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Por: Lic. Eleazar J. García
República Bolivariana de VenezuelaTinaco.- Estado Cojedes.
INTEGRALES INDEFINIDAS
sustracción^ Usted son^ está operaciones^ familiarizado inversas,^ con^ algunas la multiplicación^ operaciones^ y inversas la división.^ La^ adiciónson también^ y^ la
operaciones inversas, así como la potenciación y la extracción de raíces. Ahora, conocerá laoperación inversa la de derivación o diferenciación denominada antiderivación o
antidiferenciación conoceremos a continuación,, la cual implica el cálculo de una antiderivada , concepto que
Antiderivada. La antiderivada de una función f en un intervalo I, es otra función F tal que para
todo x ∈I , F ′( )^ x =f ( ).x
Ejemplo. Si F es la función definida por F x ( ) = 4 x 3 + x 2 + 5, entonces F ′ ( ) x = 12 x 2 + 2 .x De
modo que si G es la función definida por f ( )x = 12 x 2 + 2 , xG xentonces ( ) = 4 x 3 +f es la derivada dex 2 −17, entonces GF , ytambién es una antiderivada de F es la antiderivada de f. Si
fH x, ( )porque = 4 x 3 + x G 2 + ′ ( ) Cx , =donde 12 x^2 +C 2. es una constante, es una antiderivada dexEn realidad, cualquier función f. H definida por
Teorema 1. Si f y g son dos funciones definidas en el intervalo I, tales que f ′( ) x = g ′( )x para
todo x ∈ I,entonces existe una constante K tal que f ( )x = g x( ) + Kpara todo x ∈I.
determina el conjunto de todas las antiderivadas^ “La^ antiderivación^ o^ antidiferenciación^ es de una función dada. El símboloel^ proceso^ mediante^ el^ cual^ se
∫F (^) ′ ( ) denotax = f ( )^ xlay^ operaciónd (^) ( F x( ) (^) )=^ def ( )x dx^ antiderivación,”.^ y^ se^ escribe^ ∫ f^ ( )x dx^ =^ F x( )^ +C, donde En la igualdad (^) ∫ f ( )x dx = F x( ) +C, x es la variable de integración, (^) f ( )x es el integrando y la expresión indefinida” de f. Si (^) { F x( ) F x +( ) C (^) }+es el conjunto de todas las funciones cuyas diferenciales C recibe el nombre de antiderivada general o “ integral
sean f ( )x dx , también es el conjunto de todas las funciones cuya derivada es f ( ).x
Eleazar J. García Integrales Indefinidas
Teorema 2.
∫dx^ =^ x^ +C^.
Teorema 3.
∫ af^ ( )x dx^ =a^ ∫ f^ ( )x dx^ ,donde^ a^ es una constante.
Teorema 4. Si las funciones f y g están definidas en el mismo intervalo, entonces
∫ [^ f^ ( )x^ +^ g x( )^ ]^ dx^ =^ ∫ f^ ( )x dx^ +∫g x dx( )^.
Teorema 5. Si las funciones f 1 , f 2 , f 3 , … , fn están definidas en el mismo intervalo, entonces
[ 1 1 2 2 3 3 ] 1 1 2 2 3 3
n n n n
c f x c f x c f x c f x dx c f x dx c f x dx c f x dx c f x dx
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
donde c 1 , c 2 , c 3 , … , cn son constantes.
Teorema 6.
Si n es un número racional, entonces∫x dxn^ = (^) nx^ n +^ +^11 + C n≠ − 1.
Ejemplos.
1) Evalúe (^) ∫( 5 x^4^ − 8 x^3^ + 9 x^2 − 2 x + (^7) )dx
Solución.
(^4 3 2 )^4 3 5 4 3 2 5 4 3 2
x x x x dx x dx x dx x dx x dx dx
x x x x x C
x x x x x C
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2) Calcule (^) ∫ x ^ x +^1 xdx
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Teorema 12.
