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Tema 10
Integrales dobles y triples
Hasta ahora se han calculado el ´area de figuras geom´etricas planas elemen- tales: el rect´angulo, el c´ırculo, el trapecio, etc. Pero, ¿c´omo calcular el ´area de figuras no regulares? Una buena aproximaci´on puede ser la de dividir la zona en peque˜nos rect´angulos y sumar las ´areas de cada uno de ellos:
Figura 10.1: Mallado para la aproximaci´on del ´area
Esta idea era la que subyac´ıa en la construcci´on de la integral que vimos en el tema anterior y que nos permiti´o calcular longitudes de curvas, ´areas limitadas por curvas y vol´umenes de cuerpos de revoluci´on. En este tema, se generaliza el concepto de integral definida a funciones de dos o tres variables, obteniendo las llamadas integrales de ´area o de volumen, respectivamente. Esto nos permitir´a calcular el volumen de cuerpos limitados por superficies, no necesariamente de revoluci´on. Tambi´en permitir´a calcular ´areas median- te integrales dobles sencillas que en el tema anterior resultaban algo m´as complicadas. Se empezar´a definiendo la integral sobre un rect´angulo.
10.1. Integrales dobles sobre rect´angulos
Sea f (x, y) una funci´on acotada sobre un rect´angulo R = [a, b] × [c, d]. Una partici´on del rect´angulo R son dos conjuntos de puntos {xj }nj=0 e {yj }mj=0, satisfaciendo
a = x 0 < x 1 < x 2 <... < xn = b c = y 0 < y 1 < y 2 <... < ym = d
es decir, P = P 1 × P 2 , donde P 1 y P 2 son particiones de [a, b] y [c, d], respectivamente.
Se llama ´area de R a v(R) = (d−c)(b−a). Toda partici´on divide al rect´angulo R en n · m subrect´angulos Rjk = [xj− 1 , xj ] × [yk− 1 , yk], j = 1,... , n, k = 1 ,... , m como se observa en la Figura 10.2.
Se llama norma de la partici´on P a
‖P ‖ = m´ax{v(Rjk) : j = 1,... , n; k = 1,... , m}
Figura 10.2: Una partici´on del rect´angulo R = [a, b] × [c, d]
Consid´erese cualquier punto cjk del rect´angulo Rjk y f´ormese la suma
S(f, P ) =
n∑− 1
j=
m∑− 1
k=
f (cjk)v(Rjk)
- (Linealidad) f + g es integrable sobre R y ∫ ∫
R
(f (x, y) + g(x, y))dxdy =
R
f (x, y)dxdy +
R
g(x, y)dxdy
- (Homogeneidad) αf es integrable sobre R, para todo α ∈ R, y ∫ ∫
R
αf (x, y)dxdy = α
R
f (x, y)dxdy
- (Monoton´ıa) Si f (x, y) ≤ g(x, y), para todo (x, y) ∈ R, entonces ∫ ∫
R
f (x, y)dxdy ≤
R
g(x, y)dxdy
- (Aditividad) Si R = P ∪Q con P y Q dos rect´angulos cuya intersecci´on es una l´ınea recta o un punto o vac´ıa, entonces ∫ ∫
R
f (x, y)dxdy =
P
f (x, y)dxdy +
Q
f (x, y)dxdy
- (Valor absoluto) |f | tambi´en es integrable y se verifica ∣∣ ∣ ∣
R
f (x, y)dxdy
R
|f (x, y)|dxdy
Un primer ejemplo de una amplia clase de funciones integrables la propor- ciona el siguiente teorema
Teorema 10.3 Toda funci´on continua sobre un rect´angulo cerrado R es integrable
Aunque la clase de las funciones integrables es mucho m´as amplia, el teorema anterior ser´a suficiente en muchos casos pr´acticos.
En general, las funciones integrables son aquellas que son continuas salvo en conjuntos ”muy peque˜nos”.
