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Recopilación de información variada
Tipo: Apuntes
1 / 11
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Estudiante:
Anakaren del Cisne Andrade Luzuriaga
Docente:
Ing. Augusto Abendaño Legarda, MAE
Ciclo: 1er ciclo “A”
Fecha: 16 de Julio del 2023
Las medidas numéricas de un conjunto de datos numéricos son números calculados a partir de los propios datos, con objeto de que informen sobre alguna característica del propio conjunto.
Las medidas de tendencia central tienen como objetivo el sintetizar los datos en un valor representativo, las medidas de dispersión nos dicen hasta qué punto estas medidas de tendencia central son representativas como síntesis de la información.
Las medidas de dispersión son importantes porque nos hablan de la variabilidad que encontramos en una determinada muestra o población. Cuando hablamos de muestra, esta dispersión es importante porque condiciona el error que vamos a tener a la hora de hacer inferencias para medidas de tendencia central, como la media.
variable puesto que diferentes muestras extraídas de la
misma población tienden a tener diferentes medias. La
media se expresa en la misma unidad que los datos
originales: centímetros, horas, gramos, etc.
De aquí se desprende la fórmula definitiva del promedio:
Ejemplo:
Si una muestra tiene cuatro observaciones: 3, 5, 2 y 2, por
definición será:
Desviaciones:
Se define como la desviación de un dato a la diferencia entre
el valor del dato y la media:
varianza se representa con el símbolo σ² (sigma cuadrado)
para el universo o población y con el símbolo s² (s cuadrado),
cuando se trata de la muestra. La varianza se expresa en
unidades de variable al cuadrado.
Desviación estándar
La desviación estándar, que es la raíz cuadrada de la varianza,
se representa por σ (sigma) cuando pertenece al universo o
población y por “s”, cuando pertenece a la muestra.
σ² y σ son parámetros, constantes para una población
particular; s² y s son estadígrafos, valores que cambian de
muestra en muestra dentro de una misma población. La
desviación estándar simplemente en unidades de variable.
Fórmulas
Donde μ es el promedio de la población.
3 + 5 + 2 + 2 4
12 4
Ejemplo:
Una propiedad interesante de la media aritmética es que la
suma de las desviaciones es cero.
Mediana
La mediana es el valor de la variable que ocupa la posición
central, cuando los datos se disponen en orden de magnitud.
Es decir, el 50% de las observaciones tiene valores iguales o
inferiores a la mediana y el otro 50% tiene valores iguales o
superiores a la mediana.
Si el número de observaciones es par, la mediana
corresponde al promedio de los dos valores centrales.
Ejemplo :
En la muestra 3, 9, 11, 15, la mediana es (9+11)/2 = 10
Donde Ȳ es el promedio de la muestra.
Consideremos a modo de ejemplo una muestra de 4
observaciones.
Según la fórmula el promedio calculado es 7, veamos ahora
el cálculo de las medidas de dispersión:
s² = 34 / 3 = 11,33 Varianza de la muestra
La desviación estándar de la muestra (s) será la raíz
cuadrada de 11,33 = 3,4.
Ejemplo:
Calcular la media para 5 datos obtenidos de personas a las
que se les preguntó la talla de calzado. Los datos son: 4, 6,
3, 7 y 5.
Aplicando la formula, tenemos:
X= = = 5
La media que representa a las cinco personas es 5.
Mediana: La mediana es un valor de la variable que deja
por debajo de sí a la mitad de los datos, una vez que estos
están ordenados de menor a mayor.
Ejemplo:
La mediana del número de hijos de un conjunto de trece
familias, cuyos respectivos hijos son: 3, 4, 2, 3, 2, 1, 1, 2,
1, 1, 2, 1 y 1, una vez ordenados los datos:
1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4
Mitad inferior Mediana Mitad superior
Ejemplo:
A una reunión acuden personas con las siguientes edades:
25, 18, 31, 35, 24, 51, 38, 44, 26, 45, 53, 28, 37 y 40
Valor máximo: 53
Valor mínimo: 18
R= 53 – 18
R= 35
Lo cual quiere decir que entre la persona de mayor
edad y la de menor edad existe un rango de 35 años.