∫^ csc^ x^ cotg^ x dx^ = −^ cscx^ +C
Ejemplos.
1) Evalúe (^) ∫( 3 sec x tg x − 5 csc^2 x + 8 senx dx)
Solución.
( ) ( ) ( )
sec tg csc sen sec tg csc sen
sec cotg cos sec cotg cos
x x x x dx x x dx x dx x dx
x x x C x x x C
∫ (^) = − − + ∫− + = ∫ (^) + − ∫ +
integrales indefinidas que involucran funciones trigonométricas. Las ocho identidades^ Las identidades trigonométricas se emplean con frecuencia cuando se calculan
trigonométricas fundamentales siguientes son de crucial importancia.
2 2 2 2 2 2
sen csc 1 cos sec 1 tg cotg 1 tg sen cos^ cotg cossen
sen cos 1 tg 1 sec cotg 1 csc
x x x x x x x x x x xx
x x x x x x
2) Calcule (^) ∫^2 cotg^ senx^ −^3 xsen^2 x^ dx
Solución.
( ) ( )
cotg (^) sen sen (^) sen cotg sensen csc cotg sen csc cos csc cos
x (^) x x (^) dx (^) x x dx (^) xxdx x x dx x dx x x C x x C
∫ (^) = − ∫ (^) − − + ∫= − (^) + ∫ (^) + ∫
3) Determine (^) ∫( tg^2 x + cotg^2 x + (^4) )dx
Solución.
( tg^ cotg^ ) ( sec^ ) ( csc^ ) sec^ csc
tg cotg
x x dx dx x dx x dx dx
x x x C
+ + = ^ − + − + = + +
∫ (^) = ∫ (^) − + + ∫ ∫ ∫
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Ejercicios. Calcule las integrales indefinidas:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
) cos sen ) cossen ) sencos ) csc cot sec
) cotg tg ) tg^ coscos
5 3 3 42 3 2 4 2 2 2 2 2 2 2
u u du xx^ dx y y dx y^ yy dx
x x dx x x^ dx xxdx x x x dx
θ θ d θ^ β β βdβ
− −^ +^ −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Teorema 13. Sea g Regla de la cadena para antiderivación. una función diferenciable y sea el contradominio de g algún intervalo I.
Suponga que f es una función definida en I y que F es una antiderivada de f en I. Entonces
∫ f^ (^ g^ (^ x^ ))^ ^ g^ ′^ (^ x^ )^ dx^ =^ ∫f^ (^ g^ (^ x^ ))^ d^ (^ g^ (^ x^ ))^ =^ F^ (^ g^ (^ x^ ))^ +C.
Teorema 14. Si g es una función diferenciable y n es un número racional, entonces
∫^ g^ (^ x^ )^ ^ n^ ^ g^ ′^ (^ x dx)^ ^ =^ ^ g^ (n^ x+)^1 ^ n^ +^1 +^ C^ n≠ −^ 1.
Ejemplos.
1) Evalúe (^) ∫ 3 x + 4 dx
Solución.
∫^3 x^ +^^4 dx^ =^ ∫^ (^^3 x^ +^4 )^1 2 dx
y observe que sifactor 3 junto a dx g x ( )para obtener = 3 x+ 4 g ′( ) entoncesx dx = 3 dx.En consecuencia, se escribeg ′( )^ x dx = 3 dx.Por lo tanto, se necesita un
( ) ( ) ( ) ( (^) ( ( ))) ( (^) ( ) ) ( (^) ( ( ))) ( (^) ( ( )) ) ( )
( ( )) ^ (^ )
(^1 2 1 2 1 2 ) (^11) (^2 3 )
(^13 13 )
(^13 ) (^121)
n g x^ n^ g^ x dx^ g xn d g x g x n
x dx x dx x dx x d x x (^) C x C
+^ ′
∫ ∫ ∫ ^ ∫
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Ejemplo.
