DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE
MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
DOCENTE: WILDER ROGER MIÑANO LEÓN
TEMA:
2023-I
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Integración de funciones, Ejercicios de Matemáticas Aplicadas
Este documento aborda los conceptos y métodos fundamentales de la integración de funciones, incluyendo la definición de antiderivada, propiedades de la integral indefinida, integrales inmediatas, métodos de integración como sustitución, integración por partes, integración de funciones trigonométricas e integración de funciones racionales. Se presentan ejemplos detallados que ilustran la aplicación de estos conceptos. El documento está dirigido a estudiantes universitarios de matemáticas y estadística que requieren dominar las técnicas de integración para resolver problemas en cursos de cálculo diferencial e integral. Cubre temas fundamentales como la relación entre la derivada y la antiderivada, las reglas básicas de integración, la integración de funciones trigonométricas y racionales, y los métodos de sustitución e integración por partes. Estos conocimientos son esenciales para comprender y aplicar el cálculo integral en diversas áreas de la matemática y la ciencia.
Tipo: Ejercicios
2023/2024
1 / 20
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DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE
MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
DOCENTE: WILDER ROGER MIÑANO LEÓN
TEMA:
2023 - I
Sea 𝑰 un intervalo y 𝒇: 𝑰 → 𝑹 una función. 𝑭: 𝑰 → 𝑹 una función
𝑭(𝒙) y 𝑮(𝒙) son antiderivadas de 𝒇 y 𝒈
𝑭 𝒙 = 𝑨𝒏𝒕(𝒇 𝒙 ) en 𝒙
tal que 𝑭’ 𝒙 = 𝒇 𝒙 ∀𝒙 ∈ 𝑰 se denomina primitiva ó antiderivada de 𝒇 en 𝑰
ANTIDERIVADA
𝟑
𝟒
𝒙
𝒙
𝟏) න 𝒅𝒖 =
𝒂
𝒖
𝒍𝒏𝒂
- 𝒄. 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟎
INTEGRALES INMEDIATAS
𝒖 + 𝒄
𝒍𝒏 𝒖 + 𝒄
𝒖
𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
- 𝒄
−𝒄𝒐𝒔 𝒖 + 𝒄
𝒆
𝒖
- 𝒄
𝟐) න
𝒅𝒖
𝒖
=
𝟑) න 𝒖
𝒏
𝒅𝒖 =
𝟒) න 𝒆
𝒖
𝒅𝒖 =
𝟓) න 𝒂
𝒖
𝒅𝒖 =
𝟔) න 𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒖 =
𝟏𝟏) න 𝒄𝒐𝒔 𝒖 𝒅𝒖 =^ 𝒔𝒆𝒏^ 𝒖^ +^ 𝒄
𝒕𝒂𝒏 𝒖 + 𝒄
𝟏𝟐) න 𝒔𝒆𝒄
𝟐
𝒖 𝒅𝒖 =
𝟏
𝒂
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒖
𝒂
- 𝒄
𝟕) න
𝒅𝒖
𝒖
𝟐
- 𝒂
𝟐
=
𝟖) න 𝒕𝒂𝒏 𝒖 𝒅𝒖 = −𝒍𝒏 𝒄𝒐𝒔𝒖 + 𝒄
𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒄𝒖 + 𝒕𝒂𝒏𝒖 + 𝒄
𝟗) න 𝒔𝒆𝒄 𝒖 𝒅𝒖 =
= 𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒄𝒖 + 𝒄
𝒍𝒏 𝒄𝒔𝒄𝒖 + 𝒄𝒐𝒕𝒖 + 𝒄
𝟏𝟎) න 𝒄𝒔𝒄 𝒖 𝒅𝒖 =
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ó CAMBIO DE VARIABLE
