Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Información sobre cómo calcular las raíces de funciones matemáticas mediante diferentes métodos numéricos, como el método gráfico, punto fijo, bisección y método de Newton-Raphson. Además, se explican los tipos de funciones algebraicas y trascendentes, y sus respectivas propiedades.
Tipo: Apuntes
1 / 38
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Análisis Numérico
Santos Rodríguez Aris Sofía Ramírez Buron Luis Fernando Santiago García Jesús Mario
García Arechiga Benito
4 .-semestre OAXACA DE JUÁREZ, OAXACA, 15 DE ABRIL DE 2021.
Los métodos abiertos utilizan una fórmula para predecir la raíz. Esta fórmula puede desarrollarse como una iteración simple de punto fijo (también llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva o método de punto fijo). Las raíces múltiples son determinados de ecuaciones polinómica que tienen la forma general: fx = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn Donde n es el grado del polinomio y son los coeficientes. Las raíces de los polinomios pueden ser reales y / o complejos, y cumplir con las tres reglas: En una ecuación de grado n, hay n raíces reales o complejas. Cabe señalar que las raíces no son necesariamente diferentes. Si n es impar hay al menos una raíz real. Si hay raíces complejas, estas se encuentran en pares conjugados. Método de punto fijo Un punto fijo de una función , es un número tal que. El problema de encontrar las soluciones de una ecuación y el de encontrar los puntos fijos de una función son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontrar las soluciones de una ecuación , podemos definir una función con un punto fijo de muchas formas; por ejemplo,. En forma inversa, si la función tiene un punto fijo en , entonces la función definida por posee un cero en. El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial y genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación. A la función se le conoce como función iteradora. Se puede demostrar que dicha sucesión converge siempre y cuando.
Método Secante El método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa. Uno de los objetivos de este método es eliminar el problema de la derivada de la función, ya que existen funciones que describen fenómenos físicos en la vida real, cuya derivada es muy compleja. Consiste en una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo. En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la raíz de investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para aproximar mejor la raíz de una función f. El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias finitas del método de Newton-Raphson. Sin embargo, este método fue desarrollado independientemente de este último. El método se define por la relación de recurrencia: Como se puede ver, este método necesitará dos aproximaciones iniciales de la raíz para poder inducir una pendiente inicial. Para llevarlo a cabo es necesario conocer las 2 aproximaciones anteriores Xi y Xi- 1 (o iniciales) para así poder calcular la siguiente aproximación Xi+1.
Hay que determinar un número máximo de iteraciones Normalmente esto se hace considerando una “tolerancia”, esto es: El valor absoluto de la diferencia de la debe ser menor que la tolerancia o el resultado de alguna fórmula de error debe ser menor que la tolerancia dada. Una de las fórmulas de error más útiles es la del error relativo porcentual aproximado: 100 % El método de Newton-Raphson es convergente cuadráticamente, es decir, el error es aproximadamente al cuadrado del error anterior. Esto significa que el número de cifras decimales correctas se duplica aproximadamente en cada interacción. Cuando el método de Newton-Raphson converge, se obtienen resultados en relativamente pocas interacciones, ya que para raíces no repetidas este método converge con orden 2 y el error Ei+1 es proporcional al cuadrado del resultado anterior Ei Supóngase que el error en una iteración es 10-n^ el error en la siguiente, (que es proporcional al cuadrado del error anterior) es entonces aproximadamente 10 - 2n, el que sigue será aproximadamente 10-4n^ etc. De esto puede afirmarse que de cada iteración duplica aproximadamente el número de dígitos correctos.
Sin embargo el método de Newton-Raphson algunas veces no converge, sino que oscila. Esto ocurre si no hay raíz real, si la raíz es un punto de inflexión o si el valor inicial está muy alejado de la raíz buscada y alguna otra parte de la función “atrapa” la iteración.
Los métodos cerrados se caracterizan porque una función cambia de signo en un intervalo que encierra la raíz y porque para desarrollar el algoritmo donde se encuentra la raíz necesita de dos valores iniciales (límite inferior y límite superior) entre los cuales se encuentra la misma. Método de bisección Este método tiene como objetivo buscar la raíz de una función, tomando un intervalo inicial y reduciendo gradualmente a la mitad este, hasta hallar una aproximación o la raíz que satisface la función. Este método plantea que si se cumple que: f(x) es real y continua en el intervalo que va desde un Xi hasta un Xs f(Xi) f(Xs)< Si se cumple lo anterior, por lo menos existe una raíz dentro de este intervalo. El procedimiento es el siguiente: Se elige un intervalo inicial para función f(x) Luego se busca localizar la raíz con mayor exactitud dentro del intervalo dividiendo a la mitad y observando si se conservan las condiciones iniciales. Se compara el Xmed con cada uno de los límites del intervalo y se observa que producto cambia de signo y se asigna un nuevo intervalo.
Método de Falsa Posición Este método tiene como objetivo encontrar la intersección de una recta conformada por los puntos a y b con el eje x, y obtener nuevos intervalos más pequeños, lo la cual permite una aproximación a una raíz. Este método conserva todas las características y condiciones que posee el método de bisección, excepto por la forma de calcular el punto intermedio del intervalo Para aplicar el método se debe tener en cuenta: Si se tiene dos puntos (a, f(a)) y(b, f(b)) y se traza la recta que une a estos dos puntos, se puede observar que un punto está por debajo del eje x y otro por encima de este, y un punto intermedio (Xm,0), con este punto intermedio se puede comparar los límites y obtener un nuevo intervalo Si f(A) y f(B)<0, entonces la raíz se encuentra al lado izquierdo del intervalo. Si f(A) y f(B)>0, entonces la raíz se encuentra al lado derecho del intervalo. Para hallar la intersección de la recta con el eje X usamos la siguiente fórmula: Xm= a - ((f(a)*(b - a))/(f(b) - f(a))) El método de Regla Falsa converge más rápidamente que el de bisección porque al permanecer uno de sus valores iniciales fijo el número de cálculos se reduce mientras que el otro valor inicial converge hacia la raíz.