Evalúe (^) ∫ x (^3) x (^) +^^21 dx
Solución. En este caso u = x 3 + 1 ,por lo tanto, du = 3 x dx 2 ,luego se necesita un factor 3 junto a
x^2 dx para obtener du. Entonces, se escribe
^ (^ )^ ln
∫ x^ x^ +^^1^ dx^ =^ ∫ x^ x+^^1 dx^ =^ ∫ xu+^1 d^ xdu^ +^ =^ x^ +^ +C
Teorema 16.
∫^ tg^ u du^ =^ ln secu^ +C
Ejemplo.
Calcule (^) ∫ x^5 tgx dx^6
Solución. Consideremos u = x 6 ,tenemos que du = 6 x 5 dx,luego necesitamos un factor 6 junto
a x dx^5 para obtener du. Por lo tanto,
∫ x^5^^^ tg^ x dx^6^ =^^16 ∫ tg^ x^^6^ (^^6 x dx^5^ )^ =^^16 ∫tg^ x du^6^ ^ (du^ x^6^^ )=^^16 ln secx^^6 +C
Teorema 17.
∫^ cotg^ u du^ =^ ln senu^ +C
Ejemplo.
Calcule (^) ∫cotg (^) ( 7 x + (^3) )dx
Solución. Como u = 7 x+ 3 ,entonces du = 7 dx,por lo tanto,
∫ cotg^ (^^7^ x^ +^^3 )^ dx^ =^^17 ∫ cotg^ (^^7 x^ +^^3 )(^^7 dx^ )^ =^^17 ∫ cotg^ (^ ^7 x u^ + ^3 )^ d^ (^^7 ^ dux^ +^ ^3 )^ =^^17 ln sen(^^7 x^ +^^3 )+C
Teorema 18.
∫^ sec^ u du^ =^ ln sec^ u^ +^ tgu^ +C
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Ejemplo.
Evalúe (^) ∫ 5 x sec x dx^2
Solución. Siendo u = x 2 ,entonces du = 2 x dx,luego, podemos escribir
∫^5 x^ sec^ x dx^2^ =^^52 ∫ sec^ x^^2^ (^^2 x dx^ )^ =^^52 ∫sec^ x d^2^ (^ x^2^^ )=^^52 ln sec^ x^^2 +^ tgx^^2 +C
Teorema 19.
∫^ csc^ u du^ =^ ln csc^ u^ −^ cotgu^ +C
Ejemplo.
Resuelva (^) ∫sen^12 xdx
Solución.
∫ sen^1 2^ x^ dx^ =^ ∫ csc^^2 x dx^ =^^12 ∫ csc^^2 x^ (^^2 dx^ )^ =^^12 ∫csc^^2 x d^ (^^2 x^ )=^^12 ln csc^^2 x^ −^ cotg^2 x^ +C
Ejercicios. Resuelva las integrales indefinidas:
( ) ( ) ( ) ( (^) ( ))
) ) ) ) ) (^) ln ) (^) cossen ) cotg csc ) cossen^ ) cossen ) tg sec ) ) ) ln ) lnln
2 32
2 3 2 2 2
x dx^ x^ x dx^ x x^ dx^ x xx dx^ y ydy t t^ dt^ x^ x dx^ x^ x dx^ x xdx x x dx (^) x x^ dx yy^ dy (^) xxdx x xx^ dx
− + +^ −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )
) (^) ln^ ln ln ) ) tg ln^ ) cotg^ ) (^) ln ) ln
2 5 33 2 2 7
x x^ x x dx^ x^ xx^ x dx x x^ dx^ t t^ dt^ x dx^ x xxdx
+^ +^ −^ ++^ −
∫ (^) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Teorema 20. u u
∫^ e du^ =^ e^ +C
Ejemplo.
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∫ u duu^2^ − 1 =^ arc secu^ +C
El teorema siguiente proporciona algunas fórmulas más generales.
Teorema 23.
arcsen arctg
2 2 2 2 1 a
a du^ u u^ a^ C a du^ u ua^ C
−^ =^ +
+ =^ +
∫u u^ du^2 −^ a^2 =^^1 aarc secu^ a^ +C
Ejemplos.
1 ) Evalúe ∫ 4^ dx− 9 x 2
Solución.
( ) ( )
( ) (^2 2 2 13 2 2 13 2) ( ) 2 13 arcsen 4 9 3 3 32 2 3 2 3 2 3
dx (^) x dx dx d^ x x (^) C
∫ −^ =^ ∫ − x =^ ∫ − x =^ ∫ − x =^ +
2 ) Evalúe ∫ 3 x 2 −^ dx 2 x+ 5
Solución.
Con la finalidad de completar el cuadrado de∫^^3 x^2^^ −^ dx^^2^ x^ +^^5^ =∫^3^ (^ x^^2 −dx^^23 x)+^5^2
multiplicado por 3 en realidad se suma es^13 al denominador, de modo que para que lax^ −^^3 x se suma^^19 , y como está
expresión del denominador persista, es decir, no se altere, se resta tambiénse tiene^13 .Por lo tanto,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) arctan^ arctan
(^2 2 23 19 13 13 2 143 13 ) 1 2 14 2 14 1413 3 3 3 3
x dx^ x (^) x xdx (^) x dx^ x dx dx x C x C x
− + =^ − + + − =^ − + = − +
= = ⋅ −^ + = − +
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3 ) Evalúe∫ ( 2 − x (^) )^6 x^ dx (^2) − 4 x+ 3
Solución.
∫ ( 2 − x )^6 x^^ dx^2^^ − 4 x + 3^ =^ ∫ − (^) ( x − (^2) ) (^) (^6 x^ dx^2 −^ 4 x + (^4) ) − 1 = −^6 ∫( x − (^2) ) (dx x− (^2) )^2 − 1 = − 6 arc sec (^) ( x − (^2) )+C
inmediata de las fórmulas de las derivadas de las funciones hiperbólicas.^ Las fórmulas de integración indefinida del teorema siguientes son consecuencia
Teorema 24.
sech tgh sech csch cotgh csch
u u du u C u u du u C
∫ ∫ senh cosh cosh senh
u du u C u du u C
∫ ∫ ∫ sech^^2 u du^ =^ tgu^ +C ∫csch^^2 u du^ = −^ cotghu^ +C
Ejemplos.
1 ) Evalúe (^) ∫senh x cosh^2 x dx
Solución.
∫ cosh^^2^ x^ (^ senh^ x dx^ )^ =^ ∫cosh^^2 x d^ (^ cosh^ x^ )=^^13 cosh^3 x^ +C 2 ) Evalúe (^) ∫ tgh^2 x dx = (^) ∫ ( 1 − sech^2 x (^) )dx = (^) ∫ dx − (^) ∫sech^2 x dx = x − tghx +C
Ejercicios.
Integrales Indefinidas Lic. Eleazar J. García
. csc cotg csc . tg ln sec . cotg ln sen . sec ln sec tg . csc ln csc cotg . arcsen . arctg . arc sec
a a
u u du u C u du u C u du u C u du u u C u du u u C a du^ u u^ a^ C^ donde^ a a du^ u du^ ua C^ donde^ a u udu a ua^ C^ don
2 2 2 2 1 2 2 1
−^ =^ +^ >
+^ =^ +^ >
− =^ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
. senh cosh . cosh senh . sech tgh . csch cotgh . sech tgh sech . csch cotgh csch
de a u du u C u du u C u du u C u du u C u u du u C u u du u C
2 2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
ampliamente usados en la resolución de integrales es laEmprendamos el estudio de los métodos de integración. Uno de los métodos más integración por partes.
Eleazar J. García Integrales Indefinidas
La fórmula de la integración por partes es la siguiente:^ INTEGRACIÓN POR PARTES.
