Utilidad Esperada en Riesgo: Loterías, Seguros y Elección de Carteras, Apuntes de Finanzas

¡Descarga Utilidad Esperada en Riesgo: Loterías, Seguros y Elección de Carteras y más Apuntes en PDF de Finanzas solo en Docsity!

Part III: TEORIA DE LA DECISIÓ EN CONDICIONS D’

INCERTESA I INFORMACIÓ ASSIMÈTRICA

2

TEMA 5: Elecció en condicions d' incertesa

5.1 Teoria de la utilitat esperada

5.2 L’aversió al risc

5.3 El mercat d’assegurances

5.4 El problema de selecció de carteres

5.1 TEORIA DE LA UTILITAT ESPERADA

Considerem un consumidor ha d’escollir entre un nombre d’alternatives arriscades. Una alternativa arriscada donarà lloc a un possible resultat, però en el moment de fer l’elecció no sabem quin resultat succeirà.

Notació:

X= El conjunt de los possibles resultats.

Exemples:

X= Conjunt de cistelles de béns.

X= Conjunt de pagaments monetaris.

Per simplificar suposarem en aquest moment que X és un conjunt finit.

X   x 1 , x 2 ,..., xN 

i que les probabilitats dels diferents resultats són objectives.

Una alternativa arriscada es representa formalment amb el concepte de loteria.

Definició:

Una loteria L és una llista

L   x 1 , , xn ; p 1 ,, pn ,

amb pi  0 i 1 1

^ 



n

i

pi , on p (^) i és la probabilitat de que el resultat n succeeixi.

Per representar gràficament una loteria normalment s’utilitzen els arbres:

pn

x 1

x n

p 1



aquesta idea i vam mostrar quines hipòtesis han de satisfer les preferències de manera que tinguem una utilitat esperada que les representi.

Per calcular la utilitat esperada d’una loteria considerem els següents casos:

1. Es defineix la utilitat que cada resultat possible genera al consumidor, és a dir, es defineix una funció u ( x ), on x representa un possible resultat. Aquesta funció d’utilitat s’anomena funció d’utilitat von Neumann Morgenstern o funció d’utilitat de tipus Bernouilli.

2) La utilitat esperada de la loteria L   x 1 , x 2 ; p 1 , p 2 seria

p 1 (^) u ( x 1 ) p 2 u ( x 2 ).

Donades dues alternatives arriscades, per deduir quina alternativa prefereix un agent racional hem de calcular aquella que li proporciona una utilitat esperada més gran.

Exercici:

Considerem un individu que necessita un treball pels propers 3 mesos. Li han ofert tocar el piano en un cafè de Casablanca. Aquest treball li reportaria 20.000€ nets si tot va bé, però con probabilitat 0’2 el treball no durarà més d’ una setmana i, en aquest cas el guany net seria de 200€. Alternativament, podria continuar pescant en Cambrils. Si te sort y obté una bona pesca, el guany net serà de 4.000€; si te mala sort, llavors sols guanyarà 2.000€. En la pesca els successos de tenir sort o no són equiprobables. L’individu no sap que fer, si anar a Casablanca o continuar pescant en Cambrils. Consideri com a funció d’ utilitat von Neumann Morgenstern (vN-M) d’ aquest individu

racional x

u x

( ) 4  , on x denota els ingressos nets en euros, quina alternativa

hauria d’adoptar?

5.2 L’AVERSIÓ AL RISC

A partir d’ara ens centrem en el cas de loteries monetàries, és a dir, que els resultats són pagaments monetaris.

Considerem el següent exemple:

Suposeu que us donen a escollir una de les següents alternatives:

1. Rebre un bitllet de loteria molt bo: Amb probabilitat ½ guanyareu 1.000. d’euros i amb probabilitat ½ no guanyareu res.
2. Rebre de forma segura 500.000 euros.

Entre aquestes alternatives quina escolliríeu?

Observem que les dues alternatives proporcionen el mateix valor esperat. Les persones que prefereixen rebre de forma segura 500.000 euros manifesten aversió al risc.

Definició:

Un consumidor és avers al risc si per qualsevol loteria monetària L , la loteria que proporciona el valor esperat de la loteria L de forma segura és preferida a la loteria L.

Un consumidor és neutral al risc si per qualsevol loteria monetària L , l’individu està indiferent entre L i la loteria que proporciona el valor esperat de la loteria L de forma segura.

Un consumidor és amant al risc si per qualsevol loteria monetària L , l’agent prefereix L a la loteria que proporciona el valor esperat de la loteria L de forma segura.

Resultat:

Considerem un consumidor amb una funció d’utilitat vN-M u  . Llavors,

El consumidor és avers al risc  u  és cóncava

El consumidor és neutral al risc  u  és lineal

El consumidor és amant al risc  u   és convexa

A continuació, estudiarem dos conceptes que estan relacionats amb l’aversió al risc.

