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ECUACIONES DE PRIMER GRAD0.
APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
Resultado de aprendizaje Evidencia de aprendizaje Actitud Resuelve situaciones problemáticas sobre ecuaciones de primer grado aplicando diversas estrategias matemáticas. Foro formativo de participación sobre aplicaciones de ecuaciones de primer grado. Informe: Resolución de situaciones contextuales aplicando ecuaciones de primer grado. Aplica conteni conceptuales procedimentales ecuaciones de primer gr para solucionar problem de la realidad, de man acertada, responsable proactiva. Posee actitud proactiva demuestra responsabilidad
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una ecuación es de primer grado, denominada también como ecuación lineal, si todas sus variables o incógnitas tienen exponente uno. Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Las dos expresiones que conforman una
ecuación son llamadas lados o miembros, y están separados por el signo de igualdad “=”. Las siguientes proposiciones son ejemplos de ecuaciones: 3x – 7 = x + 15 ……… (1) y2 – 7y = 10 – 4y ……… (2) 3x – 2y = 14 ……… (3) Las ecuaciones que estudiaremos en esta sección son las ecuaciones lineales de una variable y tiene la siguiente forma: ax + b = 0 ; donde a≠ 0 Resolver una ecuación consiste en hallar el valor de la variable que hace verdadera dicha igualdad. La solución es también llamada raíz de la ecuación siendo expresada por: x = − b a
Elementos de una ecuación de primer grado
Al observar la ilustración, nos daremos cuenta que en una ecuación intervienen varios elementos. Veamos: ● Incógnita ● Términos independientes ● Coeficiente principal Ejemplo:
RECOMENDACIONES PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER
GRADO
- Suprimimos primero los signos de colección o agrupación (si los hay) en ambos miembros.
- Eliminar denominadores (si los hay)
- Agrupar o transponer los términos con incógnitas a un lado de la ecuación o inecuación y los términos sin incógnita al otro.
- Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro.
- Despejar la incógnita y hallar el conjunto de solución.
- Comprobar. Ejemplo 1 : Resuelva la ecuación: 2 x + 9 = 4 x + 3 - Aplicamos la regla de transposición para pasar todos los términos con x al primer miembro, y todos los términos sin x al segundo miembro: 2 x – 4 x = 3 – 9 (Observa que los términos 2 x y 3 no han cambiado de signo, ya que siguen cada uno en el miembro de la ecuación en el que estaban). - Simplificamos operando en cada miembro de la ecuación términos semejantes Alg o
-2 x = -
- Ahora aplicamos la regla del producto para despejar x : x = 3 Ejemplo 2 : Resuelva la ecuación: 5x – 3 = 2x + 9 En primer lugar, restamos 2x a ambos lados de la ecuación y simplifiquemos. 5x – 3 – 2x = 2x + 9 – 2x 5x – 2x – 3 = 2x – 2x + 9 3x – 3 = 9 Ahora, sumemos 3 a ambos miembros de la ecuación y de nuevo simplifiquemos. 3x – 3 + 3 = 9 + 3 3x = 12 Por último, dividamos ambos lados entre 3 (el cual no es cero). 3 x 3
x = 4 A menudo surgen ecuaciones que a primera vista no parecen ser lineales, pero que pueden reducirse a ecuaciones lineales mediante simplificaciones apropiadas. Al efectuar tales reducciones, el siguiente procedimiento por etapas con frecuencia es útil. Paso 1 : Elimine las fracciones que aparezcan en la ecuación multiplicando ambos miembros por el denominador común de las fracciones involucradas. Paso 2: Pase todos los términos que contengan a la variable al lado izquierdo y todos los demás al lado derecho; simplifique entonces, si es posible, reduciendo términos semejantes.
