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Indice general
12.INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCI ´ON 3
12.1. Area bajo una curva.................................... .´ 3
12.2. La integral definida..................................... 3
12.3. Propiedades de la integral definida............................. 4
12.4. Teorema de valor medio del c´alculo integral....................... 5
12.5. Teorema fundamental del c´alculo integral......................... 5
12.6. C´alculo del ´area limitada por la gr´afica de f (x) y el eje OX............... 6
12.7. C´alculo del ´area limitada por la gr´afica de dos funciones................. 8
12.8. Ejercicios de selectividad.................................. 9
2 ´INDICE GENERAL
4 CAP´ITULO 12. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCI ON´
Dividimos el intervalo [a, b], mediante una partici´on P, en n subintervalos de amplitud no nece-
sariamente iguales: a = x 0 < x 1 < x 2 < · · · < xn− 1 < xn = b.
f (x) alcanza un m´aximo absoluto Mi y un m´ınimo absoluto mi en el intervalo [xi− 1 , xi] (teorema
de Weierstrass).
Una buena idea consiste en aproximar el ´area mediante rect´angulos de base el intervalo [xi− 1 , xi]
y alturas Mi (rect´angulo superior) y mi (rect´angulo inferior).
Calculamos la suma de las ´areas de los rect´angulos superiores, llamada suma superior de
f (x) asociada a la partici´on P:
S(P ) = (x 1 − x 0 ) · M 1 + (x 2 − x 1 ) · M 2 + ... + (xn − xn− 1 ) · Mn =
n ∑
i=
(xi − xi− 1 ) · Mi
y la suma de las ´areas de los rect´angulos inferiores, llamada suma inferior de f (x) asociada a
la partici´on P:
s(P ) = (x 1 − x 0 ) · m 1 + (x 2 − x 1 ) · m 2 + ... + (xn − xn− 1 ) · mn =
∑^ n
i=
(xi − xi− 1 ) · mi
Los valores de s(P ) y S(P ) son valores aproximados por defecto y por exceso del ´area A del
recinto: s(P ) ≤ A ≤ S(P ).
Si construimos una sucesi´on de particiones Pn, con cada vez m´as subintervalos, los valores de
s(Pn) y S(Pn) mejorar´an la aproximaci´on de A. (porque los rect´angulos ser´an cada vez m´as finos).
Evidentemente, si repetimos esto indefinidamente tendremos:
l´ım n→∞
s(Pn) = A = l´ım n→∞
S(Pn)
Definici´on 12.1. Sea f (x) una funci´on continua en el intervalo [a, b] definimos la integral
definida de f (x) entre a y b de la siguiente forma:
b
a
f (x)dx = l´ım n→∞
s(Pn) = l´ım n→∞
S(Pn)
El n´umero b se llama l´ımite superior de integraci´on y el n´umero a se llama l´ımite inferior
de integraci´on.
12.3. Propiedades de la integral definida.
- Si los l´ımites de integraci´on son iguales, la integral es nula:
∫ (^) a
a
f (x)dx = 0
- Signo de la integral:
Si f (x) > 0 en el intervalo [a, b] entonces la integral definida es positiva y representa el
´area del recinto: A =
∫ (^) b
a
f (x)dx > 0
Si f (x) < 0 en el intervalo [a, b] entonces la integral definida es negativa y representa el
valor opuesto del ´area del recinto: A = −
∫ (^) b
a
f (x)dx con
∫ (^) b
a
f (x)dx < 0
Si f (x) cambia de signo en el intervalo [a, b] entonces la integral definida es la suma
algebraica de las integrales definidas, cada una con su signo (positiva si f (x) > 0 y
negativa si f (x) > 0).
12.4. TEOREMA DE VALOR MEDIO DEL C ALCULO INTEGRAL´ 5
- Si c es un punto intermedio del intervalo [a, b]:
∫ (^) b
a
f (x)dx =
∫ (^) c
a
f (x)dx +
∫ (^) b
c
f (x)dx
- Al intercambiar los l´ımites de integraci´on, la integral definida cambia de signo.
∫ (^) b
a
f (x)dx = −
∫ (^) a
b
f (x)dx
- La integral definida de la suma o diferencia de funciones es igual a la suma o diferencia de
las integrales definidas de las funciones.
b
a
(f (x) ± g(x))dx =
b
a
f (x)dx ±
b
a
g(x)dx
- La integral definida del producto de un n´umero por una funci´on es igual al n´umero por la
integral definida de la funci´on.