Las funciones algebraicas son funciones que se generan a partir de funciones elementales (como la función constante o la función identidad, entre otras), realizando operaciones sobre las mismas (como la suma, multiplicación o división). Función algebraica de primer grado La función lineal es un polinomio de primer grado, y cuya gráfica, es una línea recta. Las funciones lineales tienen la siguiente forma: y = a1x + a
Función algebraica de tercer grado Las funciones de tercer grado, o funciones cúbicas, tienen la siguiente forma: y = a3x3 + a2x2 + a1x + a La gráfica de las funciones de tercer grado, es la parábola cúbica. La forma simplificada de la función cúbica, es y=x3. En caso de tener a3>0, se puede deducir que, si x−>+∞, resulta que y−>+∞, mientras que, si x−>-∞, resulta que y−>-∞. Ahora, en caso de tener a3<0, se puede deducir que, si x−>+∞, resulta que y−>-∞, mientras que, si x−>-∞, resulta que y−>+∞.
Funciones algebraicas de grado n Una función polinomial de grado n con una variable es una expresión algebraica de la forma: en la cual x es la variable y las an, an- 1 , etc. son los coeficientes. Se llama función porque para cualquier valor de x existe uno y solo un valor de ƒ(x). Definimos el grado de la función polinómica como el mayor exponente involucrado en la expresión que lo define, en algunos textos se denota con la expresión , ó. La importancia del grado del polinomio radica en que éste determina la velocidad con la que crecerá a medida que crece la variable y aunque aún no tenemos las herramientas para graficar otro tipo de funciones que no sean elementales, podemos anunciar que las formas gráficas de los polinomios también variarán dependiendo de su grado, consideremos las siguientes funciones: Existen una serie de reglas que pueden ayudar a determinar las raíces de una ecuación: El teorema de Bolzano, que establece que si una función continua, f ( x ), toma en los extremos del intervalo [ a , b ] valores de signo opuesto, entonces la función admite, al menos, una raíz en dicho intervalo. En el caso en que f ( x ) sea una función algebraica (polinómica) de grado n y coeficientes reales, podemos afirmar que tendrá n raíces reales o complejas.
Las funciones trascendentes no-elementales, también se le conocen como funciones especiales y entre ellas puede nombrarse la función error. Las funciones algebraicas (polinomios, cocientes de polinomios y raíces de polinomios) junto a las funciones trascendentes elementales constituyen lo que en matemáticas se conoce como funciones elementales. Se consideran funciones trascendentes también las que resultan de operaciones entre funciones trascendentes o entre funciones trascendentes y algebraicas. Estas operaciones son: la suma y diferencia de funciones, producto y cociente de funciones, así como la composición.
Función exponencial Es una función real de variable independiente real de la forma: f(x) = a^x = ax donde a es un número real positivo ( a>0 ) fijo denominado la base. El circunflejo o el superíndice se usan para denotar la operación de potenciación. Pongamos por caso que a = 2 entonces la función queda así: f(x) = 2^x = 2x La cual se evaluará para varios valores de la variable independiente x: A continuación se muestra un gráfico donde se representa la función exponencial para varios valores de la base, incluyendo la base e (número de Neper e ≃ 2.72). La base e es tan importante que, por lo general, cuando se habla de función exponencial se piensa en e^x , que también se denota exp(x). Propiedades de la función exponencial
Propiedades de la función logaritmo El dominio de la función logaritmo y(x) = loga(x) son los números reales positivos R+. El rango o recorrido son los números reales R. Independientemente de la base, la función logaritmo siempre pasa por el punto (1,0) y el punto (a, 1) pertenece al gráfico de dicha función. En el caso que la base a sea mayor que la unidad (a > 1) la función logaritmo es creciente. Pero si (0 < a < 1) entonces es una función decreciente. Funciones seno, coseno y tangente La función seno asigna un número real y a cada valor x, donde x representa la medida de un ángulo en radianes. Para obtener el valor del Sen(x) de un ángulo, se representa el ángulo en el círculo unitario y la proyección de dicho ángulo sobre el eje vertical es el seno correspondiente a ese ángulo. A continuación se muestra (en la figura 3) el círculo trigonométrico y el seno para varios valores angulares X1, X2, X3 y X4.
Definida en esta forma el máximo valor que puede tener la función Sen(x) es 1, el cual ocurre cuando x= π/2 + 2π n, siendo n un número entero (0,±1, ±2, ). El mínimo valor que puede tomar la función Sen(x) ocurre cuando x = 3π/2 + 2π n. La función coseno y = Cos(x) se define en forma similar, pero la proyección de las posiciones angulares P1, P2, etc se realiza sobre el eje horizontal del círculo trigonométrico. Por otra parte, la función y = Tan(x) es el cociente entre la función seno y la función coseno. Seguidamente se muestra un gráfico de las funciones trascendentes Sen(x), Cos(x) y Tan(x)