2x + 4 – 2 + x = 6x – 12 Paso 3: Pasamos todos los términos que contienen a la variable al lado izquierdo y los constantes al derecho, no olvidando cambiar sus signos; se obtiene: 2x + x – 6x = -12 + 2 – 4 -3x = - Tenemos ahora una solución dividiendo ambos lados entre (-3), tenemos que: x = 14/ Ejemplo 5: Resuelva la siguiente ecuación: 4 7
2 x − 3
Solución: m.c.m. (7 ; 2x – 3) = 7(2x – 3) Multiplicamos la ecuación original por el m.c.m.: 7(2x – 3)
2 x − 3 )
Efectuando : 4(2x – 3) + 7(4) = 0 Reduciendo : 8x – 12 + 28 = 0 Transponiendo : 8x = - Dividiendo entre 8 : x = - Reemplazamos este valor en la ecuación original: 4 7
4 2 (− 2 )− 3 = 0 4 7
Compatible DETERMINADA
Casos de ecuaciones de primer grado
Reforzaremos la teoría de ecuaciones y veremos que sucede cuando la ecuación de primer grado: ax + b = 0, a ≠ 0 NO SE CUMPLA ; es decir, cuando “a” tome el valor de cero (0). Se tendrán dos casos: Caso 1: si a = 0 ∧ b = 0 Reemplazando los valores la ecuación resultará: 0x + 0 = 0 De donde podemos observar que cualquier valor de «x» satisface la ecuación; es decir, la ecuación tiene INFINITAS SOLUCIONES o es COMPATIBLE INDETERMINADA. Caso 2: si a = 0 ∧ b ≠ 0 La ecuación quedará así: 0x + b = 0 Podrá notar que ningún valor de «x» logra satisfacer la ecuación. En este caso se dice que la ecuación NO TIENE SOLUCIÓN o es IMCOMPATIBLE. ● Completa el siguiente cuadro, de acuerdo con lo leído.
Ecuaciones de primer grado
Forma general
Elementos
x: es la variable o incógnita. a: coeficiente principal. b: término independiente
Casos
COMPATIBLE INDETERMINADA. si a = 0 ∧ b= 0 si a = 0 ∧ b ≠ 0 (^) INCOMPATIBLE
Resuelva 5x – 2y = 4 6x – 3y = 3 Solución: (5x – 2y = 4) (-3) (6x – 3y = 3) (2) -15x+6y= - 12x-6y = 6 -3x=- X= 2 2.- Método de Sustitución: Pasos:
- Se despeja una incógnita en una ecuación.
- Se sustituye en la otra y se resuelve la ecuación.
- Se sustituye el valor obtenido en la expresión obtenida en el primer paso. Ejemplo : 3x – 2y = 12………. I x + 5y = 38……….. II Primero : Despejamos la variable x en la ecuación I: x = 12 + 2 y 3 Segundo : Sustituimos este valor en la ecuación II. 12 + 2 y (^3) + 5y = 38 Resolvemos la ecuación 12 + 2y + 15y = 114 17y = 114 – 12 17y = 102 y =
Tercero : Sustituimos la variable y de la expresión del primer paso por 6 y averiguamos el valor de la x. x =
x = 8 ^ y = 6 3.- Método de Igualación: Pasos:
- Se despeja la misma incógnita en las ecuaciones.
- Como los primeros miembros son iguales se igualan los sendos miembros y se resuelve la ecuación que resulta.
- Se sustituye el valor obtenido en una de las expresiones del paso primero. Ejemplo: 4x + 2y = 2……………………… ( I ) 3x + 5y = -9……………………. ( II )
- Despejamos la variable x o la variable y en las ecuaciones I y II respectivamente. y = 2 − 4 x (^2) ………………… (III) y = − 9 − 3 x (^5) …………………. ( IV )
- Igualamos los segundos miembros de las ecuaciones II y IV: 2 − 4 x 2
− 9 − 3 x 5 5 (2 – 4x) = 2 (- 9 - 3x) 10 – 20x = - 18 – 6x -20x + 6x = - 18 – -14x = - 28 x =
- Reemplazamos este valor en cualquiera de las ecuaciones III o IV y calculamos el valor de “y”. y = 2 − 4 x 2
Los métodos algebraicos a menudo son útiles en la solución de problemas aplicados en diversos campos. En general, tales problemas se establecen en forma verbal; antes de que podamos utilizar nuestras herramientas algebraicas, es necesario cambiar las declaraciones verbales a proposiciones algebraicas correspondientes. El siguiente procedimiento por etapas con frecuencia es útil en la aplicación de este proceso. Paso 1: Represente la cantidad desconocida (es decir, la cantidad que debe determinarse) mediante un símbolo algebraico, tal como x. En algunos problemas, deben determinarse dos o más cantidades; en tales casos, denotamos sólo una de ellas con x. Paso 2: Exprese todas las demás cantidades, si las hay, en términos de x. Paso 3: Traduzca las expresiones verbales que aparezcan en el problema en expresiones algebraicas en las cuales intervenga x. En este contexto, palabras tales como es o era se traducen al símbolo algebraico =. Paso 4: Resuelva la expresión o expresiones algebraicas de acuerdo con los métodos algebraicos. Paso 5 : Transforme la solución algebraica en forma verbal.