Definici´on 10.4 (Medida nula) Un subconjunto de Rn^ tiene contenido nulo si, dado ǫ > 0, existe un n´umero finito de rect´angulos que lo recubren y la suma de sus vol´umenes es menor que ǫ.
Un subconjunto de Rn^ tiene medida nula si, dado ǫ > 0, existe una sucesi´on (finita o infinita) de rect´angulos, Rn, que lo recubren y cumpliendo.
∑^ ∞
n=
V (Rn) < ǫ
El criterio general para saber qu´e funciones son integrables lo proporciona el siguiente teorema
Teorema 10.5 (Criterio de Lebesgue) Una funci´on definida en un rec- t´angulo es integrable Riemann si, y s´olo si, el conjunto de puntos de discon- tinuidad de la funci´on tiene medida nula.
10.1.1. C´alculo de integrales dobles
El c´alculo de una integral doble se realiza mediante el c´alculo de dos inte- grales iteradas, de acuerdo al siguiente teorema:
Teorema 10.6 (Teorema de Fubini) Sea f una funci´on integrable sobre un rect´angulo R = [a, b] × [c, d].
- Si para cada x ∈ [a, b], la secci´on transversal fx(y) := f (x, y), y ∈ [c, d], es integrable sobre [c, d], entonces la funci´on
F (x) :=
∫ (^) d
c
fx(y)dy
es integrable sobre [a, b] y se verifica ∫ ∫
R
f (x, y)dxdy =
∫ (^) b
a
F (x)dx =
∫ (^) b
a
(∫ (^) d
c
f (x, y)dy
dx
- Si para cada y ∈ [c, d], la secci´on transversal fy(x) := f (x, y), x ∈ [a, b], es integrable sobre [a, b], entonces la funci´on
G(y) :=
∫ (^) b
a
fy(x)dx
es integrable sobre [c, d] y se verifica ∫ ∫
R
f (x, y)dxdy =
∫ (^) d
c
G(y)dy =
∫ (^) d
c
(∫ (^) b
a
f (x, y)dx
dy
10.1.2. Integrales dobles sobre recintos acotados
Para generalizar el concepto de integral doble a recintos acotados se hace uso de la funci´on caracter´ıstica
1 A(x) =
1 , si x ∈ A 0 , si x /∈ A
donde A ⊂ R^2.
Si el conjunto A es acotado y verifica que su frontera tiene medida nula, entonces la funci´on caracter´ıstica es integrable sobre cualquier rect´angulo R que contiene a A y, en este caso, existe
a(A) :=
R
1 A(x, y)dxdy
que se llama la medida o ´area de A. El conjunto A se dice, entonces, medible.
Entonces, dada una funci´on integrable sobre un rect´angulo R ⊃ A, se define ∫ ∫
A
f (x, y)dxdy :=
R
1 A(x, y)f (x, y)dxdy
En la figura siguiente puede verse gr´aficamente este proceso, donde F (x, y) =
1 A(x, y)f (x, y):
-0.
0
1
0
1
2
1
-0.
0
D
Gráfica de f(x,y)
0
1
0
1
2
0
1 Gráfica de F(x,y)
D
R
Figura 10.5: Recinto acotado y funci´on caracter´ıstica
Esta definici´on permite extender la integraci´on a recintos m´as generales: aquellos que son medibles.
Por tanto, hay que reconocer los conjuntos que son medibles. Para los obje- tivos de nuestro curso basta aplicar, en general el siguiente resultado:
Teorema 10.8 La gr´afica de una funci´on continua tiene medida nula; es decir, si Φ(x) es una funci´on continua definida en un intervalo I, el conjunto
A = {(x, y) : y = Φ(x); x ∈ I}
tiene medida nula.