∫ (^) b
a
k · f (x)dx = k ·
∫ (^) b
a
f (x)dx
12.4. Teorema de valor medio del c´alculo integral
Teorema 12.2 (Teorema de valor medio).
Si f (x) es una funci´on continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces existe un c ∈ (a, b)
tal que: ∫ b
a
f (x)dx = f (c) · (b − a)
La interpretaci´on geom´etrica de este teorema
(si f (x) > 0 en el intervalo [a, b]) es que el ´area
del recinto limitado por f (x) , el eje OX y las
rectas x = a y x = b es igual que el ´area del
rect´angulo de base (b − a) y de altura f (c) con
c ∈ (a, b). A este valor f (c) se le llama valor
medio de f (x) en el intervalo [a, b].
12.5. Teorema fundamental del c´alculo integral.
El teorema relaciona la integral definida de f (x)
con sus primitivas.
Teorema 12.3.
Si f (x) es una funci´on continua en el intervalo
cerrado [a, b] y F (x) es la funci´on:
F (x) =
x
a
f (t)dt con x ∈ [a, b]
Entonces F (x) es derivable y F
′ (x) = f (x). (Es decir F (x) es primitiva de f (x)).
12.6. C ALCULO DEL ´ AREA LIMITADA POR LA GR ´ AFICA DE´ F (X) Y EL EJE OX. 7
Teniendo en cuenta la propiedad 2 de la integral definida, para calcular el ´area del recinto
limitado por f (x) , el eje OX y las rectas x = a y x = b, se procede:
- Se resuelve la ecuaci´on f (x) = 0 para calcular los puntos de corte con eje OX.
- Se seleccionan las ra´ıces comprendidas entre a y b y se ordenan de menor a mayor. Supongamos
a < x 1 < x 2 < x 3 < b
- Se halla una primitiva de f (x): G(x) =
f (x)dx.
- Se calcula G(a); G(x 1 ); G(x 2 ); G(x 3 ); G(b).
- Las ´areas de cada recinto son los valores absolutos de las diferencias G(x 1 ) − G(a); G(x 2 ) −
G(x 1 ); G(x 3 ) − G(x 2 )); G(b) − G(x 3 ).
- El ´area pedida es la suma de las ´areas de los recintos:
A =
x 1
a
f (x)dx
x 2
x 1
f (x)dx
x 3
x 2
f (x)dx
b
x 3
f (x)dx
∣G(x 1 ) − G(a)
∣G(x 2 ) − G(x 1 )
∣G(x 3 ) − G(x 2 )
∣G(b) − G(x 3 )
Ejemplo 12.6.
Calcular el ´area del recinto limitado por f (x) = x
2 − 1 el
eje OX y las rectas x = −2; x = 3
Resolvemos la ecuaci´on f (x) = x
2 − 1 = 0 ⇒ x = ± 1
Ordenamos las ra´ıces en el intervalo [− 2 , 3] : − 2 < − 1 <
1 < 3
Hallamos una primitiva G(x) =
(x
2 − 1)dx =
x
3
− x
Calculamos G(−2) = −
; G(−1) =
; G(1) = −
; G(3) = 6
A =
− 2
f (x)dx
− 1
f (x)dx
1
f (x)dx
∣G(−1)^ −^ G(−2)
∣G(1)^ −^ G(−1)
∣G(3) − G(1)
u
2
Ejemplo 12.7.
Calcular el ´area del recinto limitado por f (x) = x
2 − 1 el
eje OX
Resolvemos la ecuaci´on f (x) = x
2 − 1 = 0 ⇒ x = ± 1
Ordenamos las ra´ıces: − 1 < 1
A =
− 1
f (x)dx
∣G(1) − G(−1)
u
2
8 CAP´ITULO 12. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCI ON´
12.7. C´alculo del ´area limitada por la gr´afica de dos funciones.
El ´area limitada por la gr´afica de dos funciones y = f (x), y = g(x), es igual que el ´area limitada
por la funci´on diferencia y = (f − g)(x) = f (x) − g(x) y el eje OX.
Para calcularla:
- Calculamos la funci´on diferencia y = h(x) = (f − g)(x) = f (x) − g(x).