න 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 Se hace el reemplazo (^) 𝒙 = 𝝋(𝒕) y 𝒅𝒙 = 𝝋
′
𝒕 𝒅𝒕
′
Ejemplo:
𝟑
𝟒
𝟐
𝒕 = 𝒙
𝟑
- 𝟏
𝒅𝒕 = 𝟑𝒙
𝟐
𝒅𝒙
𝟒
=
𝒕
𝟓
𝟓
- 𝒄 =
𝒙
𝟑
- 𝟏
𝟓
𝟓
- 𝒄
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒) 𝒔𝒆𝒏
𝟐
𝒖 =
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒖
𝟐
𝟓) 𝒄𝒐𝒔
𝟐
𝒖 =
𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒖
𝟐
INTEGRALES DE LA FORMA: න^ 𝒔𝒆𝒏
𝒎
𝒏
CASO 1
Uno de los exponentes m ó n es un entero impar positivo
i) Si m es impar positivo se usa: 𝒔𝒆𝒏
𝟐
𝟐
ii) Si n es impar positivo se usa: 𝒄𝒐𝒔
𝟐
𝟐
Ejemplo:
න 𝒔𝒆𝒏
𝟑
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
𝟒
𝟒
𝟔
𝟒
𝟔
CASO 2
Ambos exponentes m y n son enteros pares y ≥ 𝟎
𝟐
𝟐
CASO 2
Si n es un entero par positivo
- Se factoriza 𝒔𝒆𝒄
𝟐
𝟐
ó
Ejemplo:
𝟑
𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄
𝟒
𝟑
𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄
𝟐
𝟐
y se usa
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐 𝒙 (𝟏 + 𝒕𝒂𝒏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
𝟐
𝟐
I CASO 𝒅𝒖 , 𝒂 > 𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
𝟐
𝟐
III CASO
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
Ejemplo
Calcular
𝑰 = න 𝟗 − 𝒙
𝟐
𝒅𝒙
𝑱 = න
𝒙
𝟐
- 𝟐𝒙 − 𝟑
𝒙 + 𝟏
𝒅𝒙
𝑲 = න
𝟐𝒙 − 𝟓
𝟒𝒙 − 𝒙
𝟐
𝒅𝒙
𝑯 = න
𝒅𝒙
𝒙
𝟐
𝟏𝟔 − 𝟗𝒙
𝟐
donde:
Integración de funciones racionales propias
I CASO න
𝒏
𝟏
𝟐
𝒏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝒏
𝒏
donde: (^) 𝑨
𝟏
𝟐
𝒏
son constantes que se van a determinar
donde:
Integración de funciones racionales propias
II CASO න
𝒏
𝒑+𝟏
𝒏
𝟏
𝟐
𝟐
𝒑
𝒑
𝒑+𝟏
𝒑+𝟏
𝒏
𝒏
donde: (^) 𝑨
𝟏
𝟐
𝒏
son constantes que se van a determinar
Ejemplo:
𝟐
𝟑
𝟐
𝑸 𝒙 = 𝒙
𝟑
- 𝟐𝒙
𝟐
− 𝒙 − 𝟐
න
𝟒𝒙
𝟐
- 𝟗𝒙 − 𝟏
𝒙
𝟑
- 𝟐𝒙
𝟐
− 𝒙 − 𝟐
𝒅𝒙 = න + +
𝑪
𝒙 + 𝟐
𝒅𝒙 =
𝟒𝒙
𝟐
- 𝟗𝒙 − 𝟏
𝒙
𝟑
- 𝟐𝒙
𝟐
− 𝒙 − 𝟐
=
𝑨
𝒙 + 𝟏
𝑩
𝒙 − 𝟏
𝑪
𝒙 + 𝟐
=
𝑨 𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟐 + 𝑩 𝒙 + 𝟏 𝒙 + 𝟐 + 𝑪(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟐)
𝟒𝒙
𝟐
- 𝟗𝒙 − 𝟏 ≡ 𝑨 𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟐 + 𝑩 𝒙 + 𝟏 𝒙 + 𝟐 + 𝑪(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
= 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 (𝒙 + 𝟐)
𝒙 = 𝟏
𝟏𝟐 = 𝑩(𝟐)(𝟑)
𝒙 = −𝟐 (^) 𝟏𝟔 − 𝟏𝟖 − 𝟏 = 𝑪(−𝟏)(−𝟑)
𝒙 = −𝟏 𝟒 − 𝟗 − 𝟏 = 𝑨(−𝟐)(𝟏)
= න
𝟑
𝒙 + 𝟏
𝟐
𝒙 − 𝟏
−𝟏
𝒙 + 𝟐
𝒅𝒙 =
𝑩 = 𝟐
𝑪 = −𝟏
𝑨 = 𝟑
Hallar las siguientes integrales indefinidas:
𝟏) න
𝟐𝒙
𝟐
- 𝟏
𝒙 + 𝟏
𝟐
(𝒙 − 𝟑)
𝒅𝒙
𝟐) න
𝒙
𝟑
- 𝒙
𝟐
− 𝟐𝒙 − 𝟑
𝒙 + 𝟏
𝟐
𝒙 − 𝟐
𝟐
𝒅𝒙
𝟑) න
𝟒𝒙
𝟐
- 𝟔
𝒙
𝟑
- 𝟑𝒙
𝒅𝒙
𝟒) න
𝒙
𝟑
- 𝒙 − 𝟏
𝒙
𝟐
- 𝟐
𝟐
𝒅𝒙
𝟓) න
𝒅𝒙
𝒙
𝟑
- 𝟑𝒙
𝟐
𝒅𝒙
𝟔) න
𝟐𝒙
𝟑
− 𝟒𝒙
𝟐
− 𝟏𝟓𝒙 + 𝟓
𝒙
𝟐
− 𝟐𝒙 − 𝟖
𝒅𝒙
𝟕) න
𝒙
𝟑
− 𝒙 + 𝟑
𝒙
𝟐
- 𝒙 − 𝟐
𝒅𝒙