En definitiva, los conjuntos cuya frontera est´a formada por gr´aficas de fun- ciones continuas son medibles. En particular, pueden distinguirse dos tipos de recintos:
Recintos de tipo I
A = {(x, y) ∈ R^2 : a ≤ x ≤ b; g 2 (x) ≤ y ≤ g 1 (x)}
siendo g 2 (x), g 1 (x) funciones continuas en [a, b]. En este caso,
∫ ∫
A
f (x, y)dxdy =
∫ (^) b
a
(∫ (^) g 1 (x)
g 2 (x)
f (x, y)dy
dx
g (x)
g (x)
1
2
g (x)
g (x)
1
2
g (x)
g (x)
1
2 a b a (^) b a b
D D D
Figura 10.6: Algunos dominios de tipo I
Ejemplo 10.2 Se quiere calcular la integral ∫ ∫
D
(x + 2y) dy dx
(Sol.: − 43 )
Recintos de tipo II
A = {(x, y) ∈ R^2 : c ≤ y ≤ d; h 1 (y) ≤ x ≤ h 2 (y)}
siendo h 1 (y), h 2 (y) funciones continuas en [c, d]. En este caso,
∫ ∫
A
f (x, y)dxdy =
∫ (^) d
c
h 2 (y)
h 1 (y)
f (x, y)dx
dy
h (y) (^1) h (y) 2
h (y)
h (y)
2
1
c
d
D
h (y) (^1) h (y) D 2
c
d
D
c
d
Figura 10.8: Algunos dominios de tipo II
Ejemplo 10.3 Calculemos la integral ∫ ∫
D
xy dy dx
donde D es la regi´on acotada por y = x − 1 y 2x + 6 = y^2.
Soluci´on: Despu´es de representar gr´aficamente el dominio de integraci´on, trazamos una recta horizontal, L, que pase por el dominio D y marcamos los valores de la variables x por donde entra y sale la recta L, como puede verse en la siguiente figura.
-2 2 4 6
1
2
3
4
x = y / 2-3^2
2
L x = y + 1
Figura 10.9: Integraci´on sobre una regi´on de tipo II
Luego el dominio de integraci´on es el dominio de tipo II:
D ≡
− 2 ≤ y ≤ 4 y + 1 ≤ x ≤ 12 (y^2 − 6)
Por tanto: (^) ∫ ∫
D
xy dy dx =
− 2
∫ (^12) (y (^2) −6)
y+
xy dx dy =
Ejercicio 10.4 Calcula la integral doble
T xydxdy^ siendo^ T^ el recinto limitado por el tri´angulo de v´ertices A(0, 0), B(2, 0) y C(1, 1); expresando T como un recinto de tipo II. Compara el resultado con el obtenido en el Ejercicio 10.2.
(Sol.: 13 )
Ejercicio 10.5 Calcula la integral doble
T (x−y)dxdy^ siendo^ T^ el recinto limitado por el tri´angulo de v´ertices A(1, 1), B(2, 4) i C(3, 3); expresando T como un recinto de tipo II. Compara el resultado con el obtenido en el Ejercicio 10.3.
(Sol.: − 43 )
Algunas regiones pueden escribirse indistintamente como de tipo I o de tipo II. En estos casos, se elige aquella que resulte m´as f´acil o m´as corta. En el siguiente ejemplo, se han calculado ambas para que se puedan comparar los procedimientos.
Si se expresa T como un recinto de tipo II: T ≡
0 ≤ y ≤ 2
0 ≤ x ≤ 2 − 2 y
y, entonces
∫ ∫
T
xydxdy =
0
(∫ 2 −y 2 0
xy dx
dy =... =
Ejercicio 10.6 Calcula la integral de la funci´on f (x, y) = x^2 y^2 sobre la regi´on R del primer cuadrante limitada por las hip´erbolas equil´ateras xy = 1, xy = 2 y las rectas y = x 2 , y = 3x.
(Sol.: 76 ln 6 )
Ejercicio 10.7 Calcular el ´area de la regi´on del primer cuadrante limitada por las curvas xy = 2, xy = 4, y = x, y = 3x.
