Formulari d’Integració
Propietats de la integral
a) Z(f(x)+g(x)) dx =Zf(x)dx +Zg(x)dx.
b) Zλf(x)dx =λZf(x)dx.
Integrals immediates
1. Zxndx =xn+1
n+1+Con n,−1.
2. Z1
xdx =log |x|+C.
3. Zexdx =ex+C.
4. Zaxdx =ax
ln a+Con a>0.
5. Zsin x dx =−cos x+C.
6. Zcos x dx =sin x+C.
7. Z1
cos2xdx =tan x+C.
8. Z1
1+x2dx =arctan x+C.
9. Z1
√1−x2dx =arcsin x+C.
Fórmula d’integració per parts
Zu dv =u v −Zv du,on u=u(x),v=v(x) i du =u0(x)dx idv =v0(x)dx.
Fórmula de canvi de variables
Zg(f(x)) ·f0(x)dx =Zg(t)dt,fent el canvi de variables t=f(x).
Teorema fonamental del Càlcul
Zb
a
f(x)dx =F(b)−F(a) on Fés una primitiva de f, i.e. F0=f.
Longituds i volums de revolució
L=Zb
aqx0(t)2+y0(t)2dt és la longitud de la corba α(t)=(x(t),y(t)) on t∈[a,b].
El volum del sòlid de revolució obtingut al girar la gràfica de y=f(x), on x∈[a,b], és
a) V=πZb
a
(f(x))2dx (en torn de l’eix Ox),
b) V=2πZb
a
x f (x)dx (en torn de l’eix Oy).