¡Descarga capítol 3. Integració y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
Cap´ıtol 3
Integraci´o
3.1 Definici´o de la integral i propietats
Sigui f una funci´o cont´ınua en un interval [a, b], amb a, b ∈ R i a < b. Considereu la regi´o plana R delimitada per la grafica de f (y = f (x)), l’eix d’abcisses (y = 0) i les rectes x = a i x = b. Si f (x) ≥ 0, per a tot x ∈ [a, b], llavors la integral de f entre a i b es defineix com l’area de R (figura 3.1(a)):
∫ (^) b
a
f (x) dx = `area (R).
Per exemple,
0 3 x dx^ =^
3 2 perque la regi´o delimitada per^ y^ = 3x,^ y^ = 0,^ x^ = 0 i x = 1 ´es un triangle amb base igual a 1 i altura igual a 3 i per tant t´earea igual a 32.
R
y = f (x)
x = a x = b
xx
yy
(a) f (x) ≥ 0, per a tot x ∈ [a, b].
R
y = f (x)
x = a (^) x = b
xx
yy
(b) f (x) ≤ 0, per a tot x ∈ [a, b].
Figura 3.1: La regi´o R quan f t´e signe constant en [a, b].
Si f (x) ≤ 0, per a tot x ∈ [a, b], llavors la integral de f entre a i b es defineix com menys l’`area de R (figura 3.1(b)):
∫ (^) b
a
f (x) dx = −`area (R).
Per exemple,
− 1 x dx^ =^ −
1 2 perque la regi´o delimitada per^ y^ =^ x,^ y^ = 0,^ x^ =^ −1 i x = 0 ´es un triangle amb base i altura iguals a 1 i per tant t´earea igual a 12. El signe
64 Integraci´o
de la integral ´es negatiu ja que la funci´o que integrem f (x) = x ´es ≤ 0 en l’interval [− 1 , 0].
Quan f canvia de signe en [a, b], l’eix abcisses parteix R en subregions de dos tipus (figura 3.2):
- Les formades per punts d’ordenada ≥ 0, ´es a dir, les que estan per sobre de l’eix d’abcisses. Les denotem R+ 1 ,... , R+ n.
- Les formades per punts d’ordenada ≤ 0, ´es a dir, les que estan per sota de l’eix d’abcisses. Les denotem R− 1 ,... , R− m.
Llavors la integral de f entre a i b es defineix com la suma de les arees de les subregions R+ 1 ,... , R+ n menys la suma de lesarees de les subregions R− 1 ,... , R− m:
∫ (^) b
a
f (x) dx =
∑^ n
j=
`area (R+ j ) −
∑^ m
k=
`area (R− k ).
R+ (^1) R+ 2
R− 1 R− 2
y = f (x)
x = a
x = b
xx
yy
Figura 3.2: Les subregions R+ j i R− k quan f canvia de signe en [a, b].
Propietats de la integral:
- Linealitat de la integral. Si f i g s´on funcions cont´ınues en l’interval [a, b], llavors
∫ (^) b
a
(f (x) + g(x)) dx =
∫ (^) b
a
f (x) dx +
∫ (^) b
a
g(x) dx i
∫ (^) b
a
c f (x) dx = c
∫ (^) b
a
f (x) dx,
per a qualsevol constant c ∈ R.
- Monotonia de la integral. Si f i g s´on funcions cont´ınues en l’interval [a, b] i f (x) ≤ g(x), per a tot x ∈ [a, b], aleshores
∫ (^) b
a
f (x) dx ≤
∫ (^) b
a
g(x) dx.
En particular, si f ´es una funci´o cont´ınua en l’interval [a, b] llavors ∣ ∣ ∣ ∣
∫ (^) b
a
f (x) dx
∫ (^) b
a
|f (x)| dx.
66 Integraci´o
3.2 Teoremes fonamentals del C`alcul
Primer teorema fonamental del c`alcul. Si f ´es una funci´o cont´ınua en l’interval [a, b] llavors la funci´o F : [a, b] → R definida per F (x) =
∫ (^) x
a
f (t) dt (x ∈ [a, b])
´es una primitiva de f en [a, b], ´es a dir, F ´es derivable en [a, b] i F ′^ = f.
El primer teorema fonamental del c`alcul diu que la integraci´o ´es l’operaci´o inversa de la derivaci´o.
Observacions. Suposem que F 0 ´es una primitiva d’una funci´o f en [a, b]. Llavors:
- Qualsevol funci´o de la forma F = F 0 + C, on C ∈ R ´es una constant, tamb´e ´es una primitiva de f en [a, b].