(Sol.: ln 3 u^2 (unidades al cuadrado) )
10.1.3. C´alculo de ´areas
Si se considera una funci´on continua no negativa f (x, y) ≥ 0 definida en un recinto acotado medible A, entonces la integral doble ∫ ∫
A
f (x, y) dxdy
tiene un significado geom´etrico claro: representa el volumen del s´olido forma- do por el recinto A como base, paredes laterales verticales y como superficie superior la gr´afica de f (x, y).
Este resultado permite que, en el caso de integrar la funci´on constante 1 sobre un recinto medible A, se obtenga el ´area de dicho recinto (en realidad, se obtiene el volumen de un prisma recto de base el recinto A y altura 1 que equivale num´ericamente al ´area de A). Es decir;
a(A) :=
A
1 dxdy
Ejemplo 10.5 Vamos a utilizar esta propiedad para calcular el ´area com- prendida por la gr´afica de las funciones y = sen(x) + 1 e y = cos(x) + 1 en el intervalo [− 34 π , 54 π ].
Soluci´on:
Primer paso: Un croquis Para representar gr´aficamente el ´area que queremos calcular, hallaremos en primer lugar, los puntos de interseci´on de las dos funciones que se encuentran en ese intervalo, es decir, igualamos las dos funciones y obtenemos que:
sen(x) + 1 = cos(x) + 1 ↓ sen(x) = cos(x) ↓ x = − 34 π , π 4 , 54 π
Luego los puntos de intersecci´on son
P 1 = (−
3 π 4
+ 1), P 2 = (−
π 4
+ 1), P 3 = (
5 π 4
Como podemos ver en la gr´afica, Fig. 10.11 se obtienen dos dominios sim´etri- cos que tienen el mismo ´area. Es por ello que calcularemos el ´area que nos piden multiplicando por dos el ´area de uno de los dos dominios coloreados en la gr´afica.
-2 2 4
1
2
y= sen(x) + 1
y= cos(x) + 1
Figura 10.11: Area entre dos gr´´ aficas
Segundo Paso: Los l´ımites de integraci´on en y Trazamos una recta vertical, L, que pase por el dominio D y marcamos los valores de la variables y por donde entra y sale la recta L. Como puede verse en la Fig. 10.11,
0.5 1 1.5 2
1
x= y^ x= 2 -^ y
Figura 10.12: Area entre dos gr´´ aficas
Segundo Paso: Los l´ımites de integraci´on en x Trazamos una recta horizontal que pase por el dominio D y marcamos los valores de la variable x por donde entra y sale la recta. Como puede verse en la Fig. 10.12 esos valores son y = x y x = 2 − √y. Por lo tanto el dominio D sobre el que tenemos que integrar es el dominio de tipo II:
D = {(x, y)/ 0 ≤ y ≤ 1 ; y ≤ x ≤ 2 −
y}
Tercer Paso: C´alculo de la integral Aplicando la f´ormula de integra- ci´on sobre dominios de tipo II a la f´ormula de c´alculo de ´areas, tendremos que:
Area(´ D) =
D
1 dA =
0
2 −√y
y
1 dx
dy =
0
[x]x=2−
√y x=y dy
0
y − y dy =
[
2 y − 2
y^3 /^2 3
y^2 2
]y=
y=
Ejemplo 10.7. C´alculese el ´area del c´ırculo unidad.
Soluci´on: Seg´un lo dicho
a(C) =
C
1 dxdy
siendo C ≡ x^2 + y^2 ≤ 1.
Si se considera como un recinto de tipo I, debemos hallar las ecuaciones de las dos curvas que delimitan el recinto por su parte inferior y superior, tal y como se ve en la Fig. 10.
Figura 10.13: Disco unidad
por lo que los l´ımites de integraci´on ser´an
C ≡
− 1 ≤ x ≤ 1
1 − x^2 ≤ y ≤
1 − x^2
Por tanto, ∫ ∫
C
1 dxdy =
− 1
1 −x^2
−
√ 1 −x^2
1 dy
dx =
− 1
1 − x^2 dx
y, haciendo el cambio de variable
x = sin t dx = cos t dt x = − 1 ⇒ t = − π 2 x = 1 ⇒ t = π 2
, resulta
∫ π 2
− π 2
2 cos^2 t dt =
[
t +
sin(2t) 2
]t= π 2
t=− π 2
= π
siempre que dicho l´ımite exista y sea independiente de la elecci´on del punto xijk.