APLICACIONES A LOS NEGOCIOS
Primero definimos algunos términos de los negocios:
1. Costo Fijo : es la suma de todos los costos que son independientes del nivel de producción, tales como renta, seguro, etc. Este costo debe ser pagado independientemente de que se produzca o no. 2. Costo Variable : es la suma de todos los costos dependientes del nivel de producción tales como salarios y materiales. 3. Costo Total : Costo total = costo variable + costo fijo 4. Ingreso Total : Es el dinero que el fabricante recibe por la venta de su producción. Ingreso total = (precio por unidad) x (Número de unidades (^) vendidas) 5. Utilidad : es el ingreso total menos el costo total. (Utilidad = Ingreso total – Costo total) 6. El precio de un producto es igual al costo más la utilidad.
I = C. t. r 100 El Interés que produce un capital(C) prestado al r por ciento durante un tiempo t, es: Ejemplo 1
- Una evaluación realizada en clase consta de 42 preguntas. El profesor suma 4 puntos por cada respuesta correcta y resta 1 puntos por cada respuesta no contestada o mal contestada. Si un estudiante ha obtenido 48 puntos en la evaluación ¿Cuántas preguntas ha contestado correctamente? Solución Hagamos un esquema para entender mejor el problema Correcta Mal o no contestada Puntaje 4 - Supongamos que contesta x y Total 4x -y 4x – y = 48 Del esquema obtenemos también que x + y = 42 (total de preguntas) Formamos el sistema de ecuaciones y lo reducimos: 4x – y = 48 x + y = 42 5x = 90 -> x = 18 18 + y = 42 -> y = 24 Rpta : El estudiante contesto 18 preguntas correctamente Ejemplo 2: (Utilidad) La compañía Anderson fabrica un producto para el cual el costo variable por unidad es de S/ 6 y el costo fijo de S/ 80 000. Cada unidad tiene un precio de venta de S/ 10. Determine el número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de S/ 60 000.
b)
6 X − 7
3 X − 5
5 X + 78
c) (x + 5) (x + 7) = (x + 5) x d) 5(2x – 1) – 4(5x – 2) = 19 – 2(x + 12) e) 7(2x – 5) – (4x – 11) = 9(x – 6) + 29 f) 23x + 17(x – 3) = 8(1 – 5x) – 59 g) x + 1 2
x − 3 3
x + 3 4
x + 4 5 h) x − 4 5 = x − 2 3 − ( x − 3 ) 4 i) x + 1 x − 1
- 1 5 x − 1 = 2 j) 3x + 4y = 6x + 5y = 21 k) 7x – 3y = 29 8x + 4y = 48 l) 5x – 3y = 7 7x + 2y = 16
Parte II: Nivel intermedio
- (La edad de Pedro) Conversaba una pareja de esposos sobre sus edades, concluyendo que Pedro tiene 7 años más que su esposa. Hace 10 años Pedro tenía el doble de la edad de su esposa. ¿Cuántos años tiene Pedro?
3. (Ingresos mensuales) Una vendedora gana un salario base de $600 por mes más una comisión del 10% de las ventas que haga. Descubre que en promedio, le toma 1
horas realizar ventas por un valor de $100. ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2000?
- Compré un martillo y un puñado de clavos, pagando un total de 75 soles, habiendo pagado cuatro veces más por el martillo que por los clavos, ¿cuánto pagué por cada objeto?
- El Chirrido del grillo del árbol de nieve A finales de 1890, los naturalistas establecieron que cuando este grillo chirría (lo cual hace solo al final del verano), la velocidad del chirrido de N chirridos por minuto está relacionada con la temperatura del aire T en grados Fahrenheit por medio de la ecuación: N = 4.7T – 190 Cuando T aumenta, también lo hace N, lo cual significa que el grillo chirría más rápido en clima cálido. Para predecir la velocidad del chirrido a partir de la temperatura, simplemente multiplicamos la temperatura por 4.7 y restamos 190. Por ejemplo, cuando la temperatura es 60 grados, el grillo chirría a una velocidad de 4.7(60) – 190 = 92 chirridos por minuto. a. ¿Podemos utilizar los chirridos del grillo como un termómetro para indicar la temperatura? b. En una tarde de agosto en Nebraska, el grillo emite 139 chirridos por minuto, ¿cuál es la temperatura alrededor?
