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Área entre una función y el eje de abscisas
1. La función es positiva Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por: Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos: 1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación. 2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte. Ejemplos 1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x 2 y el eje OX. En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.
Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.
2. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12. · 3. Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0). Ecuación de la recta que pasa por AB: Ecuación de la recta que pasa por BC:
2. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre π/2 y 3π/2. 3. La función toma valores positivos y negativos En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación. 2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración. 3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo. Ejemplos
1. Hallar el área limitada por la recta , el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4. 2. Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x 2 + y^2 = 9.
El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo. Ejemplos
1. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x 2 + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4). 2. Hallar el área de la figura limitada por: y = x^2 , y = x, x = 0, x = 2 Puntos de corte de la parábola y la recta y = x.
De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola. De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola.
3. Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados. Calculamos el punto de corte de la curva y la recta y = 2.
5. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y 2 = 4x e y = x^2.
Área comprendida entre dos funciones El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo. Ejemplos
- Calcular el área limitada por la curva y = x^2 -5x + 6 y la recta y = 2x. En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.
- Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x^2 e y = −x^2 + 4x. En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes. Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración.
- Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x^2 − 2x, y = −x^2 + 4x. Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.