- Con esta nueva funci´on h(x) procedemos igual que en el apartado anterior.
Ejemplo 12.8.
Calcular el ´area del recinto limitado por f (x) = x
2
y g(x) = 2x
Calculamos la funci´on diferencia h(x) = f (x) − g(x) =
(x
2
2 − x − 2
Resolvemos la ecuaci´on h(x) = x
2 − x − 2 = 0 ⇒ x =
− 1 , x = 2
Ordenamos las ra´ıces − 1 < 2
Hallamos una primitiva G(x) =
h(x)dx =
(x
2 − x − 2)dx =
x
3
x
2
− 2 x
Calculamos G(−1) =
; G(2) = −
A =
− 1
h(x)dx
∣G(2)^ −^ G(−1)
∣−^
u
2
Ejemplo 12.9.
Calcular el ´area del recinto limitado por f (x) = x
2
y g(x) = 2x y las rectas x = 0 y x = 3
Calculamos la funci´on diferencia h(x) = f (x) − g(x) =
(x
2
2 − x − 2
Resolvemos la ecuaci´on h(x) = x
2 − x − 2 = 0 ⇒ x =
− 1 , x = 2
Ordenamos las ra´ıces en el intervalo [0, 3] : 0 < 2 < 3
Hallamos una primitiva G(x) =
h(x)dx =
(x
2 − x − 2)dx =
x
3
x
2
− 2 x
Calculamos G(0) = 0; G(2) = −
; G(3) = −
A =
0
h(x)dx
2
h(x)dx
∣G(2)^ −^ G(0)
∣G(3)^ −^ G(0)
∣−^
u
2
10 CAP´ITULO 12. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCI ON´
- Representar gr´aficamente la figura plana limitada por la curva y = e
x , su recta tangente en
el punto de abscisa x = 0, y la recta x = 1. Calcula su ´area. (Sep 03)
- Representar gr´aficamente el recinto plano limitado, en la regi´on donde la abscisa x es positiva,
por la curva y = x
3
- x, y por la recta y = 2x. Calcula su ´area. (Jun 04)
- Definir el concepto de primitiva de una funci´on ¿Existe alguna primitiva de la funci´on f (x) =
x
− 1 que no tome ning´un valor positivo en el intervalo 1 ≥ x ≥ 2? (Jun 04)
- Representar gr´aficamente la figura plana limitada en el primer cuadrante (x ≥ 0 , y ≥ 0) por
la recta y = x y la curva x = y
3
. Calcula su ´area. (Sep 04)
- Calcular el valor de la siguiente integral (puede hacerse con el cambio de variable x
2 − 1 = t
3
(Sep 04): ∫ 2
1
x ·
3
x^2 − 1 dx
- Representar gr´aficamente el recinto plano limitado por las curvas y = e
x , y = e
−x , y por la
recta x = 1. Calcula su ´area. (Jun 05)
- Calcular el valor de la siguiente integral, donde ln denota el logaritmo neperiano ( puede
hacerse por partes) (Jun 05): ∫ (^) e
1
lnx
x^2
dx
- Calcular una primitiva de la funci´on f (x) = (x + 1)
2 x
− 1 / 2 que se anule en x = 1. (Sep 05)
- Representar gr´aficamente el recinto plano limitado por la recta x–y = 1 y la curva de ecuaci´on
y =
x − 1. Calcula su ´area.(Sep 05)
- Representa gr´aficamente la figura plana limitada por la curva y = x
4 , su recta tangente en el
punto (1,1) y el eje OY. Calcula su ´area. (Jun06)
- Halla una primitiva de la funci´on f (x) = xe
x
. (Jun06)
- (Sep 06) Enuncia la Regla de Barrow. Representa la gr´afica de la funci´on
f (x) =
∫ (^) x
1
tdt
- Representa la figura plana limitada por la gr´afica de la funci´on f (x) = cosx, en el intervalo
−π/ 2 ≤ x ≤ π/2, y por la recta y = 1/2. Calcula su ´area. (Sep 06)
- Representa gr´aficamente el recinto plano limitado por las par´abolas y = 1 − x
2 e y = 2x
2 .
