ahí, elegiría T4, pues esto le da un pago mayor que T5 (3,2 > 1,6). Consideramos ahora el único nodo ‘penúltimo’, en este caso del jugador
- Como este jugador sabe anticipar lo que haría el jugador racional 2 si 1 moviese P3,
(T2, T4) (T2, T5) (P2, T4) (P2, T5)
(T1, T3) 0,4; 0,1 0,4; 0,1 0,4; 0,1 0,4; 0,
(T1, P3) 0,4; 0,1 0,4; 0,1 0,4; 0,1 0,4; 0,
(P1, T3) 0,2; 0,8 0,2; 0,8 1,6; 0,4 1,6; 0,
(P1, P3) 0,2; 0,8 0,2; 0,8 0,8, 3,2 6,4, 1,
se sigue que 1 elegirá T3, pues el pago subsiguiente (1,6) es mayor que el de elegir P (0,8). Consideramos ahora el único nodo ‘antepenúltimo’, en este caso del jugador 2. Como este jugador sabe anticipar todo lo anterior dado que la racionalidad de los jugadores es de conocimiento público, se sigue que 2 elegiría T2 si se le diera la oportunidad de mover en este nodo, pues su pago subsiguiente (0,8) es mayor que el de elegir P2 (0,4). Finalmente, el jugador 1 sabrá prever que si mueve P1 en el nodo inicial obtendría una utilidad de 0,2, que es menor que la que obtiene si mueve T1 (0,4). Por consiguiente, el único equilibrio perfecto es [(T1, T3); (T2, T4)].
Ejercicio 58: Parte de la solución se entregará manuscrita, en un archivo diferente a éste y que también se podrá encontrar en la web del profesor.
