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INTEGRALES DOBLES
INTEGRAL DOBLE
Definición
Sea R una región cerrada y acotada del plano. Sea f: R una función definida sobre la región R. Los pasos que conducen a la definición de integral doble son:
- Consideramos una cuadrícula que contengan a R siendo rectángulos de la cuadrícula, de áreas respectivas , totalmente contenidos en R.
- Escogemos punto arbitrario de para.
- Calculamos la suma
- Consideramos cuadrículas cada vez más finas que contengan a R, de modo que las dimensiones de cada rectángulo tiendan a 0, y el número de rectángulos contenidos en R sea cada vez mayor. Entonces definimos:
Condición suficiente de integrabilidad Si la función f es continua en la región R cerrada y acotada entonces f es integrable sobre R. Interpretación de la integral doble
- Si f(x,y) = 1 en R, entonces Área (R) =
- Si f(x,y) en R, entonces representa el volumen del sólido de paredes laterales rectas limitado arriba por la superficie z = f(x,y) y abajo por la región R en el plano z = 0.
- Si f(x,y) g(x,y), entonces representa el volumen del sólido limitado entre las superficies z = f(x,y) y z = g(x,y), siendo R la región del plano z = 0 cuya frontera es la proyección de la curva intersección de ambas superficies (para calcular volúmenes esta forma no la emplearemos prácticamente nunca a no ser que nos lo pidan específicamente en el enunciado el problema. Utilizaremos habitualmente la integral triple para el cálculo de volúmenes).
Propiedades de la integral doble
Si donde es a lo sumo una curva,
Cálculo de integrales dobles sobre rectángulos Si f(x,y) es una función continua sobre el rectángulo R = [a,b] x [c,d] entonces:
Regiones de tipo I y regiones de tipo II en el plano La región R es de tipo I en el plano si existen dos funciones continuas y de manera que los puntos de R pueden expresarse en la forma: a x b y y La región R es de tipo II en el plano si existen dos funciones continuas y de manera que los puntos de R pueden expresarse en la forma: c y d y x Teorema a. Si R es una región de tipo I, y f(x,y) es continua en R:
b. Si R es una región de tipo II, y f(x,y) es continua en R:
Cambio de variable En coordenadas rectangulares cartesianas dA = dx dy. Sea ahora el cambio de coordenadas dado por la aplicación:
siendo T la región del plano uv que se aplica en la región R del plano xy. Si se cumplen las condiciones siguientes:
Cualquiera de las dos formas nos dará el mismo resultado de la integral que tengamos que hacer, y la elección de una o de la otra dependerá de si tenemos por ejemplo algo de la forma en la integral, pues de la forma 2. conseguiremos quitar la raíz pero sin embargo aplicando la forma 1. nos quedan binomios dentro de la raíz cuadrada incómodos de manejar para poder hacer desaparecer esta raíz. Así que por ejemplo en este caso, es mejor hacerlo de la forma 2.
- Coordenadas elípticas
Descentradas tienen el mismo comportamiento que las polares.
- Transformaciones lineales ¡Cuidado! El jacobiano no será este siempre. Dependerá del cambio que hagamos. Observación: Cuando la integral que tengamos que hacer tenga “dos relaciones entre la x y la y” que se repitan y que sean fácilmente reconocibles vamos a cambiar una de las “relaciones” por u y la otra por v, haremos este cambio para que la integral nos quede más sencilla. Por ejemplo en situaciones como:
En este caso tendremos que darle la vuelta al cambio (es decir despejar la x y la y en función de la u y la v) y una vez que le hayamos dado la vuelta, para calcular el jacobiano de la transformación, haremos la derivada de x con respecto a u y a v y la derivada de y con respecto a u y a v y hacemos el determinante colocando estas cuatro derivadas en forma de matriz 2x2 (primera fila las de x, segunda fila las de y) y colocaremos este jacobiano multiplicando dentro de la integral. Por último transformaremos las regiones que nos den en el ejercicio en función de x e y en u y v y sacaremos de ellas los límites de integración de u y v.