Calcula su ´area. (Jun 07)
- Calcula el valor de la integral (Jun 07)
3
(x − 2)
1 / 3 dx
- Representa gr´aficamente la figura plana limitada por la curva y = 2x
3 ,su recta tangente en
el origen de coordenadas y la recta x = 2. Calcula su ´area.(Sep 07)
- Enuncia el Teorema del Valor medio del C´alculo Integral. Calcula el punto al que se refiere
dicho teorema para la funci´on f (x) = 3x
2
- 1 en el intervalo [0, 3].(Sep 07)
12.8. EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD 11
- Calcula el valor de la siguiente integral (Puede hacerse con el cambio de variable t = ln(x))
(Jun 08) ∫ (^) e
1
x(1 + ln(x))
dx
- Representa gr´aficamente el recinto plano limitado por la recta y + 2x − 6 = 0 y la par´abola
y = −x
2
- 2x + 3. Calcula su ´area. (Jun 08)
- Calcula la funci´on cuya gr´afica pasa por el punto (0,1) ( es decir, f (0) = 1) y que tiene como
derivada la funci´on f (x) =
2 x
x^2 + 1
(Sep 08)
- Define el concepto de primitiva de una funci´on. Di, razonando la respuesta, si las funciones
F 1 (x) = sen
2 (x), F 2 (x) = −cos
2 (x) son primitivas de una misma funci´on. (Sep 08).
- Exprese f (x) = x · |x| como una funci´on definida a trozos y dibuje su gr´afica de forma
aproximada.
a) Calcule la integral definida ∫ (^1)
− 1
x · |x|dx
b) Calcule el ´area del recinto plano limitado por la gr´afica de f (x), el eje OX, la recta
x = −1, y la recta x = 1. (Jun 09)
- Escriba la f´ormula, o regla de integraci´on por partes. Apl´ıquela para calcular la siguiente
integral indefinida:
x
2 cosxdx (jun 09)
- Dada la par´abola de ecuaci´on y = −x
2 − 2 x + 3, sea r su recta tangente en x = −1 y sea s
su recta tangente en x = 1.
a) Calcule las ecuaciones de r y s.
b) Representa, de forma aproximada, el recinto plano limitado por la par´abola, la recta r
y la recta s.
c) Calcule el ´area de dicho recinto.(Sep 09)
- a) Calcule una primitiva de la funci´on racional f (x) =
1 − x^2
b) Calcule la integral (puede utilizarse el cambio de variable t = senx) (Sep 09)
cosx
dx
- Represente, de forma aproximada, la recta x = 1 y las curvas y =
x
2
, y =
x
, y se˜nale el
recinto plano limitado por ellas. Calcule el ´area de dicho recinto. (PG, Jun 10)
- a) Diga cu´ando una funci´on F (x es primitiva de otra funci´on f (x).
b) Calcule una primitiva F (x) de la funci´on f (x) = xe
x^2 que cumpla F (0) = 0. (PG, Jun
- Calcule, utilizando la f´ormula de integraci´on por partes, una primitiva F (x) de la funci´on
f (x) = x
2 e
−x que cumpla F (0) = 0. (PE, jun10)
- a) Represente, de forma aproximada, la curva y = x
4
2
- 1 y la recta tangente a dicha
curva en el punto Q 0 = (− 1 , 4).
12.8. EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD 13
- a) Diga cuando una funci´on F (x) es una primitiva de otra funci´on f (x).
b) Haciendo el cambio de variable t =
x − 1, calcule la primitiva de la funci´on f (x) =
x ·
x − 1 cuya gr´afica pasa por el punto (1,0) del plano. (Sep 12)
- a) Halle, utilizando la f´ormula de integraci´on por partes, una primitiva de la funci´on: f (x) =
1 + lnx.
b) Calcule el ´area de la regi´on plana limitada por la curva y = lnx, la recta horizontal
y = −1 y las rectas verticales x = 1 y x = e. (Jun,2013)
- Calcule la siguiente integral de una funci´on racional (Jun, 2013)
3 x
x^2 + x − 2
dx
- Calcule el valor de la integral definida (Sep 13):
0
2 x
x^2 + 1
x^2 −x
- a) Dibuje el recinto plana limitado por la par´abola y = 1 − x
2 el eje OX y la recta x = 2.
b) Calcule el ´area de dicho recinto (Sep 13).