∫ u dv^ =^ uv^ −∫v du Esta fórmula expresa a la integral (^) ∫ u dven términos de la integral (^) ∫ v du.Mediante una elección adecuada de u y dv, puede evaluarse más fácilmente integral (^) ∫v du.
Ejemplos.
1 ) Evaluar (^) ∫x lnx dx
Solución.
Tomemos u = ln x y dv = x dx, por lo tanto, du = dxx y v =x 22 , luego,
∫ x^ ln^ x dx^ =^ x^2^^2 ln^ x^ −^ ∫ x^2^^2 ⋅^ dx^ x=^^12 x^^2 ln^ x^ −^^12 ∫x dx^ =^^12 x^^2 lnx^ −^^14 x^^2 +C 2 ) Evaluar (^) ∫ x e^3 x^2 dx
Solución.
∫ x e^3^ x^^2 dx^ =^^12 ∫ x e^2^ x^^2^ (^^2 x dx^ )^ =^12 ∫x e^2^ x^2 d^ (^ x^2 ) Sea u = x^2 y dv = e x^2 d (^) ( x^2 ),entonces, du = 2 x dx y v = ex^2 , por lo tanto, (^12) ∫ x e^3 x^2 dx = 12^ ^ x e^2 x^^2 − (^) ∫ e x^^2 ( 2 x dx (^) ) = (^12) x e^2 x^^2 − (^12) ∫e x^^2 d (^) ( x^2 )= (^12) x e^2 x^^2 − (^12) e x^2 +C
Ejercicios. Evalúe las integrales indefinidas.
( ) ( ) ( ) ( )
) ln ) arctg ) sec tg ) ) sen ln ) sen ln cos )^2 )
(^22) 5
x x x
t^ t dt^ x^ x dx^ x^ x^ x dx^ xex dx y dy z z dz x e dx x dx
∫ ∫ ∫ ∫ + ∫ ∫ ∫ ∫
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Solución.
( ) (^) ( )( ) ( )
cos cos cos sen cos cos sen cos sen sen sen sen sen
3 2 2 2 2 13 3
x dx x x dx 1 x x dx x dx x x dx x x d x x x C
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
CASO 2.
∫ sen^ n^ x^ cos^ mx dx,donde al menos uno de los exponentes es un número entero
positivo impar. En la solución de este caso se utiliza un método semejante al empleado enel caso 1.
(i ) Si n es impar, entonces ( ) ( ) (^ ) ( ) ( )
sen cos sen cos sen sen cos sen cos cos sen
21 21
1 2 1 2
n n
n (^) x x dx n x x x dx x x x dx x x dx
− −
=^ −
(ii ) Si m es impar, entonces ( ) ( ) ( ) ( ) (^ )
sen cos sen cos cos sen cos cos sen sen cos
21 21
1 2 1 2
m m
n m n m n n
x x dx x x x dx x x x dx x x x dx
− −
=^ −
Ejemplo.
( ) (^) ( ) ( ) ( ) ( )
sen cos sen cos sen cos cos cos cos cos cos cos cos cos
3 4 2 4 2 4 4 6 15 5 17 7
x x dx x x x dx 1 x x d x x d x x d x x x C
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
pueden seguir los procedimientos expuestos en los casos 1 y 2. En tal caso se deben tomar^ Cuando ninguno de los exponentes de las potencias seno y coseno es impar, no se
muy en cuenta las identidades siguientes:
sen^2 x =^1^ −^ cos 2^^2^ x^ cos^2 x=^1 +cos 2 2 x
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CASO 3.
(i) (^) ∫ sen n^ x dx, (ii) (^) ∫ cosn^ x dx o (iii) (^) ∫ sen n^ x cos mx dx,donde m y n son
números enteros positivos pares.