Desviación media: Es la medida de los valores absolutos de las distancias entre la media y los diferentes datos.
DM=
DM=
Ejemplo:
Obtener la desviación media de los siguientes datos:
4 + 6 + 3 + 7 + 5
5
25
5
𝑛 𝑖 = 1 ‖Xi - Ẍ‖
n Valor absoluto de la suma de las desviaciones
Número total de datos
𝒏 𝒊 =1(X₁ - Ẍ)² n
La suma de todos los datos: 60
La media es: 4
La varianza se obtiene:
l 4 - 4 l + l 4 - 4 l + l 5 - 4 l + l 5 - 4 l + l 4 - 4 l + l 5 - 4 l + l 5 - 4 l + l 4 - 4 l + l 3 - 4 l + l 3 - 4 l + l 3 - 4 l + l3-4l + l5- 4 l 15
En el caso de doce datos como los anteriores:
1, 1, 1, 1, 1, 1,2, 2, 2, 3, 3, 4 1,5 =
Mitad inferior Mediana Mitad superior
Moda: La moda es el dato más repetido, el valor de la
variable con mayor frecuencia absoluta. En cierto sentido
la definición matemática corresponde con la locución
"estar de moda", esto es, ser lo que más se lleva.
Ejemplo:
El número de personas en distintos vehículos en una
carretera: 5, 7, 4, 6, 9, 5, 6, 1, 5, 3, 7. Encontrar la moda.
El número que más se repite es 5 , entonces la moda es 5.
3 4 3 4 5 3 4 5 3 5 4 5 5 3 4
DM=
DM= 0.
Varianza: Es el promedio de los cuadrados de las
distancias de las observaciones a partir de la media (su
valor nunca será negativo).
ꝺ 𝟐 =
Ejemplo:
3 4 3 4 5 3 4 5 3 5 4 5 5 3 4
Obtener la varianza de los siguientes datos:
ꝺ 𝟐^ =
ꝺ 𝟐^ = 0.
1 + 2 2
La suma de todos los datos: 60
La media es: 4 La desviación media se obtiene:
(3-4)² + ( 4 - 4)² + ( 4 - 4 )² + ( 5 - 4)² + ( 5 - 4)² + ( 4 - 4)² + ( 5 - 4)² + ( 5 - 4)² + ( 4 - 4)² + (3-4)² + (3-4)² + (3-4)²
60
La desviación estándar es: 0.
La media es: 4
El coeficiente de variación se obtiene:
Coeficiente de variación: El coeficiente de variación
indica la importancia de la desviación estándar en relación
al promedio aritmético (se expresa en porcentaje).
C.V.= x 100
Ejemplo:
Calcular la desviación estándar para los siguientes datos
no agrupados:
3 4 3 4 5 3 4 5 3 5 4 5 5 3 4
C.V.= X 100
C.V.= 20.41%
Desviación estándar
Media
4
Conclusiones
Las medidas de tendencia central son valores a los que se puede recurrir si se quiere tener una referencia de una serie de datos.
No se debe cometer el error de tomar una decisión únicamente con una medida de tendencia central, es ampliamente
recomendable acompañar ésta con una medida de dispersión.
Las medidas de dispersión proporcionan información adicional que permite juzgar la confiabilidad de la medida de tendencia
central. Si los datos se encuentran ampliamente dispersos, la posición central es menos representativa de los datos.
Las medidas de dispersión son un complemento de análisis para las medidas de tendencia central. Al hacer una toma de
decisiones, es conveniente contar con ambas para poder analizar y decidir.
Bibliografía
LINCOYAN, PortusGovindea(1992) Curso Práctico De Estadística. Mc. Graw Hill
PORTILLA, Chimal Enrique (1992) Estadística Primer Curso
García Ferrando, M. (1996) Socioestadística. Introducción a la estadística en sociología
KAZMIER, J. Leonard, (1990). Estadística Aplicada a la Administración y la Economía,
Ed. McGrawHill, Ed. Segunda, Bogotá, Colombia.