Considerem un individu avers al risc, amb un funció d’utilitat vN-M u    i una riquesa

inicial W 0. Sigui ~ z^ denota el resultat d’una loteria. Per aversió al risc, sabem que

l’individu prefereix rebre de forma segura E (~ z ) a z ~^ , és a dir,

E ( u ( W 0  ~ z )) u ( W 0  E (~ z )).

Aquesta desigualtat ens diu que per eliminar el risc l’individu està disposat a pagar. La

màxima quantitat de diners que l’individu està disposat a pagar per eliminar el risc

s’anomena prima de risc.

5.3 EL MERCAT D’ASSEGURANCES

En aquesta secció estudiarem una aplicació de la teoria de la utilitat esperada en el mercat d’assegurances.

Considerem un consumidor que té un nivell de riquesa incert.

Una companyia d’assegurances li ofereix el següent contracte: Si el consumidor paga

 , llavors la companyia d’assegurances li paga  en cas de sinistre (cobertura total). El

consumidor si vol pot pagar una cobertura parcial. Si paga a  , on 0  a  1 , llavors la

companyia d’assegurances li pagarà a  en cas de que passi el sinistre.

Suposem que el consumidor té una funció d’utilitat vN-M u que és creixent, còncava i diferenciable.

El problema del consumidor és el següent:

 uW a uW a a a

max   1  ' 

0 1

C.P.O:  u '  W  a    1  u ' W ' a  a    0

C.S.O: ' '    1  '' '   0

2 2

 u W  a     u W  a  a    ja que u és còncava 

La C.P.O. serà suficient per obtenir un màxim.

Rescrivim la C.P.O:

 u '  W  a   1     u ' W ' a  a .

Abans de resoldre aquesta equació, introduïm les següents definicions:

Definicions:

Un contracte d’assegurances és actuarialment equitatiu (o just) si el valor esperat

de la indemnització coincideix amb la prima. En el nostre cas,  1  .

Un contracte d’assegurances és actuarialment no equitatiu (o no just) si el valor

esperat de la indemnització és menor que la prima. En el nostre cas,  1  .



W

W ‘

W>W ‘  = W-W ‘

Riquesa final en cas de tenir un sinistre: accident, robatori, incendi,….

Anem a estudiar el problema distingint els següents casos:

Cas 1: El contracte d’assegurances és actuarialment equitatiu Cas 2: El contracte d’assegurances és actuarialment no equitatiu

Cas 1:

En aquest cas es satisfà:  1  . Llavors,

Tenint present aquesta igualtat, la C.P.O implica:

u '  W  a    u ' W ' a  a 

 u ' ' 0  u 'decreixent W  a   W ' a  a   W  W '    a   a  1

Cas 2:

En aquest cas es satisfà:  1  . Llavors,

Sigui

. L’anterior desigualtat ens diu que   1.

La C.P.O es pot rescriure com:

 u '  W  a   u ' W ' a  a 

u '  W  a    u ' W ' a  a 

 u ' ' 0  u 'decreixent W  a   W ' a  a   W  W '    a   a  1 Resultat:

Si el contracte d’assegurances és actuarialment equitatiu, el consumidor adquireix una cobertura total. Si el contracte d’assegurances és actuarialment no equitatiu, el consumidor sols adquireix una cobertura parcial i, per tant, decideix suportar part del risc.

Restriccions sobre S:

Estudiarem aquest problema suposant que A  0. És important destacar que

1. El fet de que no permetem que A <0 significa que estem suposant que l’ inversor no pot vendre un actiu que no té (“ short-selling constraints ”).

2. El fet de que A pugui ser més gran que W 0 significa que l’ inversor pot endeutar-se

en l’actiu sense risc.

El problema de l’ inversor consisteix en: Trobar ( B, A ) tal que

0

0

,

st A B W

E uRfB RA S

AB

Max



Com A  B  W 0 , llavors B  W 0  A. Substituint aquesta expressió, el problema d’

elecció anterior pot ser reformulat de la següent manera:

Max E  u  R fW  R Rf  A 

A A



0 0

Exemple numèric:

Un individu té 80.000€ per invertir que pot repartir en dos tipus d’actius: Bonus del Tresor que proporcionen una rendibilitat neta del 2’5%, i accions d’una empresa, la rendibilitat de les quals depèn de la conjuntura econòmica. En situacions de crisis la rendibilitat neta és del 1’5%, mentre que en situacions d’expansió econòmica és del 4’5%. La probabilitat de crisis econòmica es del 50% i les preferències d’aquest individu poden representar-se utilitzant una funció d’utilitat de Bernouilli u( W )= ln (W). Calcula la cartera òptima d’aquest individu suposant que l’individu no pot endeutar-se en l’actiu arriscat, però sí en l’actiu sense risc.