- Si F ´es una primitiva de f en [a, b] llavors F = F 0 + C, on C ∈ R ´es una constant. En efecte, la funci´o F − F 0 ´es derivable en [a, b] i la seva derivada ´es 0 en tot punt d’aquest interval, i per tant, com a conseq¨uencia del teorema del valor mitja F − F 0 ha de ser constant en [a, b]. Aix´ı doncs les primitives d’una funci´o estan determinades excepte una constant aditiva. La familia de les primitives d’una funci´o f s’anomena la integral indefinida de f i es representa pel s´ımbol (^) ∫ f (x) dx.
Per exemple,
1 dx = x + C i
x dx = x^2 /2 + C perqu`e F ′(x) = 1 i G′(x) = x, si F (x) = x i G(x) = x^2 /2. En contraposici´o, les integrals de la forma
∫ (^) b a f^ (x)^ dx^ es diuen^ integrals defi- nides. Els nombres a i b s´on els l´ımits d’integraci´o i la funci´o a integrar f ´es l’integrand. Pel primer teorema fonamental del calcul sabem que tota funci´o cont´ınua en un interval admet primitiva en aquest interval. El segon teorema fonamental del calcul ens diu com calcular una integral definida quan coneixem una primitiva de l’integrand:
Segon teorema fonamental del c`alcul o regla de Barrow. Si f ´es una funci´o cont´ınua en l’interval [a, b] i F ´es una primitiva de f en [a, b] llavors ∫ (^) b
a
f (x) dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a).
Segons la regla de Barrow, el calcul d’integrals definides es redueix al calcul de primi- tives o integrals indefinides. En la propera secci´o donarem alguns metodes de calcul expl´ıcit de primitives. Remarco “calcul expl´ıcit” perque encara que, pel primer teore- ma fonamental del calcul, tota funci´o cont´ınua admet primitiva, hi ha moltes funcions cont´ınues f (per exemple, la funci´o gaussiana f (x) = e−x 2 ) tals que les seves primiti- ves no es poden escriure en termes de les funcions elementals. En aquests casos, les corresponents integrals definides s’han de calcular utilitzant metodes num`erics.
3.3. C`alcul de primitives o integrals indefinides 67
3.3 C`alcul de primitives o integrals indefinides
Com hem comentat abans, en aquesta secci´o donarem alguns metodes basics de c`alcul expl´ıcit d’integrals indefinides.
Propietats elementals de les integrals indefinides.
f ′(x) dx = f (x) + C.
c f (x) dx = c
f (x) dx, per a tota constant c ∈ R.
(f (x) + g(x)) dx =
f (x) dx +
g(x) dx.
- Integrals inmediates.
S´on les que s’obtenen a partir de la taula de derivades de les funcions elementals:
0 dx = C.
xα^ dx =
xα+ α + 1
dx x
= ln |x| + C.
ex^ dx = ex^ + C. 4.
ax^ dx =
ax ln a
cos x dx = sin x + C. 6.
cosh x dx = sinh x + C.
sin x dx = − cos x + C. 8.
sinh x dx = cosh x + C.
sec^2 x dx = tan x + C. 10.
sech^2 x dx = tanh x + C.
csc^2 x dx = − cot x + C. 12.
csch^2 x dx = − coth x + C.
sec x tan x dx = sec x + C. 14.
sech x coth x dx = − sech x + C.
csc x cot x dx = − csc x + C. 16.
csch x coth x dx = − csch x + C.
dx √ 1 − x^2
= arcsin x + C. 18.
dx √ x^2 + 1
= sinh−^1 (x) + C.
dx 1 + x^2
= arctan x + C. 20.
dx √ x^2 − 1
= cosh−^1 (x) + C.
Tamb´e es consideren integrals inmediates aquelles integrals indefinides que es poden calcular a partir de les de la taula anterior utilitzant les propietats elementals.
3.3. C`alcul de primitives o integrals indefinides 69
- Integraci´o per parts. ∫ u(x)v′(x) dx = u(x)v(x) −
u′(x)v(x) dx,
que en llenguatge cl`assic s’escriu com a ∫ u dv = uv −
v du.
(Recordeu que du = u′(x) dx i dv = v′(x) dx.)
La f´ormula d’integraci´o per parts ´es conseq¨u`encia directa de la f´ormula de la derivada d’un producte: (uv)′^ = u′v + uv′.