- En el mes de diciembre un comerciante gana cada semana $ 600 más que la semana anterior. Si consideramos que el mes tiene 4 semanas y que en la cuarta semana gana siete veces lo que gana en la primera semana, ¿Cuánto gana en cada semana?
- Un administrador de un minimarket compra una cierta cantidad de tomates a 2 soles el kilo. Se le echan a perder 4 kilos y el resto
Exportaciones de palta del Perú crecieron 43.8% en el primer semestre 2021 https://andina.pe/agencia/noticia-exportaciones-palta-del-peru-crecieron-438-el-primer-semestre- 2021-857723.aspx La recuperación económica experimentada en el primer semestre ha favorecido al sector agroexportador, en especial a las no tradicionales y dentro de ellas la que más destacó fue palta, señaló la Sociedad de Comercio Exterior (Comex Perú). Según cifras de la Sunat, en el primer semestre de 2021 las agroexportaciones no tradicionales alcanzaron un valor de 3,300 millones de dólares, lo que significó un crecimiento del 21.6% con respecto al mismo período del 2020. Según cifras del Ministerio de Agricultura y Riego (Midagri), al primer semestre del año, la producción de palta totalizó 535, toneladas, con un valor de 163 millones de dólares ( 629 millones de soles) Esto significó un incremento del 8.6% con respecto al 2020, cuando se produjeron 493,536 toneladas por un monto de 579 millones de soles. La región que ocupó el primer lugar en la producción de plata fue La Libertad, al alcanzar las 170,195 toneladas entre enero y julio de 2021, una ligera caída del 0.1% respecto al mismo período del año pasado. La Libertad representa un 31.8% de la producción nacional de paltas. En segundo lugar, se ubicó Lambayeque, que produjo un 18.3% de la producción total. Le siguen en el ranking Lima, con un 15% del total nacional, e Ica, 61093 Toneladas que representa un 11.4% del total producido.
Responda la siguiente pregunta.
¿Cuál es la producción en toneladas de paltas de las
regiones no mencionadas en el texto?
SITUACIÓN CONTEXTUAL N°
Exportaciones mineras peruanas alcanzan su mayor
cifra histórica por altos precios internacionales.
https://www.cesla.com/detalle-noticias-de-peru.php?Id= Las exportaciones mineras del Perú alcanzaron su mayor cifra histórica al registrar US$ 36,698 millones entre enero a noviembre de 2021, lo que significó un crecimiento de 56.6% con relación a igual período del 2020, informó el Ministerio de Energía y Minas (Minem). Según el Boletín Estadístico Minero (BEM), los envíos de cobre en dicho período crecieron 64.4% en el comparativo interanual, mientras que oro (31.5%), zinc (57.3%), plata (25.5%), plomo (35.5%), estaño (130.6%) y los de hierro y molibdeno que llegaron a 127.1%. Además, señaló que la minería es el principal contribuyente de la balanza comercial nacional con una participación de 64.6% en las exportaciones nacionales: productos minero- metálicos (63.5%) y no metálicos (1.1%). Agregó que los principales productos mineros-metálicos son el cobre, oro, zinc y plomo que, en conjunto, representaron el 56.6% de las exportaciones nacionales totales, entre enero y noviembre pasado, y el 87.7% de las exportaciones mineras. Solo en noviembre de 2021, las exportaciones mineras (metálicas y no metálicas) sumaron US$ 3,855 millones, cifra que representa un crecimiento significativo de 37.8% en comparación al mismo mes de 2020. Al respecto, el Minem resaltó que el resultado se debió principalmente a los altos precios internacionales de los metales y al crecimiento de la demanda mundial.
Responda las siguientes preguntas:
- ¿Cuánto registraron las exportaciones mineras del Perú entre enero a noviembre de 2020?
- ¿Cuánto sumaron las exportaciones mineras (metálicas y no metálicas) en noviembre de 2020?
- ¿Cuál fue el monto de las exportaciones nacionales totales en el año 2021?
SITUACIÓN CONTEXTUAL N°
Una compañía vitivinícola requiere producir 10,000 litros de jerez encabezando vino blanco, que tiene un contenido de alcohol del 10%, con brandy, el cual tiene un contenido de alcohol del 35% por volumen. El jerez debe tener un contenido de alcohol del 15%. Determine las cantidades de vino blanco y de brandy que deben mezclarse para obtener el resultado deseado.
