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Documento sobre la teoría de integrales y los métodos utilizados para resolver integrales, incluyendo el método de cambio de variable, integración por partes y métodos de fracciones parciales. El documento también incluye ejemplos resueltos.
Tipo: Ejercicios
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ALUMNA:
CORNEJO RUIZ ARIANA
DOCENTE:
MG CHUÑE YGNASIO
CURSO:
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS II
CICLO:
IV
INTEGRALES
Es un proceso que permite restituir que ha sido previamente derivada,
en pocas palabras, es una operación opuesta a las derivadas.
Se introduce una notación para la antiderivada de una función.
Sí: 𝑓´(𝑥) = 𝑓(𝑥) se representa como:
∫ 𝑠𝑒 𝑙𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑠í𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙
𝐴 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ∫ 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒 𝑙𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓
( 𝑥
) 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥
𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓
( 𝑥
) 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
Al número 𝑐 se le denomina conste de integración esta surge por la imposibilidad de la
constante derivada.
𝑑𝑥 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑥, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎.
Se lee como: integral de 𝑓𝑥 del diferencial de 𝑥
Sustituyendo en la integral:
A su vez esta integral tendría que resolverse por cambio de variable,
tomando 𝑤 = 3 𝑢 − 5 , obteniendo:
Sin embargo para evitar tomar dos o más cambios de variable, debemos
percatarnos de que lo importante es que aparece la expresión 1 /𝑥 que
es la derivada de 𝑙𝑛𝑥, que también lo es de ( 3 𝑙𝑛𝑥 − 5 ), salvo constantes.
Más precisamente, podemos tomar el cambio de variable:
𝑢 = 3 𝑙𝑛𝑥 − 5 ⇒ 𝑑𝑢 = 3 𝑑𝑥/𝑥, ò 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑑𝑥/𝑥 = 𝑑𝑢/ 3 ,
y al sustituir en la integral original:
Este método permitirá resolver integrales de funciones que pueden
expresarse como un producto de una función por la derivada de otra,
deduciremos la formula a partir de la regla para derivar un producto de
dos funciones.
Integrando en ambos lados
Obtenemos:
Y despejando la segunda integral:
Obtenemos finalmente la fórmula de integración por partes
Encuentre : ∫ 𝑥
2
𝑥
Utilizaremos lo siguiente:
𝑢 = 𝑥
2
𝑑𝑢 = 2 𝑥𝑑𝑥
𝑣 = 𝑒
𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒
𝑥
𝑑𝑥
En este caso a cada factor lineal de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 del denominador
le corresponde una constante, se aumentara en número de constantes
dependiendo de cantos factores se tenga en el denominador.
Nota: Todas las integrales que utilicen este caso su resultado será el
logaritmo natural de cada uno de los factores.
El número de factores será igual al grado (exponente) del polinomio; es
decir; a cada factor lineal 𝑎𝑥 + 𝑏 que figure 𝑛 veces en el denominador
le corresponde una suma de fracciones de la forma :
El denominador contiene factores de segundo grado, pero ninguno de
estos se repite.
A todo factor no repetido de segundo grado, como:
Le corresponde la fracción parcial de la forma:
El denominador contiene factores de segundo grado y algunos de estos
se repiten.
A todo factor de segundo grado repetido 𝑛 veces, como:
Corresponderá la suma de n fracciones parciales, de la forma:
https://conceptodefinicion.de/integrales/
http://www.calculointegrales.com/p/concepto-de-integral.html
https://benitopb.files.wordpress.com/2012/01/metodos_de_integracion.pdf
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todos_de_integraci%C3%B3n
https://lasmatematicas.eu/docs/matematicas2bach/apuntes/metodos_integracion.pdf
http://ri.utn.edu.mx/bitstream/handle/123456789/468/integral%20tnm.pdf?sequence=1&isAllow
ed=y
http://mat.uson.mx/eduardo/calculo2/metodos.pdf
https://www.lifeder.com/fracciones-parciales/
https://portalacademico.cch.unam.mx/materiales/prof/matdidac/sitpro/mate/calc/calc2/guiacalc
uloII/U2Sustitucion.pdf
https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/integracion-sustitucion-trigonometrica/
https://katyagm.weebly.com/home/integracion-por-fracciones-
parciales#:~:text=Las%20fracciones%20parciales%20es%20un%20m
https://matematicaparaeconomistas.blogspot.com/2010/04/aplicaciones-de-la-integral-definida-
la.html
