INFERENCIA CON UNA VARIABLE ESQUEMA , Apuntes de Psicología

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CAPITULO 2

INFERENCIA CON UNA VARIABLE

ESQUEMA del tema

• (^) Resumen del tema
  • (^) Contraste sobre una proporción (prueba binomial)
  • (^) Contraste sobre bondad de ajuste ( X^2 de Pearson sobre

bondad de ajuste)

• (^) Contraste sobre una media (prueba T para una muestra)
• (^) Contraste sobre la forma de una distribución (ver con

SPSS)

Capítulo 9 del vol. I de Pardo (colgado en moodle ).

Contraste sobre una proporción

Comenzamos con el contraste sobre una proporción (prueba

binomial).

Tenemos variables categóricas dicotómicas ( curados-no curados )

o dicotomizadas ( aprobado-suspenso ).

Normalmente codificamos con un 1 la presencia de la

característica, los aciertos, los recuperados, etc., y con 0 la

ausencia de la característica, los errores, los no recuperados,

etc.

Contraste sobre una proporción Curados 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 Aprobados 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Intención voto 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0

Contraste sobre una proporción

1. Hipótesis

a. Contraste bilateral: ;

b. Contraste unilateral derecho: ;

c. Constaste unilateral izquierdo: ;

2. Supuestos : De la población se extrae una muestra aleatoria de n

observaciones con probabilidad de éxito constante en cada extracción. H 0 :  (^) Fumadores  0 , (^25) : 0 , 25 H 1  Fumadores  H 0 :  (^) Curados  0 , (^30) : 0 , 30 H 1  Curados  H 0 :  (^) Voto  0 , (^60) : 0 , 60 H 1  Voto 

Contraste sobre una proporción

3. Estadísticos del contraste

3.1. n 1 = “número de éxitos en los n ensayos”

P 1 = “proporción de éxitos en los n ensayos”

4. Distribuciones muestrales

n 1 y P 1 se distribuyen según el modelo binomial con parámetros

n y π.

Z se distribuyen según el modelo N (0,1) a medida que n aumenta

Con n ≥ 20 la aproximación a la normal es ya muy buena n P n n n Z ( 1 ) ( 1 )/ 1 1            

Contraste sobre una proporción

6. Nivel crítico (valor p )

a. Contraste bilateral a.1. Con los estadísticos n 1 y P 1 , el nivel crítico es el doble de la probabilidad de obtener un valor n 1 y P 1 , tan alejado de su valor esperado bajo H 0 como el obtenido a.2. Con el estadístico Z , p = 2[ P ( Z ≥ | Z h|)] siendo Z h el valor concreto que toma el estadístico Z. b. Contraste unilateral derecho b.1. Con los estadísticos n 1 y P 1 , el nivel crítico es la probabilidad de obtener un valor n 1 o P 1 , tan grande como el obtenido o más grande. b.2. Con el estadístico Z , p = P ( Z ≥ Z h). c. Contraste unilateral izquierdo c.1. Con los estadísticos n 1 y P 1 , el nivel crítico es la probabilidad de obtener un valor n 1 o P 1 , tan pequeño como el obtenido o más pequeño. c.2. Con el estadístico Z , p = P ( Z ≤ Z h).

Contraste sobre una proporción

Ejemplo:

La sintomatología del 30% de los pacientes neuróticos remite espontáneamente. Queremos averiguar si la terapia que usamos nosotros es eficaz: hay que demostrar que es capaz de recuperar una proporción mayor de ese 0,30. De 20 pacientes se recuperaron 9 en los tres primeros meses. ¿Puede afirmarse que el número de recuperaciones que se obtienen con esa terapia es mayor que el esperable por simple recuperación espontánea? (α = 0,05).

Contraste sobre una proporción

3. Estadísticos del contraste
4. n 1 = 9 P 1 = 0,
6. Distribuciones muestrales 4.1. n 1 y P 1 se distribuyen según la binomial con parámetros n = 20 y π = 0,30. 4.2. Z se aproxima a N (0,1) 1 , 46 0 , 30 ( 1 0 , 30 )/ 20 0 , 45 0 , 30 0 , 30 ( 1 0 , 30 ) 20 9 20 ( 0 , 30 )       Z 

Contraste sobre una proporción

5. Decisión
6. Como P ( n 1 ≥ 9) = P ( P 1 ≥ 0,45) = 1 – P ( n 1 ≤ 8)= 1 – 0,887 = 0,113 > α, mantenemos H 0 y concluimos que no se puede afirmar que nuestra terapia ofrece resultados significativamente mejores que los que se producen por azar.
7. Como P ( Z ≥ 1,46) = 1 – P ( Z ≤ 1,46)= 1 – 0,9279 = 0,0721 > α, mantenemos H 0 y concluimos lo mismo. De forma equivalente, como Z = 1,46 es menor que Z 0,95 = 1,65, nuestra Z cae en la zona de aceptación y por ello mantenemos H 0.

Ejercicio

Ejercicio. Plantea un contraste de hipótesis sobre una

proporción:

• (^) Piensa en una variable dicotómica
• (^) Plantea un valor π poblacional
• (^) Plantea la hipótesis nula y la alternativa

Ejercicio

Ejercicio 9.1. Se ha seleccionado una muestra aleatoria de

50 sujetos con fobia a los perros y se les ha aplicado un

determinado tratamiento durante dos meses. Se han

recuperado por completo 30 sujetos. Considerando que

este tipo de síntomas remiten espontáneamente a los

dos meses en el 25% de los casos, ¿puede afirmarse

que el tratamiento consigue más recuperaciones ( R ) de

las que se dan de forma espontánea? (α = 0,05).

La prueba Χ^2 de Pearson sobre bondad de ajuste En 1995 se estudió a la población española de jóvenes de 16 a 24 años y se conoció que la proporción a favor de la eutanasia era del 0,35; la de indiferente era de 0,25 y en contra de 0,40. En los últimos años se cree que los jóvenes actuales han cambiado en relación a esto, por lo que se quiere comprobar si las proporciones ya no son las mismas.

1. Hipótesis H 0 : f ( n ) =[ π a favor = 0,35; π indiferente= 0,25; π en contra= 0,40] H 1 : f ( n ) ≠[ π a favor = 0,35; π indiferente= 0,25; π en contra= 0,40] Para poder mantener o rechazar H 0 pedimos opinión a una muestra de 100 jóvenes. 50 se muestran a favor, 25 indiferentes y 25 en contra.

La prueba Χ^2 de Pearson sobre bondad de ajuste

2. Supuestos : Una muestra de 100 sujetos de entre 16-24 años se selecciona aleatoriamente y se les clasifica en 3 categorías exclusivas y exhaustivas: a favor , indiferente y en contra de la eutanasia. Las probabilidades teóricas afirmadas en H 0 se mantiene constante durante el proceso: [0,35; 0,25 y 0,40]. No hay frecuencias esperadas inferiores a 5.
3. Estadístico del contraste. donde n i se refiere a las frecuencias observadas y m i a las frecuencias esperadas.     I i (^) i i i m n m X 1 2 2 ( )