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Métodos numéricos, ejercicio de apuntes y mas
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
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Las fórmulas de Newton-Cotes son los tipos de integración numérica más comunes. Se
basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados por un
polinomio de aproximación que es fácil de integrar:
donde fn(x) = un polinomio de la forma
donde n es el grado del polinomio.
La regla del trapecio es la primera de las fórmulas cerradas de integración de Newton-
Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación (21.1) es de primer grado:
una línea recta se puede representar como:
El resultado de la integración (véase el cuadro 21.1 para detalles) es:
que se denomina regla del trapecio.
Representación gráfica ca de la regla del trapecio.
Una forma de mejorar la precisión de la regla del trapecio consiste en dividir el intervalo
de integración de A a B en varios segmentos, y aplicar el método a cada uno de ellos
(figura 21.7). Las áreas de los segmentos se suman después para obtener la integral en
todo el intervalo. Las ecuaciones resultantes se llaman fórmulas de integración, de
aplicación múltiple o compuestas.
La figura 21.8 muestra el formato general y la nomenclatura que usaremos para
obtener integrales de aplicación múltiple. Hay n + 1 puntos igualmente espaciados
(x0, x1, x2,..., xn). En consecuencia, existen n segmentos del mismo ancho:
Si a y b se designan como x0 y xn, respectivamente, la integral completa se representará
Como:
Sustituyendo la regla del trapecio en cada integral se obtiene:
o, agrupando términos,
o, usando la ecuación (21.7) para expresar la ecuación (21.9) en la forma general de la
ecuación (21.5),
Como la sumatoria de los coeficientes de f(x) en el numerador dividido entre 2n es igual
a 1, la altura promedio representa un promedio ponderado de los valores de la función.
De acuerdo con la ecuación (21.10), a los puntos interiores se les da el doble de peso que
a los dos puntos extremos f(x0) y f(xn).
donde, en este caso h es igual a:
Esta ecuación se conoce como regla de Simpson 1/3, y es la segunda fórmula de integración
cerrada de Newton-Cotes. La especificación “1/3” se origina del hecho de que h está
dividida entre 3 en la ecuación (21.14). Una alternativa para obtenerla se muestra en el
cuadro 21.3, donde se integra el polinomio de Newton- Gregory para llegar a la misma
fórmula.
La regla de Simpson 1/3 también se puede expresar usando el formato de la ecuación
donde a = x0, b = x2 y x1 = el punto a la mitad entre a y b, que está dado por (b + a) /2.
Observe que, de acuerdo con la ecuación (21.15), el punto medio está ponderado por dos
tercios; y los dos puntos extremos, por un sexto.
Así como en la regla del trapecio, la regla de Simpson se mejora al dividir el intervalo
de integración en varios segmentos de un mismo tamaño (figura 21.11):
La integral total se puede representar como:
Al sustituir la regla de Simpson 1/3 en cada integral se obtiene
o, combinando términos y usando la ecuación (21.17).
Observe que, como se ilustra en la figura 21.11, se debe utilizar un número par de segmentos
para implementar el método. Además, los coeficientes “4” y “2” en la ecuación (21.18) a
primera vista parecerían peculiares. No obstante, siguen en forma natural la regla de Simpson
1/3. Los puntos impares representan el término medio en cada aplicación y, por lo tanto,
llevan el peso de 4 de la ecuación (21.15). Los puntos pares son comunes a aplicaciones
adyacentes y, por lo tanto, se cuentan dos veces.
De manera similar a la obtención de la regla del trapecio y Simpson 1/3, es posible
ajustar un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro puntos e integrarlo:
para obtener
donde, en este caso h es igual a:
Esta ecuación se llama regla de Simpson 3/8 debido a que h se multiplica por 3/8. Ésta es la
tercera fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La regla 3/8 se expresa también
en la forma de la ecuación (21.5):
Así los dos puntos interiores tienen pesos de tres octavos, mientras que los puntos extremos
tienen un peso de un octavo.
(Canale, 2020)
En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de
forma directa. Esto requiere conocer de antemano una función F(x)que sea el resultado de la
antiderivada de f(x). Para ello se puede disponer de tablas como las presentadas a
continuación:
El método integración por sustitución o cambio de variable se utiliza para evaluar integrales.
El método se basa en realizar de manera adecuada un cambio de variable que permita
convertir el integrando en algo sencillo. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena.
Antes de enunciar el teorema, considere un ejemplo simple para integrales indefinidas.
Se hace el cambio de variable
Por lo que la integral se convierte en:
donde es una constante arbitraria llamada constante de integración.
Frecuentemente este método es utilizado, pero no todas las integrales permiten el uso de
este método, en los casos en los que sí es posible, el resultado puede verificarse derivando y
comparando con el integrando original.
(Marta, 2021)
Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, que podemos tratar
como un producto) se recomienda utilizar el método de integración por partes que consiste
en aplicar la siguiente fórmula:
Nota: es importante escoger
ya que de este modo estamos reduciendo el grado del monomio (de 1 a 0). Si por el
contrario escogemos
aumentamos el grado (de 1 a 2) y complicamos más la integral ya que el factor de la
exponencial se mantiene igual y nos queda la integral.
(Llopis, 2021)
Método del trapecio
Integral a)
2
4
0
𝑏
𝑎
Los valores de a y b
La fórmula de la regla del trapecio es:
Sustituimos los valores de a y b
2
2
Obtenemos que nuestra integral calculada es:
Integral c)
2
ln (𝑥)𝑑𝑥
3
1
𝑏
𝑎
Los valores de a y b
La fórmula de la regla del trapecio es:
Sustituimos los valores de a y b
2
ln( 1 ) + 3
2
ln( 3 )
Obtenemos que nuestra integral calculada es:
Integral d)
2
sin 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
𝑏
𝑎
Los valores de a y b
La fórmula de la regla del trapecio es:
Sustituimos los valores de a y b
0
2
sin 0 +𝜋
2
sin 𝜋
2
Obtenemos que nuestra integral calculada es:
Integral b)
3
2
1
0
segmentos mayor precisión:
valor inferior y b el valor superior
a = 0, b = 1
𝑏−𝑎
𝑛
1 − 0
4
𝑛− 1
𝑖= 1
de x0=0, xi= 0.25, 0.5, 0.75 y Xn=1,
Integral c)
2
ln (𝑥)𝑑𝑥
3
1
segmentos mayor precisión:
valor inferior y b el valor superior
a = 1 , b = 3
𝑏−𝑎
𝑛
3 − 1
4
𝑛− 1
𝑖= 1
de x0= 1 , xi= 1 .5, 2 , 2.5 y Xn= 3 ,