(i ) Se hace la transformación
sen (^) ( sen ) cos
2 2
2 1 2 2
n n
n (^) x dx x dx x (^) dx
= ^ −
(ii ) Se hace la transformación
cos (^) ( cos ) cos
n n
n (^) x dx x dx x (^) dx
= ^ +
2 2
2 1 2 2
(iii ) Se hace la transformación
sen cos (^) ( sen (^) ) ( cos ) cos cos
2 2 2 2
2 2 1 2 2 1 2 2
n m n m
n (^) x mx dx x x dx x x (^) dx
= ^ −^ ^ +
Ejemplos.
) sen cos cos cos ( ) sen
(^2 12 12 12 ) (^12 )
x dx xdx dx x dx x x d x x x C
∫ (^) = −∫ + ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
) cos cos cos cos cos cos cos cos cos sen cos sen cos sen s
4 2 2 2 1 2 4 (^14 12 14 214 14 ) 14 14 18 18 14 14 18 321 (^38 14 )
x dx x dx x dx x x dx dx x dx x dx x x d x x dx x x dx x dx x x x x d x x x
= = ^ + = + +
= + + = + + ^ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ en (^) 4 x +∫C ∫
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(i ) Se hace la transformación ( )
( ) ( ) ( ) ( )
sec sec sec sec sec tg sec
22 22
2 2 2 2 2 1 2
n n
n (^) x dx n x x dx x x dx x x dx
− −
=^ −
(ii ) Se hace la transformación ( )
( ) ( ) ( ) ( )
csc csc csc csc csc cotg csc
22 22
2 2 2 2 2 1 2
n n
n (^) x dx n x x dx x x dx x x dx
− −
=^ −
Ejemplo.
Evalúe (^) ∫ csc^6 x dx
Solución.
( ) ( ) ( ) ( ) (^ ) ( ) ( ) ( )
csc csc csc cotg sec cotg cotg cotg cotg cotg cotg cotg cotg cotg cotg cotg
6 4 2 2 2 2 4 2 4 2 15 5 23 3
x dx x x dx x x dx x x d x x d x x d x d x x x x C
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
CASO 6.
(i) (^) ∫ tg n^ x secmdx o (ii) (^) ∫ cotg n^ x csc mx dx, donde m es un entero positivo
par.
(i ) Se hace la transformación ( )
( ) ( ) ( ) ( )
tg sec tg sec sec tg sec sec tg tg sec
22 22
2 2 2 2 2 1 2
m m
n m n n n n
x x dx x x x dx x x x dx x x x dx
− −
=^ −
(ii ) Se hace la transformación
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( ) ( ) ( ) ( ) ( )
cotg csc cotg csc csc cotg csc csc cotg cotg csc
22 22
2 2 2 2 2 1 2
m m
n m n n n n
x x dx x x x dx x x x dx x x x dx
− −
=^ −
Ejemplo.
Evalúe (^) ∫tg^5 x sec^4 x dx
Solución.
( ) ( ) (^ ) ( ) ( )
tg sec tg sec sec tg tg tg tg tg tg tg tg tg
5 4 5 2 2 5 2 7 5 18 8 16 5
x x dx x x x dx x x 1 d x x d x x d x x x C
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
CASO 7.
(i) (^) ∫ tg n^ x secmdx o (ii) (^) ∫ cotg n^ x csc mx dx, donde m es un entero positivo
impar.
i ) Se hace la transformación ( ) ( ) (^ ) ( ) (^ )
tg sec tg sec sec tg tg sec sec tg sec sec sec tg
21 21
1 1 2 1 2 1 1
n n
n m n n m m
x x dx x x x x dx x x x x dx x x x dx
− −
− − − −
(ii ) Se hace la transformación ( ) ( ) ( ) ( ) (^ )
cotg csc cotg csc csc cotg cotg csc csc cotg csc csc csc cotg
21 21
1 1 2 1 2 1 1
n n
n m n m m m
x x dx x x x x dx x x x x dx x x x dx
− −
− − − −
Ejemplo.
Evalúe (^) ∫tg^5 x sec^7 dx
Solución.