Como antes toda funci´on continua es integrable y toda funci´on acotada cuyas discontinuidades tienen medida nula es integrable. Asimismo se cumplen las propiedades del Teorema 10.2.
Finalmente, el c´alculo de una integral triple puede reducirse al c´alculo de tres integrales iteradas:
Teorema 10.10 Sea f una funci´on integrable sobre un rect´angulo R = [a, b] × [c, d] × [p, q]. Si existe cualquier integral iterada, es igual a la integral triple
∫ ∫ ∫
R
f (x, y, z)dxdydz =
∫ (^) b
a
(∫ (^) d
c
(∫ (^) q
p
f (x, y, z)dz
dy
dx
∫ (^) d
c
(∫ (^) q
p
(∫ (^) b
a
f (x, y, z)dx
dz
dy
∫ (^) q
p
(∫ (^) b
a
(∫ (^) d
c
f (x, y, z)dy
dx
dz
y as´ı sucesivamente hasta completar todas las ordenaciones posibles.
Ejemplo 10.8 Calcular la integral sobre R = [− 1 , 1] × [0, 2] × [1, 2] de la funci´on f (x, y, z) = xyz
Soluci´on: Se tiene que
∫ ∫ ∫
R
xyz dxdydz =
− 1
0
1
xyz dz
dy
dx
− 1
2
0
xy
[
z^2 2
]z=
z=
dy
dx =
− 1
0
xy dy
dx
− 1
x
[
y^2 2
]y=
y=
dx =
− 1
3 x dx = 0
Ejercicio 10.9 Averigua c´omo plantear la integral anterior para obtener el resultado m´as r´apidamente.
10.2.1. Integraci´on sobre recintos acotados
Al igual que suced´ıa en el caso de integrales dobles, la integral triple sobre recintos acotados se hace extendiendo la integral a un rect´angulo y utilizando la funci´on caracter´ıstica: ∫ ∫ ∫
Ω
f (x, y, z) dxdydz :=
R
f (x, y, z) · χΩ(x, y, z) dxdydz
siendo R un rect´angulo que contiene a Ω.
Para el c´alculo de la integral, el procedimiento ahora consiste en expresar el recinto en alguna de las formas siguientes:
Ω = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, ϕ 1 (x, y) ≤ z ≤ ϕ 2 (x, y)}
siendo D = proyXOY (Ω) y ϕ 1 , ϕ 2 funciones continuas.
Ω = {(x, y, z) : (x, z) ∈ D, ϕ 1 (x, z) ≤ y ≤ ϕ 2 (x, z)}
siendo D = proyXOZ (Ω) y ϕ 1 , ϕ 2 funciones continuas.
Ω = {(x, y, z) : (y, z) ∈ D, ϕ 1 (y, z) ≤ x ≤ ϕ 2 (y, z)}
siendo D = proyY OZ (Ω) y ϕ 1 , ϕ 2 funciones continuas.
A continuaci´on el recinto D ⊂ R^2 se expresa como de tipo I o de tipo II, dando lugar a la integral iterada correspondiente.
Por ejemplo, en el primer caso, si D es de tipo II en el plano XOY , se tendr´a:
α ≤ y ≤ β g 1 (y) ≤ x ≤ g 2 (y) ϕ 1 (x, y) ≤ z ≤ ϕ 2 (x, y)
y, por tanto,
∫ ∫ ∫
Ω
f (x, y, z) dxdydz =
∫ (^) β
α
g 2 (y)
g 1 (y)
ϕ 1 (x,y)
ϕ 2 (x, y)f (x, y, z) dz
dx
dy