Aplicaciones de la integral doble
Supongamos que tenemos un cuerpo plano, acotado (lámina de grosor despreciable), de forma que su masa total está distribuida en forma conocida siguiendo una función de densidad superficial. Entonces:
Masa de R = M(R) =
- Centro de masas de un cuerpo plano Si denotamos por las coordenadas del centro de masas:
- Momentos de inercia de un cuerpo plano Sea r una recta y denotemos por d(x,y) la distancia de la recta r al punto (x,y) de la región R. El momento de inercia del cuerpo plano respecto a la recta r resulta ser:
En particular los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados son:
INTEGRALES TRIPLES
INTEGRAL TRIPLE
Definición Sea D una región cerrada y acotada del espacio R. Sea f: R R una función definida sobre la región D. Los pasos que conducen a la definición de integral triple son semejantes a los que conducen a la definición de integral doble y se podrían resumir así:
- Consideramos una red tridimensional de planos que contenga a D siendo subregiones de la red, de volúmenes respectivos , totalmente contenidas en R.
- Escogemos punto arbitrario de para.
donde d(x,y,z) denota la distancia del punto (x,y,z) a la recta r. En particular, con respecto a los ejes de coordenadas son:
Cambio de variable Consideremos el cambio de variable dado por la aplicación:
siendo D’ la región del espacio uvw que se aplica en la región D del espacio xyz. Si se cumplen las condiciones siguientes:
- Las funciones X, Y, Z, , , , , , , , , son continuas en D’.
- La aplicación de D’ sobre D es biyectiva.
- El jaconiano de la aplicación J(u,v,w) 0. entonces:
o lo que viene siendo sustituir la x, la y y la z por el cambio de coordenadas que se halla elegido.
Cambios de variable usuales
- Coordenadas cilíndricas (es el que más se utiliza)
- Coordenadas esféricas
INTEGRALES DE LINEA
CURVAS PARAMETRIZADAS
Curvas parametrizadas. Definición Sea I un intervalo de R. Una curva en R es una aplicación continua definida en la forma: C: I R t (x(t),y(t),z(t)) donde t recibe el nombre de parámetro.
Curvas regulares Una curva es regular si x’(t), y’(t), z’(t) son funciones continuas en I y no simultáneamente nulas. Una curva es regular a trozos si puede expresarse como unión finita de curvas regulares.
Curvas cerradas Si I = [a,b], los puntos A= (x(a),y(a),z(a)) y B = (x(b),y(b),z(b)) reciben el nombre de extremos de la curva. Si A=B la curva es cerrada.
Vector tangente El vector tangente a la curva C: t (x(t),y(t),z(t)) en el punto de parámetro t = t, (x(t),y(t),z(t)), es (x’(t),y’(t),z’(t)). Observación: Todas las definiciones vistas para curvas en R sirven para curvas en R : basta considerar z = 0.
Longitud de una curva Dada la curva regular C : [a,b] R t (x(t),y(t),z(t)) La longitud s del arco de curva C entre los puntos de parámetros a y b resulta ser:
Una curva está parametrizada por el arco sí y solo sí:
INTEGRAL DE LINEA DE CAMPOS ESCALARES
Definición Sea F : R un campo escalar continuo. (x,y) F(x,y) Sea C una curva acotada contenida en el dominio de F y parametrizada por el arco: C: [a,b] s (x(s),y(s)) Definimos la integral del campo escalar F a lo largo de la curva C como:
Interpretación geométrica Si F(x,y) 0 sobre los puntos de C, la integral anterior puede interpretarse como el área lateral de la porción de superficie cilíndrica recta que tiene como base en z = 0 la curva C y como altura z = F(x,y) para los. Observación Para el caso en que la curva C: sea regular pero no esté parametrizada por el arco tenemos:
Análogamente, si una curva C: es regular y está contenida en el dominio de un campo escalar continuo F : R, entonces:
