integrales dobles en polares, Apuntes de Matemáticas

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INTEGRALES DOBLES MEDIANTE

COORDENADAS POLARES

Mg. Billy Toribio Aranda ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL Mayo - 2019

 Calcula las integrales dobles haciendo uso de las

coordenadas polares.

 Aplica las coordenadas polares para calcular el

volumen de un sólido.

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Cambio de variables de coordenadas

rectangulares a polares

En algunos casos una integral doble de la forma ׭ 𝑓^ 𝑥,^ 𝑦^ 𝑑𝐴^ que^ es^ difícil^ o^ incluso^ imposible^ de^ evaluar utilizando coordenadas rectangulares puede evaluarse fácilmente cuando se recurre a un cambio de variables, es decir:

, cos , rdr d

2 g 1

   

g R

f x y dA f r rsen

Donde: 𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 , 𝒚 = 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 y 𝒅𝑨 = 𝒓𝒅𝒓𝒅𝜽

Evalúe las siguientes integrales iteradas usando coordenadas polares.

1. (^) ׬ − 3 3 ׬ 0 9 −𝑥^2 𝑥 2 + 𝑦 2 dydx
2. (^) ׬ 0 1 ׬ 0 1 −𝑦 2 𝑒 𝑥 2 +𝑦 2 dxdy

0 1 ׬ 1 −𝑥^2 4 −𝑥 2 𝑥 2 𝑥^2 +𝑦^2 dydx

6. (^) ׬ 0 1 ׬ 0 2𝑦−𝑦^2 1 − 𝑥 2 − 𝑦 2 dxdy

7. Encuentre el volumen del sólido que está bajo el hemisferio 𝑧 = 1 − 𝑥 2 − 𝑦 2 y sobre la región acotada por la gráfica de la circunferencia 𝑥 2

• 𝑦 2 − 𝑦 = 0.

9. Determine el volumen de la región sólida acotado por las gráficas de las ecuaciones dadas 𝑧 = 𝑥 2

• 𝑦 2 , 𝑥 2
• 𝑦 2 = 25 , 𝑧 = 0.