- Calcule el ´area de la regi´on plana limitada por la gr´afica de la funci´on f (x) = cosx, el eje OX
y las rectas x = 0, x = 2π.(Jun, 14)
- Calcule la siguiente suma de integrales definidas
1
x
3
dx +
∫ (^2) π
π
(−senx · e
senx
2 x · e
senx )dx
cuyas integrales indefinidas asociadas son inmediatas. (Jun, 14)
- Calcule la siguiente integral definida de una funci´on racional (Jul,14):
∫ (^) e+
2
x − 2
x
2 − 3 x + 2
dx
- a) Dibuje el recinto plano limitado por la par´abola y = x
2 − 2 y la recta y = x.
b) Calcule el ´area de dicho recinto plano. (Jul, 14)
- Calcule la siguiente suma de integrales definidas (Jun 15)
∫ (^) e− 1
0
x + 1
dx +
∫ (^) π
0
cos x · e
sen x dx
- a) Represente, aproximadamente, la gr´afica de la funci´on g(x) = sen(2x) definida en el
intervalo [0, π]
b) Calcule el ´area de la regi´on plana limitada por la gr´afica de la funci´on g(x) = sen(2x),
el eje OX y las rectas x = 0, x = π. (Jun 15)
- a) Diga cu´ando una funci´on F (x) es una primitiva de otra funci´on f (x).
b) Diga c´omo puede comprobarse, sin necesidad de hacer derivadas, si dos funciones F (x)
y G(x) son primitivas de una misma funci´on.
14 CAP´ITULO 12. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCI ON´
c) Diga, razonando la respuesta, si las funciones F (x) =
senx + cosx
senx
y G(x) =
1 − sen
2 x
cosx · senx son primitivas de una misma funci´on. (Jul 15)
- Calcule la siguiente integral definida de una funci´on racional: (Jul 15)
√ 5
1+
√ 2
x − 1
x^2 − 2 x
dx
- Calcule la primitiva F (x) de la funci´on f (x) que cumpla F (0) = 1. (Jun 16)
f (x) =
− 2 x
e − x^2
− 2 x · e
1 −x^2
2
- a) Calcule los puntos en los que la recta y = x − 1 y el eje OX cortan a la par´abola
y = −x
2
b) Dibuje, aproximadamente, el recinto plano limitado entre la par´abola y = −x
2
y la recta y = x − 1.
c) Calcule el ´area de dicho recinto plano. (Jun 16)
- Calcule el valor de la integral definida
∫ (^) a
0
x + 1
dx
donde a = (e−1)
2
. [El c´alculo de la integral indefinida puede hacerse con el cambio de variable
t =
x (es decir, x = t
2 ), o tambi´en con el cambio de variable u =
x + 1] (Jul 16)
- a) Escriba la “regla de la cadena” para la derivaci´on de funciones compuestas.
b) Calcule la derivada de la funci´on f (x) = ln(cos
2 x), −
π
< x <
π
c) Obtenga, utilizando el apartado b), una primitiva G(x) de la funci´on g(x) = tgx que
cumpla G(0) = 1. (Jul 16)
- Utilizando el cambio de variable 1 + x
2 = t
2 , calcule una primitiva F (x) de la funci´on f (x) =
x
3
√ 1 + x^2
que cumpla F (0) = 0. (Junio 17)
- a) Calcule los puntos en los que las dos curvas y = e
x , y = −x
2 cortan a la recta x = 0 y
a la recta x = 1.
b) Calcule el ´area de la regi´on plana limitada por las curvas y = e
x , y = −x
2 cortan a la
recta x = 0 y a la recta x = 1 (Jun 17)
- Calcule una primitiva F (x) de la funci´on f (x) que cumpla F (0) = 0. (Julio 17)
f (x) =
2 x
x^2 + 1
− e
−x
2 )
- a) Represente, aproximadamente, la gr´afica de la funci´on f (x) = x
2 − 1 definida en el
intervalo cerrado [0, 2].
b) Calcule el ´area de la regi´on plana limitada por la gr´afica de la funci´on f (x) = x
2 − 1, el
eje OX y las rectas x = 0, x = 2. (Jul 17)
- Calcule el ´area del recinto plano limitado por la funci´on f (x) =
x^2 + 2x − 8
, el eje de abscisas
(OX) y las rectas x = −1, x = 1. (Junio 18 - Anulado)