En efecte, podem escriure aquesta identitat com a uv′^ = (uv)′−u′v i integrant obtenim ∫ u(x)v′(x) dx =
(uv)′(x) dx −
u′(x)v(x) dx = u(x)v(x) −
u′(x)v(x) dx,
ja que
(uv)′(x) dx = u(x)v(x)+C, i la constant C que apareix l’absorbeix la integral indefinida
u′(x)v(x) dx.
En el cas d’integrals definides la f´ormula d’integraci´o per parts ´es ∫ (^) b
a
u(x)v′(x) dx = [u(x)v(x)]ba −
∫ (^) b
a
u′(x)v(x) dx.
Exemples:
ln x dx = x ln x −
x d(ln x) = x ln x −
x
dx x
= x (ln x − 1) + C.
(ln x)^2 dx = x (ln x)^2 −
x d((ln x)^2 ) = x (ln x)^2 − 2
ln x dx
(∗) = x (ln x)^2 − 2 x (ln x − 1) + C. (∗) Per l’exemple anterior; Aqu´ı hem fet dues integracions per parts!
- De vegades, al fer dues integracions per parts torna a apareixer la integral de partida, i es pot calcular aquesta integral resolent l’equaci´o obtinguda. Per exemple: ∫ ex^ sin x dx =
sin x dex^ = ex^ sin x −
ex^ d(sin x) = ex^ sin x −
ex^ cos x dx
= ex^ sin x −
cos x dex^ = ex^ sin x − ex^ cos x +
ex^ d(cos x)
= ex^ sin x − ex^ cos x −
ex^ sin x dx
i per tant
ex^ sin x dx =
ex 2
(sin x − cos x) + C.
70 Integraci´o
- Integrals de funcions racionals. Volem calcular integrals de la forma
∫ P (x) Q(x)
dx, essent P i Q polinomis i grau (Q) ≥ 1.
Per simplificar l’exposici´o nom´es considerarem el cas en que els zeros complexos de Q, si en t´e, siguin simples.
Un cas senzill. Si Q(x) = (ax + b)n, amb a, b ∈ R constants, a 6 = 0 i n = 1, 2 ,... , llavors fent el canvi de variable t = ax + b obtenim la integral d’una combinaci´o lineal de pot`encies de t, que ´es inmediata.
Cas general. Si el grau de P ´es m´es gran o igual que el grau de Q, podem fer la divisi´o de P entre Q per obtenir que la funci´o racional P/Q ´es igual a un polinomi (que t´e integral inmediata) m´es una altra funci´o racional R/Q, amb el grau de R inferior al grau de Q. Aix´ı doncs, el nostre problema queda redu¨ıt al calcul d’integrals de funcions racionals on el polinomi del numerador t´e grau inferior al polinomi del denominador. Per tant, suposem d’entrada que el grau de P ´es m´es petit que el grau de Q. I tamb´e podem suposar que Q ´es monic, ´es a dir, de la forma
Q(x) = xN^ + αN − 1 xN^ −^1 + · · · + α 1 x + α 0.
(Si Q no fos m`onic, P podria absorbir el coeficient del monomi de major grau de Q.) Llavors Q factoritza de la seg¨uent forma:
Q(x) = (x − a 1 )μ^1 · · · (x − an)μn^ · ((x − b 1 )^2 + c^21 ) · · · ((x − bm)^2 + c^2 m),
on a 1 ,... , an, b 1 ,... , bm, c 1 ,... , cm ∈ R, de manera que els aj ’s s´on els zeros reals de Q (aj t´e multiplicitat μj ) i els bk ± ick s´on els zeros complexos de Q (que hem suposat simples). Aleshores P/Q admet la seg¨uent descomposici´o en fracci´ons simples:
P (x) Q(x)
∑^ n
j=
Aj, 1 x − aj
Aj, 2 (x − aj )^2
Aj,μj (x − aj )μj
∑^ m
k=
Bkx + Ck (x − bk)^2 + c^2 k
on els A’s, B’s i C’s s´on constants reals que es determinen igualant els dos termes de la identitat anterior i resolent el corresponent sistema lineal. Integrant obtenim
∫ P (x) Q(x)
dx =
∑^ n
j=
Aj, 1
dx x − aj
dx (x − aj )^2
dx (x − aj )μj
∑^ m
k=
Bk
x dx (x − bk)^2 + c^2 k
dx (x − bk)^2 + c^2 k
Les integrals de la primera l´ınia s´on molt f`acils de calcular:
∫ dx x − a
= ln |x − a| + C i
dx (x − a)ℓ^
(x − a)^1 −ℓ 1 − ℓ
- C (a ∈ R, ℓ = 2, 3 ,... ).
