Paradoja de San Petersburgo y Utilidad Esperada en Juegos de Azar, Ejercicios de Microeconomía

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Tema 1

Teoría de la elección en condiciones de

incertidumbre

Francisco Xavier Lores

Introducción

Introducción: la paradoja de San Petersburgo

Consideremos la siguiente lotería:

el jugador tiene que pagar una apuesta para participar en el juego. A continuación el jugador realiza lanzamientos sucesivos de una moneda hasta que salga cruz por primera vez. Entonces se detiene el juego, se cuenta el número de lanzamientos que se han producido (k), y el jugador obtiene 2 k^ e. Es decir, si sale cruz la primera vez el jugador gana 2^1 e; si la cruz sale en el segundo lanzamiento gana 2^2 e; si sale en el tercero 2^3 e,...

¿Cuánto estaría el jugador dispuesto a pagar para participar en esta lotería?

Introducción: la paradoja de San Petersburgo

El valor esperado de esta lotería es infinito:

E[l] =

∑^ ∞

k= 1

2 k^ 2 k^ =

∑^ ∞

k= 1

Una teoría de la elección basada en el valor esperado sugiere que el jugador estaría dispuesto a pagar cualquier cantidad por participar en esta lotería. Sin embargo, lo que nos interesa es la utilidad del resultado. En este caso si u(x) =

x la utilidad esperada será

UE[l] =

∑^ ∞

k= 1

2 k^ u( 2 k^ ) =

∑^ ∞

k= 1

2 −^

k 2 = √^1 2 − 1

La suma de los elementos de una sucesión geométrica ∑∞ k= 0 ar k^ = a/( 1 − r ) cuando |r | < 1. En este caso a = 1 y r = 2 −^12 y hay que tener en cuenta que ∑∞ k= 1 2 −^ k^2 =

(∑∞ k= 0 2 −^ k^2

) − 1 5

Utilidad y preferencias

• La utilidad es una forma de describir preferencias.
• Las preferencias son la descripción fundamental útil para analizar la elección.
• La función de utilidad e una forma de asignarle un número a cada cesta de consumo. Utilidad ordinal.

(x 1 , x 2 )  (y 1 , y 2 ) ⇔ u(x 1 , x 2 ) > u(y 1 , y 2 ) Diferentes formas de asignar utilidad Cesta U 1 U 2 U 3 A 3 17 - B 2 10 - C 1 .002 -

Función de utilidad de la renta monetaria

Vamos a considerar que solo hay un bien de consumo c 1 cuyo precio es p 1 = 1.

v (c 1 ) = max c 1

u(c 1 ) s.a p 1 c 1 ≤ M

Entonces v (c 1 ) = u(M).

De la elección de cestas de consumo a la de loterías

Formalizando un poco más. Incertidumbre

• Espacio muestral, E = {e 1 , e 2 ,... , en}, que es el conjunto de todos los sucesos elementales o estados de la naturaleza posibles mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.
• Una distribución de probabilidad sobre E, que especifique la probabilidad de cada estado de la naturaleza pi = Pr (ei ).

p = (p 1 ,... pn) que satisface

1. 0 ≤ pi ≤ 1
2. p 1 + p 2 + · · · + pn = 1

De la elección de cestas de consumo a la de loterías

Para simplificar vamos a tratar problemas en los que las consecuencias de las decisiones son exclusivamente monetarias. Las alternativas de elección las llamaremos loterías , que describiremos como un par

l = (x, p)

el vector x especifica los posibles pagos

x = (x 1 ,... xn)

y p las probabilidades de recibir esos pagos.

p = (p 1 ,... pn)

De la elección de cestas de consumo a la de loterías

Preferencias. Axiomas.

• A.1. Las preferencias son completas si ∀ l, l′^ ∈ L

l < l′, o l′^ < l, o ambos .

• A.2. Las preferencias son transitivas si ∀ l, l′, l′′^ ∈ L

l < l′^ y l′^ < l′′^ ⇒ l < l′′

• A.3. Las preferencias son monótonas si ∀ l = (x, p), l′^ = (x′, p′) ∈ L {x > x′^ y p = p′} ⇒ l  l′

De la elección de cestas de consumo a la de loterías

Preferencias. Axiomas.

• A.4. Las preferencias son continuas si para cualquier sucesión de loterias {ln} = {(xn, pn)} ∈ L.

Si ∀n ln < l′^ y (^) nlim→∞ ln = l, entonces l < l . Es decir, pequeñas variaciones en los pagos o en la distribución de una lotería no alteran de forma drástica sus relaciones con otras loterías.

De la elección de cestas de consumo a la de loterías

Función de utilidad von Neumann-Morgensten Son las funciones de utilidad U tal que para l = (x, p) ∈ L tienen la siguiente forma

U(l) =

i

pi u(xi )

con u : R → R.

es.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann es.wikipedia.org/wiki/Oskar_Morgenstern 16

De la elección de cestas de consumo a la de loterías

Sean l = (x 1 ,... , xn; p 1 ,... , pn) y l′^ = (x 1 ′,... , x n′; p′ 1 ,... , p n′) dos loterías y sea λ ∈ [ 0 , 1 ]. La lotería l′′^ = [λl + ( 1 − λ)l′] = (x′′, p′′) definida como

x′′^ = (x 1 ,... , xn; x ′ 1 ,... ,^ x

′ n) p′′^ = (λp 1 ,... , λpn, ( 1 − λ)p ′ 1 ,... ,^ (^1 −^ λ)p

′ n) y sea L convexo (∀l, l′^ ∈ L y ∀λ ∈ [ 0 , 1 ] se cumple l′′^ = [λl + ( 1 − λ)l′]^ ∈ L)

Preferencias. Axiomas.

• A.5 Independencia Para todo l, l′, l′′^ ∈ L se cumple que

l′^ < l′′^ ⇒

[

λl + ( 1 − λ)l′

]

[

λl + ( 1 − λ)l′′

] 17

De la elección de cestas de consumo a la de loterías

Consideremos el tradeoff entre riqueza ahora y riqueza en uno de los posibles estados.

Esta decisión debe ser independiente de cuanta riqueza tendría en el otro estado de la naturaleza.

De la elección de cestas de consumo a la de loterías

Teorema Si una relación de preferencias < sobre L satisface los axiomas A. 1, A.2, A.4 y A.5, entonces existe una función de utilidad von Neumann-Morgensten que la representa; es decir, existe una función u : R → R tal que ∀l, l′^ ∈ L

l < l′^ ⇔ U(l) = E [u(l)] < U(l′) = E

[

u(l′)

]

Si además la relación de preferencias < satisface el axioma A.3, entonces U es creciente.