72 Integraci´o
En conclusi´o: ∫ x^4 x^3 + 1
dx =
x^2 2
x x^3 + 1
dx
x^2 2
dx x + 1
(2x − 1) dx (x − 12 )^2 + (^34)
3 dx ( (^) x− 1 √^2 3 / 2
x^2 2
ln |x + 1| 3
ln((x − 12 )^2 + 34 ) 6
arctan
( (^) x− 1 √^2 3 / 2
+ C.
3.4 Aplicacions de la integral
3.4.1 Arees de regions determinades per gr`` afiques
Si f i g s´on funcions cont´ınues en l’interval [a, b] i f (x) ≤ g(x), per a tot x ∈ [a, b] llavors l’area A de la regi´o R (figura 3.3) determinada per les grafiques y = f (x) i y = g(x) i les rectes x = a i x = b ´es
A =
∫ (^) b
a
(g(x) − f (x)) dx.
x = a
x = b
R
y = f (x)
y = g(x)
xx
yy
Figura 3.3: La regi´o R determinada per les gr`afiques de f i g en [a, b].
Exemple: Calculeu l’area delimitada per la parabola y = x^2 , la c´ubica y = x^3 , i les rectes x = ±2.
Observeu que: x^3 ≤ 0 ≤ x^2 , si − 2 ≤ x ≤ 0; x^3 ≤ x^2 , si 0 ≤ x ≤ 1; x^2 ≤ x^3 , si 1 ≤ x ≤ 2. Per tant, x^3 ≤ x^2 , si − 2 ≤ x ≤ 1, i x^2 ≤ x^3 , si 1 ≤ x ≤ 2. En conseq¨uencia, l’area A demanada ´es
A =
− 2
(x^2 − x^3 ) dx +
1
(x^3 − x^2 ) dx =
[
x^3 3
x^4 4
] 1
− 2
[
x^4 4
x^3 3
] 2
1
3.4. Aplicacions de la integral 73
3.4.2 Longitud d’un arc d’una gr`afica
Si f ´es una funci´o derivable en [a, b] i amb derivada f ′^ cont´ınua en [a, b] llavors la longitud L de l’arc de gr`afica y = f (x), a ≤ x ≤ b, ´es
L =
∫ (^) b
a
1 + (f ′(x))^2 dx.
Exemple: Calculeu la longitud de l’arc de la corba y =
x^3 6
2 x
entre x = 1 i x = 3.
Aqui f (x) =
x^3 6
2 x
i f ′(x) =
x^2 −
x^2
. Per tant,
1 + (f ′(x))^2 = 1 +
x^2 −
x^2
x^4 − 2 +
x^4
4 x^4 + x^8 − 2 x^4 + 1 4 x^4
x^8 + 2x^4 + 1 4 x^4
x^4 + 1 2 x^2
i en conseq¨u`encia la longitud L demanada ´es
L =
1
1 + (f ′(x))^2 dx =
1
x^4 + 1 2 x^2
dx =
1
x^2 +
x^2
dx
[
x^3 3
x
] 3
1
3.4.3 Arees de superf´` ıcies de revoluci´o
Sigui f una funci´o derivable en [a, b], amb derivada f ′^ cont´ınua en [a, b] i tal que f (x) ≥ 0, per a tot x ∈ [a, b]. L’area A de la superf´ıcie de revoluci´o S que s’obt´e al girar l’arc de grafica y = f (x), a ≤ x ≤ b, al voltant de l’eix de les abcisses ´es
A = 2π
∫ (^) b
a
f (x)
1 + (f ′(x))^2 dx.
Exemple: Calculeu l’area de la superf´ıcie de revoluci´o engendrada per rotaci´o al voltant de l’eix OX de l’arc de la parabola y^2 = 4x + 4 que t´e per extrems els punts (0, 2) i (8, 6).
Aqui f (x) =
4 x + 4 = 2(x + 1) (^12) , f ′(x) = (x + 1)−^ (^12) i
f (x)
1 + (f ′(x))^2 = 2(x + 1)
1 2
x + 1
= 2(x + 2)
1 (^2).
En conseq¨uencia, l’area A demanada ´es
A = 2 π
0
f (x)
1 + (f ′(x))^2 dx = 4π
0
(x + 2)
(^12) dx
= 4 π
[
(x + 2)
(^32)
] 8
0
8 π 3
(^32) − 2
(^32) ) =
16 π 3
